Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Y\X x
y
1
y
2
1
p
11
p
12
x
2
p
21
p
22
... x
... p
... p
i
i1
i2
... x
... p
... p
... ... ... ... ... ... ...
y
j
p
1j
p
2j
... p
i j
... p
... ... ... ... ... ... ...
y
m
Условие нормировки:
p
1m
p
2m
ij
,
... p
p
=
ij
ij
nm
11
im
p
=1.
ij
... p
Тогда можно найти
mm
(;)
PX xY y p
P(X=x
P(Y=y
)=
i
11
jj
nn
PX xY y p
)=
j
11
ii
ij ij
(;)
ij ij
,
.
Пример 33. Дано распределение двумерной случайной ве-
личины
Таблица
n
n1
n2
nj
nm
Y\X 26 30 41 50
2,3 0,05 0,12 0,08 0,04
2,7 0,09 0,30 0,11 0,21
Найти законы распределения составляющих случайных вели-
чин Х и У.
Решение.
X26304150
P 0,14 0,42 0,19 0,25
61
Действительно,
Р(Х=26)=Р(Х=26;У=2,3)+Р(Х=26;У=2,7)=0,05+0,09=0,14;
Р(Х=30)=Р(Х=30;У=2,3)+Р(Х=30;У=2,7)=0,12+0,30=0,42;
аналогично найдите Р(Х=41) и Р(Х=50).
У 2,3 2,7
Р 0,29 0,71
Действительно,
P(Y=2,3)=P(X=26;Y=2,3)+P(X=30;Y=2,3)+P(X=41;
Y=2,3)+P(X=50;Y=2,3)=0,05+ +0,12+0,08+0,04=0,29;
аналогично найдите Р(У=2,7).
(Проверьте выполнение условия нормировки в каждом рас-
пределении).4
13.3. Условные законы распределения составляющих
дискретной двумерной случайной величины
Т. к. P(X=x
вероятностей|=P(X=x
P(Y=yj/X=xi) =
;Y=yj)=|по теореме умножения
i
)·P(Y=yj/X=xi) , то
i
(;)
PX xY y
ij
()
PX x
i
;
аналогично, т.к. P(X=xi;Y=yj) = P(Y=yj)·P(X=xi/Y=yj), то
P(X=x
/Y=yj) =
i
PX xY y
ij
()
PY y
j
.
(;)
Условным распределением случайной величины Х при У=уj
назовем перечисление возможных значений случайной величины
Х и их соответствующих условных вероятностей. Аналогично
определяется условное распределение случайной величины У при
Х=х
.
i
62
Пример 34. Дано распределение двумерной случайной ве-
личины
Y\X 3 6
10 0,25 0,10
14 0,15 0,05
18 0,32 0,13
Найти:
законы распределения составляющих Х и У,
условный закон распределения Х при условии, что У=10,
условный закон распределения У при условии, что Х=6, и
М[Y/X=6].
Решение.
Закон распределения Х:
Х 36
Р 0,72 0,28
Закон распределения У:
У 10 14 18
Р 0,35 0,20 0,45
Условный закон распределения Х при условии, что У=10.
Найдем P(X=3/Y=10)=
( 6, 10)
PX Y
P(X=6/Y=10)=
( 10)
PY
PX Y
( 10)
PY
0,10 2
0,35 7.
0, 25
0,35
5
;
7
Следовательно, услов-
( 3, 10)
ный закон распределения Х при условии, что У=10, имеет вид
X36
P(X/Y=10) 5/7 2/7
Условный закон распределения У при условии, что Х=6,
имеет вид
63
Y 101418
P(Y/X=6) 10/28 5/28 13/28
( 6, 10) 0,10 10
Действительно, P(Y=10/X=6)=
PX Y
(6) 0,2828
PX
.
Аналогично найдите, Р(У=14/Х=6)=5/28 и Р(У=18/
Х=6)=13/28.
M[Y/X=6]=10·
10 5 13 404
14 18 14, 43.
28 28 28 28
4
13.4. Закон распределения непрерывной двумерной
случайной величины
Случайная величина (X;Y) называется непрерывной, если Х
и У непрерывные случайные величины. Простейшей формой закона распределения непрерывной (Х;У) является плотность вероятности f(x,y).
Плотностью вероятности непрерывной (X,Y) называется
2
(, )
f(x,y)=
Fxy
xy
.
Так как
(, )(, )(,)(,)
f(x,y)=
lim
x
y
Fx xy y Fxy y Fx xy Fxy
lim
00
x
y
(,)
Px X x xy Y y y
00
xy
xy
то P(x<X<x+dx,y<Y<y+dy)f(x,y)dxdy.
Следовательно,
y
x
.
64
F(x,y)=
(, )
dx f x y dy
,
13.5. Числовые характеристики двумерной случайной
величины
Начальным моментом порядка k+s случайной величины (X,Y)
называется
=M[XkYs].
ks
Следовательно, для дискретной случайной величины (X,Y)
находим по формуле
nm
11
ij
ks
xyp
,
ks i j ij
ks
а для непрерывной случайной величины (X,Y)
муле
=
ks
ks
(, )
xyf xydxdy
находим по фор-
ks
.
Центральным моментом порядка k+s случайной величины
(X,Y) называется
=M[(X–mx)k(Y–my)s].
ks
Например,
=M[X1 ·Y0]=mx,
10
=M[X–mx]=0,
10
=M[(X–mx)2]=Dx,
20
=M[(X–mx)(Y–my)]=kxy называется моментом корреляции
11
=M[X0 ·Y1]=my,
01
=M[Y–my]=0,
01
=M[(Y–my)2]=Dy,
02
(иначе моментом связи) или ковариацией случайных величин Х и Y.
Примечание.
Т. к. М[X/Y=y] меняется с изменением значения у, то можно
рассматривать функцию m
сматривать и функцию m
(y)=М[X/Y=y], аналогично можно рас-
x
(x)=M[Y/X=x].
y
Эти функции называются соответственно регрессиями Х по
У и У по Х.
Уравнения х= m
(y) и у= my(x) называются уравнениями ре-
x
грессии, а линии, определяемые этими уравнениями, называются
линиями регрессии.
65
14. Корреляционная зависимость
Определение. Если (Х;У) — дискретная двумерная случай-
ная величина, то Х и У называются независимыми случайными
величинами, если
P(X=x
где i=1;2;...;n и j=1;2;...;m.
Определение. Если (Х;У) — непрерывная двумерная слу-
чайная величина, то Х и У называются независимыми, если
Моментом корреляции (моментом связи) или ковариаци-
ей назовем
Коэффициентом корреляции назовем rxy=
Случайные величины Х и У, для которых kxy= 0 (а значит и
r
=0), называются некоррелированными (несвязанными).
xy
Если k
0 (а значит и rxy0), то Х и У называются коррели-
xy
рованными (это есть признак наличия зависимости между ними).
Докажем, что если Х и У независимые случайные величи-
ны, то k
=0 (а значит и rxy=0), т.е. Х и У некоррелированные
xy
величины.
Доказательство.
Если (Х;У) — дискретная двумерная случайная величина,
причем Х и У независимые случайные величины, то
,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj), т.е. рij=pipj,
i
f(x,y)=f
k
(x)·f2(y) или F(x,y) = F1(x)·F2(y).
1
=M[(X–mx)(Y–my)]=M[XY] –mxmy.
xy
k
xy
xy
.
nm
()( )
k
M[(X–mx)(Y–my)]=
xy=
xmy mp
ixjyij
11
ij
и Y независимые случайные величины, то p
nm
=
()( ) .
xmp y mp
ixi jyj
11
ij
66
00 0
ij=pipj
|так как X
=
Аналогично проводится доказательство, если (Х;У) — непрерывная двумерная случайная величина.
Заметим, что из некоррелированности случайных величин,
в общем случае, еще не следует их независимость. Можно построить примеры таких случайных величин, которые являются
некоррелированными, но зависимыми.
Итак:
из коррелированности двух случайных величин следует
их зависимость, но из зависимости еще
не вытекает коррели-
рованность.
Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить
о независимости этих величин.
Числа k
и rxy характеризуют не всякую зависимость, а толь-
xy
ко так называемую линейную зависимость между случайными
величинами Х и У. Некоррелированность эквивалентна линейной
независимости.
Отметим на плоскости в системе координат точками результаты измерений случайной величины (Х;У).
Рис. 11
Ограничимся приближенным представлением (точное приближение, вообще говоря невозможно) величины Y в виде линейной функции величины X.
67
Найдем линейную зависимость у=kx+b (графиком которой
является прямая), которая давала бы возможность предсказывать
как можно точнее значения случайной величины У по значениям
случайной величины Х, т.е. такую линейную зависимость, чтобы
ошибка предсказания M[(Y-y)
Можно доказать, что в этом случае
y
,
k =
r
b = my — kmx.
xy
x
2
], была минимальной.
При этих значениях k и b прямая y=kx+b имеет вид
y
ym rxm
yxyx
и называется прямой среднеквадратической регрессии У на Х, где
y
называется коэффициентом регрессии Y на X.
r
xy
x
(),
x
При этом ошибка замены равна
22
2
M[(Y– (kx+b))
Тогда найдем,
]=
()
yxy
2
1xyr
Отсюда видно, что –1 r
.
1
r
[( ( )) ]
MY kx b
=
1 (т.к. 1–r
xy
2
y
2
2
ykxb
=
0) и чем ближе r
xy
.
y
2
xy
к единице, тем теснее линейная зависимость между случайными
величинами Х и У, если же r
=1, то Х и У связаны линейной за-
xy
висимостью Y=kX+b с вероятностью единица.
Аналогично можно получить прямую среднеквадратической
регрессии X на Y:
x
(),
y
где
xm r ym
xxyy
x
— коэффициент регрессии X на Y.
r
xy
y
68
Если rxy= 1, то обе прямые регрессии, как очевидно, совпада-
j
ют. Из уравнений прямых регрессии следует, что обе прямые регрессии проходят через точку (m
), которую называют центром
x,my
совместного распределения величин X и Y.
15. Основные теоремы о математических
ожиданиях и дисперсиях
Теорема 1
М [X+Y]=M[X]+M[Y]
Доказательство:
MX Y x y p xp yp
[]
nm nm
11 11
ij ij
nm mn n
ij ji i
11 11 1
m
j
1
nm nm
ij ij
11 11
xp y p
iij jij
xp yp xpXx
iij ij i
yPYy
jj
i j ij i ij j ij
ji
nm
xp y p M X MY
ii j j
11
ij
[] []
.
Например, M[
a
X+b]=aM[X]+b, где a и b — постоянные,
Х — случайная величина.
Можно доказать, что M
ii
nn
XMX
ii
11
.
69
Теорема 2
M
M[XY]=m
xmy+kxy
Доказательство:
kMXmYm
Т. к.
xy x y
MXYmYmXmm
DX Y M X Y m m
=
Следствие.
Если X и Y независимые случайные величины, то
Теорема 3
Доказательство:
MXm Ym
MXm MXm Ym MYm
xy xy
MXY mm
.
xy
D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2k
xy
2
xxyy
2
M[XY]-mxM[Y]-myM[X]+mxmy=
M[XY]=m
xy
2
=
xmy
.
xy
2
2
=
2DX k DY
=
Следствие. Если X и Y — независимые случайные величи-
ны, то
Пример 35. Найти r
мерной случайной величины
70
xy
.
D[X+Y]=D[X]+D[Y].
, если известно распределение дву-
xy
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]