Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Свойство стационарности заключается в том, что вероят-
ность Р
(k) появления k событий за промежуток времени длитель-
t
ности t зависит только от k и t.
Свойство отсутствия последействия заключается в том, что
вероятность Р
(k) не зависит от того, появлялись или не появля-
t
лись события в предыдущие моменты времени (т.е. предыстория
потока не влияет на вероятности появления событий в будущем).
Свойство ординарности заключается в том, что появление
более одного события за малый промежуток времени практически
невозможно.
Интенсивностью потока
называют среднее число собы-
тий в единицу времени.
Если постоянная известна, то вероятность Р
(k) появления
t
k событий за промежуток времени длительности t находим по
формуле Пуассона
()
t
kt
P
(k)=
t
e
.
!
k
Пример 23. Среднее число телефонных звонков, поступа-
ющих в налоговую инспекцию в одну минуту, равно трем. Найти
вероятность того, что за две минуты поступит не менее четырех
звонков.
Решение.
P
(k>4) = 1–P2(k<4) = 1 – (P2(0)+P2(1)+P2(2)+P2(3)) = |т.к. =3,
2
t=2, то
t=6 | = 1– (
= 1 – (1+6+18+36)e
012 3
6666
66 6 6
ееее
0! 1! 2! 3!
-6
= 1-0,1525=0,8475. 4
)
41
11. Основные распределения непрерывной
случайной величины
Основными распределениями непрерывной случайной ве-
личины являются равномерное, показательное и нормальное
распределения.
11.1 Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное рас-
пределение, если на промежутке, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения
сохраняет постоянное значение, т.е.
если xa
,,
f(x)=
0
c если xab
,(;],
,.
0
если xb
Найдем постоянную с. Из условия нормировки непрерывной
случайной величины
a
c (b-
)=1, т. е. с=
Итак, можно записать, что f(x)=
fxdx
.1ba
() 1
b
следует, что
1
,(;],
ba
0
если xab
,(;].
если xab
cdx
a
Рис. 6
42
т.е.
,1
Найдем числовые характеристики M[X], D[X], x.
1) М[X]=
()
xf x dx dx x dx dx
Следовательно, M[X]=
2) D[X]=M[X2]-m
ab
00
1
ba
b
1
22
2
xdx
=
x
a
ba
1
ba
ab
2
x
2
1
b
|
a
()
ba ab
ba
ab ba
.
22
22
()
212
.
2
Итак,
m
2
()
ab
=
x
2
, Dx=
ba
12
,
ba
=
x
.23
Пример 24. Цена деления шкалы измерительного прибора
равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего деления.
Найти вероятность того, что при вычислении будет сделана ошибка, меньшая 0,02.
Решение.
Ошибку округления при вычислении рассматриваем как непрерывную случайную величину Х, имеющую равномерное распределение, причем
1
f(x)=
P(0
0,02 0,1
10 10 10 10
dx dx x x
00,08
10, (0;0,1),
0,1
0, (0;0,1).
если x
0,02)Х
0,02 0,1
o
если x
P(0,08<
0,1)Х
=0,2+0,2=0,4.4
0,08
43
11.2 Показательное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет показательное
(экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероят-
ности
f(x)=
00
при x
e при x где параметр
Найдем числовые характеристики М[X], D[X],
x
xe
xe dx
0
x
0
edx
0
M[X]=
Аналогично находим Dx =
,
x
x
00
| u=x, du=dx, dv=
0
,.
Рис. 7
x
x
11
x
e
0
1
,
2
x
, v=
edx
1
.
x
edx
= –
x
| =
e
Итак,
m
1
=
, Dx =
x
1
,
2
1
.
x
Найдем функцию распределения F(x).
44
Если х
то F(x)=
x
()
fxdx
(;),0
то F(x)=
0
0dx
x
;00
dx
x
xx
edx e
0
если х
x
=1–
0
[; ),0
x
e
.
Итак, F(x)=
00
при x
10
e при x
,
x
.
Рис. 8
Пример 25. Непрерывная случайная величина (С.В.) Х
имеет показательное распределение
,
,
x
f(x)=
00
при x
01
,.
01 0
e при x
Найти.
Числовые характеристики С.В. Х.
Вероятность попадания С.В. Х в интервал (–1;5).
Вероятность того, что в пяти независимых испытаниях
трижды значения Х попадут в этот промежуток.
Решение.
Т. к. m
=10.
x
1
,
=
x
Dx=
1
,
2
1
и =0,1 , то mx=10, Dx=100,
x
45
P(–1<X<5)=
+1=1–
1
= 0,39.
5
()
fxdx
1
05
001
dx e dx
10
,|01 5
=0-
e
x
,
x
01
,
-0,5
–е
0
e
5!
pq
3!2!
32
(0,39) (1 0,39) 0,22.
4
P5(3)=C
332
5
Показательное распределение является основным распреде-
лением в теории надежности.
Замечание 3. Закон распределения Лапласа.
Распределение Лапласа задается двусторонней показательной
плотностью
()
fx е
x
, —
. x
2
Таким образом, график функции плотности распределения
Лапласа симметричен относительно оси ординат и достигает максимума в точке х=0. Следовательно, m
2
2
xe dx
2
x
.
=
2
=0, а Dx=M[X2]=
x
11.2.1 Функция надежности
Пусть элемент (устройство, двигатель) начинает работать в
момент t0=0, работает в течение некоторого времени, а затем в работе элемента происходит отказ.
Обозначим через T- длительность времени безотказной работы
элемента, тогда P(T<t)-вероятность того, что за время длительностью t произойдет отказ. Следовательно, P(T>t)=1–P(T<t)=1–F(t),
где F(t) (функция распределения непрерывной случайной величины T) — вероятность безотказной работы за время t.
Функцией надежности
R(t)=P(T>t)= P(0
)=1–F(t) назовем функцию, определяю-
отказов
щую вероятность безотказной работы элемента за время t.
Для показательного закона распределения непрерывной случайной величины T имеем
R(t)=P(T>t)= P(0
)=1–F(t) = 1–(
отказов
t
1
e
)=
t
e
46
Пример 26. Время безотказной работы двигателя распреде-
лено по показательному закону f(t)=0,04e
-0,04t
при t0. Найти веро-
ятность того, что двигатель проработает безотказно 50 часов.
Решение.
R(t)=
t
e
R(50)=e
–0,04·50=e–2
0,14.4
11.3. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное рас-
пределение, если плотность вероятности
2
()
1
2
где
f(x)=
a
и
параметры нормального распределения.
0
Нормальное распределение с параметрами
xa
2
2
e
,
a
=0 и =1 назы-
вается стандартным (основным), плотность ве- роятности в
этом случае обозначается (х) и равна
2
x
(x)=
1
2
2
e
)
(функция (x) затабулирована — есть таблицы, см. таблицу 1 при-
ложения; функция (x) — четная).
Нормальный закон распределения имеют, например, отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке,
от номинальных размеров; ошибки при измерении; отклонение
при стрельбе и т.д.
Нормальное распределение является предельным законом, к
которому приближаются другие законы распределения. Мы рас
смотрим позднее центральную предельную теорему теории вероятностей, утверждающую, что при достаточно большом n сумма
независимых случайных величин Х
, Х2,..., Хn, подчиненным ка-
1
ким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых
ограничений), будет иметь закон распределения, как угодно близкий к закону нормального распределения.
-
47
Найдем числовые характеристики нормального распределе-
ния.
2
()
1
xedx
2
t
2
0
, как интеграл от нечетной функции в симметрич-
2
2
M[X]=
dx dt
=
=0+
т. к.
()
xf x dx
-<t<+|=
,
2
t
1
2
()
etadt
2
a
0
2
t
2
te dt
edt
2
2
ных пределах; а интеграл Пуассона
Аналогично,
D[X]=
Итак, mx=a, Dx=
()()
xm fxdx
22
x
2
,
xa
2
2
te dt
2
,
aa
2
, откуда
.
x
2
2
t
2
|
t
edt
0
xa
a
edt
2
2
2
x
xta
,
t
2
t
2
.
2
.
Таким образом, параметр a является математическим ожи-
данием, а параметр
— средним квадратическим отклонением
случайной величины, имеющей нормальное распределение.
График плотности вероятности нормального распределения
называют кривой Гаусса (нормальной кривой).
Кривая Гаусса симметрична относительно прямой х=
имеет максимум при х=
a
, равный
1
; ветви кривой асимпто-
2
тически приближаются к оси ОХ.
,
a
и
48
Рис. 9
Функция распределения нормально распределенной случайной величины Х имеет вид
2
()
1
2
xa
2
2
e
2
t
2
edt
dx=|
xa
,
t
xta
,
xa
1
2
2
t
2
edt
+
0
1
2
edt
0
x
F(x)=
t
xa
1
xa
|
2
dx dt
2
t
2
,
=
= | интеграл
x
0
1
2
2
t
2
=Ф(х)
edt
называется функцией Лапласа
1
| =
2
2
Ф(
xa
=0,5+ Ф(
)
xa
.
)
Итак, функция распределения
F(x)= 0,5+
Ф
,
xa
()
где Ф(х) – функция Лапласа
Ф(х) – функция нечетная, так как Ф(–х) = –Ф(х) (проверьте
самостоятельно) и она затабулирована (есть таблицы, см. таблицу
2 приложения).
49
Замечание 4.
Для того чтобы стандартизировать случайную величину,
надо вычесть из нее математическое ожидание и поделить на
среднее квадратическое отклонение. Стандартные случайные величины обозначаются большой латинской буквой Z:
Xa
Z=
,
a
где
=М[X], 2=D[X].
11.3.1 Вероятность попадания в интервал.
Найдем P(
X
)
= F(
)
F() = (0,5+Ф(
a
)–
)
–(0,5 + Ф(
Итак,
P(
Откуда P(|X–a|<)=P(a–<X<a+)=Ф(
a
= =Ф(
))
X
)
= Ф(
a
– Ф(
)
a
)
– Ф(
a
.
)
a
.
)
aa
)–
–Ф(
aa
)
=Ф(
–-Ф(–
)
)= Ф(
)
+Ф(
)
=2 Ф(
)
.
Итак,
P(|X-
|<δ) = 2Ф(
a
).
11.3.2 Правило трех сигм
a
В формуле P(|X–
a
P(|X–
=2·0,49865=0,9973 (см. таблицу 2 приложения).
50
|<3)=P(a–3<X<a+3)=2Ф(
|<) = 2 Ф(
)
положим =3, получим
3
)=2Ф(3)=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]