Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Y\X 3 6
10 0,25 0,10
14 0,15 0,05
18 0,32 0,13
Решение.
Так как r
чин Х и У:
xy
=
k
xy
то найдем распределения случайных вели-
,
xy
Х 36
Р 0,72 0,28
У 10 14 18
Р 0,35 0,20 0,45
mx=3·0,72+6·0,28=3,84; my=10·0,35+14·0,20+18·0,45=14,4.
Так как,
kxy=M[(X–mx)(Y–my)]=M[XY] –mxmy,
то найдем
M[XY]=3·10·0,25+6·10·0,10+3·14·0,15+6·14·0,05+3·18·0,32+6·
18·0,13=55,32.
Итак, k
Найдем
=55,32–3,84·14,4=0,024.
xy
xx
Dx=M[X2] –m
D
и
2
x
=9·0,72+36·0,25– (3,84)2=0,7344
=
x
D
yy
.
,,0 7344 0 857
.
=M[Y2]-m
D
y
2
=100·0,35+142·0,20+182·0,45-(14,4)2=12,64
y
=
y
,,12 64 3 555
Итак, r
0 024
=
xy
,,
0 857 3 555
.
,
0,008.4
71
Пример 36. Даны законы распределения независимых слу-
чайных величин X и Y
X–1 0 1 Y 1 2
p 0,3 0,5 0,2 , p 0,4 0,6
Найти математическое ожидание и дисперсию
XY
Решение.
23 2 3
MXY MX MY
Имеем
2
X
p 0,5 0,5 p 0,4 0,6
Тогда М[X2]=0·0,5+1·0,5=0,5;
01 Y318
3
MY
,,,
104 806 52
23
.
и
,, ,.0552 26 M
005 105 104 6406 26
,,, ,,
,,19 4 6 76
=12,64.4
22 46
DM mMXY
2
,
26
2
Пример 37.
На двух автоматических станках производятся одинаковые
изделия. Известны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из станков:
а) для первого станка
Количество бракованных
изделий
Вероятность 0,1 0,6 0,2 0,1
72
012 3
б) для второго станка
Количество бракованных
изделий
Вероятность 0,5 0,3 0,2
012
Составить закон распределения числа бракованных изделий,
производимых в течение смены двумя станками вместе. Проверить
выполнение формул
MX Y MX MY
и
DX Y DX DY
.
Решение.
Обозначим через Х — число бракованных изделий, производимых в течении смены на первом станке, через Y — число бракованных изделий, производимых соответственно на втором станке,
тогда X+Y — число бракованных изделий, производимых в течение смены вместе двумя станками.
№ХY X+Y Вероятность результата
100 0
2 0 1 1 0,1·0,3=0,03
302 2
410 1
5 1 1 2 0,6·0,3=0,18
612 3
720 2
821 3
9 2 2 4 0,2·0,2=0,04
10 3 0 3
11 3 1 4 0,1·0,3=0,03
12 3 2 5
,, ,0105 005
,, ,0102 002
,, ,06 05 030
,, ,0602 012
,, ,02 05 010
,, ,02 03 006
,, ,0105 005
,, ,0102 002
73
Итак, закон распределения случайной величины X+Y имеет
вид
Х+Y 0 1 2 3 4 5
р 0,05
0,03+0,3=
0,33
Проверим выполняемость условия нормировки:
6
1
i
0,02+0,18+0,1=
0,3
p
0,05+0,33+0,30+0,23+0,07+0,02=1.
i
0,12+0,06+0,05=
0,23
0,04+0,03=
0,07
6
p
i
1
i
1
Найдем
0,02
.
00,1 10,6 20,2 30,1MX
0 0,5 1 0,3 2 0,2 0,7MY
00,05 10,33 20,30 30,23 40,07 50,02MX Y
0,6+0,4+0,3=1,3.
.
= 0,33+0,60+0,69+0,28+0,10=2.
Следовательно,
MX Y MX MY
.
Найдем
2
D[X]=M[X
0 0 1 1 0 6 4 0 2 9 0 1 13 2 3 169 0 61
=
DY M Y m
DX Y M X Y m
90,23 160,07 250,02 2
2
] –m
=
x
,, , ,,,,,
22 2
y
,, ,,
005 103 402 07
2
2
xy
2
2
=1,1–1,49=0,61.
0 0, 05 1 0,33 4 0,30
5,22 4 1, 22.
.
74
Следовательно,
2
DX Y DX DY
, так как случайные
величины X и Y независимы.4
16. Двумерное нормальное распределение
Непрерывная случайная величина (X,Y) имеет двумерное
нормальное распределение, если ее плотностью распределения
равна
,
2
x
k
xy
xy
,
—
(, ) exp
fxy
21
11
xy xy
()()()
xm ym ym
2
r
xy
где mx=M[X], my=M[Y], x=
2
r
xy y
xy y
[]DX
2(1 )
,y=
()
xm
22
r
2
2
[]DY
, rxy=
коэффициент корреляции, kxy=M[(x–mx)(y–my)] — ковариация.
Отсюда следует, что
() (, ) exp
fx fxydy
1
fy fxydx
2
() (, ) exp
1
2
x
1
2
y
()
xm
()
x
2
2
x
ym
y
2
2
y
2
,
2
,
т. е. если (X,Y) распределена нормально, то и каждая ее
составляющая случайная величина распределена нормально.
75
Если коэффициент корреляции rxy=0, то есть величины X и Y
некоррелированны, то легко получить, что
f(x,y)=f
(x)·f2(y),
1
т.е. для двумерного нормального распределения понятия некоррелированности и независимости равносильны.
Если X и Y — независимые случайные величины, имеющие
нормальные распределения, то
P(<X<;<Y<)=P(<X<)·P(<Y<)=
={Ф(
m
x
x
)–Ф(
m
x
x
)}{Ф(
m
y
)–Ф(
y
m
y
)}
y
С геометрической точки зрения график плотности представляет собой “гору” c достаточно крутыми склонами, вершина которой находится в точке (m
xm xm
2
xx
2
r С const
xxyy
xy
). Линиями уровня служат эллипсы
x,my
ym ym
yy
2
с центром в т. (mx,my), большая полуось которых имеет при rxy>0
положительный наклон к оси абсцисс 0х. По мере удаления от
центра плотность нормального распределения очень быстро убывает и стремится к нулю.
На рис. 12 представлены линии уровня — эллипсы, ограничивающие область, в которые случайный вектор попадает с вероятностями 0,5; 0,9; 0,99.
76
Рис. 12
Говорят, что X и Y связаны линейной корреляционной зависи-
мостью, если обе функции регрессии Y на X и X на Y линейны.
Имеет место следу.щая важная теорема.
Теорема (без доказательства). Если двумерная случайная
величина (X,Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.
Например, если (X,Y) распределена нормально, причем m
2(1 )
=
2
и
5
4
2
x
5
5
=1, x=5, y=1, kxy=2, то rxy=
m
y
(, ) exp
fxy
2( 3)( 1) ( 1)
xy y
2
551
11(3)
2511
4
5
2
1
11
=
22
exp[()()()()]
22
xxyy
34 3 15 1
.
Прямая среднеквадратической регрессии Y на X y=kx+b,
где k=
y
r
, b= my — k·mx имеет вид y=
xy
x
21
x
.
55
=3,
x
77
17. Предельные теоремы. Закон больших чисел
Закон больших чисел включает неравенство Чебышева и теоремы Чебышева и Бернулли. Эти теоремы устанавливают факт
приближения при определенных условиях среднего арифметического случайных величин к некоторым неслучайным величинам.
17.1. Неравенство Чебышева
2
[]
MY
P( | Y | )
где Y— случайная величина, >0.
Доказательство:
[] (|| )
MY yp yp p P Y
следовательно, P( | Y | )
Неравенство Чебышева, если положить Y=X-m
22 22 2
ii ii i
ii i
,
2
() ()
yy
ii
2
[]
MY
.
2
, примет вид
x
,
[]
P(|X–m
|)
x
или P(|X–mx|<)1–
2
DX
Определение. Последовательность случайных величин X
X
, ... , Xn, сходится по вероятности к величине X (случайной
2
или неслучайной), если при любом
(или
lim
n
n
PX X
1
).
lim (| | ) 0
>0
n
D
x
.
2
PX X
n
1
17.2. Теорема Чебышева
Если последовательность X
, X2, ... , Xn, ... попарно независи-
1
мых случайных величин имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть
78
,
не превышают постоянного числа c), то величина
n
n
MX
1
1
n
i
i
MX
1
).0
i
дится по вероятности к величине
n
lim
n
P(
1
X
n
1
i
i
—
1
n
i
Доказательство.
n
1
X
Введем Y=
n
i
и найдем M[Y] и D[Y].
i
1
n
1
n
1
i
, то есть
X
схо-
i
nn
11
[] []
MX MX
nn
1
DX
2
ii
11
ii
n
[]
i
i
1
M[Y]=M[
D[Y]=D[
n
]=
X
i
n
11
i
n
X
]=
i
n
11
i
n
Из неравенства Чебышева P(|X–mx|)
P(Y–m
)
n
то есть
y
c
2
lim
n
,
)
P(
с
n
1
n
т. е. P(
,
2
n
1
i
–
X
i
n
1
n
1
i
n
1
MX
n
1
i
n
1
X
n
i
–
2
i
1
n
i
DX
1
[]
i
[]
DX
2
n
MX
1
i
).0
,
1
nc
2
n
следует
i
c
.
=
n
79
Следовательно,
n
1
n
i
MX
1
i
1
n
.
n
X
сходится по вероятности к
i
1
i
Следствие.
Если X
( i=1, 2, ... ,n ) имеют равные mx, то
i
дится по вероятности к m
.
x
n
1
n
i
схо-
X
i
1
17.3. Теорема Бернулли
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью p, то
частота
m
события А в этих опытах сходится по вероятности к
n
р, то есть
lim (| | ) 0
n
m
Pp
n
Доказательство:
Пусть X
— число появлений события А в к-ом опыте, т.е.
к
X k
P 1–p p
n
1
Т.к.
nn
1
k
опытах, причем все X
ющие
DMX m pppppq
xkx
kk
01 1 mppp
x
k
22 2
m
X
k
— независимые случайные величины, име-
к
, где m — число появлений события А в n
00 1 1
01
и
()
,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]