Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
* проверка статистических гипотез о виде неизвестного
распределения или о величине параметров распределения,
вид которого известен;
* оценка зависимости случайной величины от одной или
нескольких случайных величин.
Современная математическая статистика также разрабатывает способы организации необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента) и в ходе исследова-
ния (последовательный анализ).
Одной из
ляется принятие решений в условиях неопределенности.
задач современной математической статистики яв-
2. Выборка
Предположим, что требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака.
Обратимся теперь к важнейшему статистическому методу выборке.
Термин совокупность (генеральная совокупность) обозна-
чает общую группу людей или предметов (объектов), с которой
связано статистическое исследование. Объемом совокупности
называют число N ее объектов.
Термин выборка обозначает некоторую группу
из совокупности. Объемом выборки называют число n отобран-
ных объектов.
Мы будем использовать термин параметр, чтобы обозначить
некоторую характеристику совокупности, и термин статистика,
чтобы обозначить соответствующую характеристику выборки.
Например, если рассматривать в качестве совокупности всех
работающих на некотором крупном заводе, то средняя зарплата
каждого работающего будет являться параметром совокупности.
, отобранную
121
Но если мы произведем выборку 100 членов, то их средняя зарплата будет являться выборочной статистикой.
Целью статистического исследования может быть измерение
параметра совокупности, например такого, средний рост учеников
в школе или размер дохода людей, живущих в сельской местности. Или же целью может быть проверка доверия к утверждениям
относительно совокупности, например
, доверия к утверждениям,
что население страны доверяет тому или иному политическому
деятелю.
Умозаключение относительно характеристик генеральной со-
вокупности, которые делаются на основе рассмотрения информации о выборке, называют статистическим выводом.
Например, аудитор может проверить выборочные данные о
сделках фирмы и, если отобранные документы удовлетворяют
принятым требованиям, он делает вывод, что
документы о всех
сделках фирмы оформлялись правильно. Аудитор использует выборку для своего заключения, потому что она дешева, ее можно
быстро провести и, следовательно, она более практична, нежели
проверка всех документов о сделках фирмы.
Поэтому вопрос о различных способах отбора очень важен,
т.к. если он произведен неправильно, мы не можем
использовать
статистический вывод для получения надежного заключения о совокупности.
Изучаемые совокупности могут быть ограниченны по объему
и поэтому называются конечными совокупностями, в противном случае бесконечными.
На практике, если совокупность является большой, т.е. такой,
что устранение какого-либо одного из ее членов не существенно
влияет на вероятность отбора
ее членов, то такая совокупность
рассматривается статистически как бесконечная.
Например, машина производит бутылки, определенная часть
которых является дефектными. Если выпуск бутылок в день составляет 100000 и мы произведем малую выборку из этого объема,
то вероятность попадания в нее дефектной бутылки практически
не изменится по мере отбора последовательных членов выборки.
122
Конечная совокупность, включающая 100000 единиц, может рассматриваться как бесконечная.
На первый взгляд кажется, что лучше для статистического
исследования охватить всю совокупность, если это возможно.
Однако, практически часто оказывается, что лучше использовать
выборку.
Преимущества использования выборки, нежели совокупности, состоят в следующем:
1. Практичность. Совокупность может быть очень большой
и, следовательно, физически
невозможно охватить наблюдением
всю совокупность.
1. Выигрыш по времени. Если необходимо получить дан-
ные быстро, то может быть недостаточно времени, чтобы охватить наблюдением всю совокупность. Например, если мы занимаемся проверкой качества товаров массового производства, то
нельзя медлить с проверкой.
2. Затраты. Затраты на сбор данных по всей совокупности
могут быть
невыносимо большими.
3. Ошибки. Если данные собираются по всей совокупности,
то условием проведения наблюдения становится включение в работу большого числа людей, и риск совершения ошибок многократно возрастает.
4. Испытания, связанные с уничтожением. Наблюдение
может включать в себя уничтожение образца. В таком случае, очевидно, что нежелательно иметь дело со
всей совокупностью.
2.1. Повторная и бесповторная выборка.
Репрезентативная выборка
Различают повторные и бесповторные выборки. Выборку на-
зывают повторной, если отобранный объект после обследования
возвращается в совокупность перед отбором следующего объекта.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект не возвращается в совокупность при обследовании. На практике обычно пользуются бесповторными выборками.
123
Чрезвычайно важно, чтобы члены выборки отбирались так,
чтобы выборка была репрезентативной (представительной) и
давала правильное представление о совокупности, насколько это
позволяют имеющиеся деньги и время.
Ошибочно сформированная выборка даст искаженное представление о совокупности. В силу закона больших чисел можно
утверждать, что выборка будет представительной,
если ее объем достаточно велик,
мы;
если ее осуществлять случайно и если все ее объекты
имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
Если объем совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторными и бесповторными выборками практи-
чески исчезает.
а ее значения независи-
3. Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора.
Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:
Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся:
простой случайный бесповторный отбор;
простой случайный повторный отбор.
Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается
на части. Сюда относятся:
типический отбор;
механический отбор;
серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности.
Осуществить простой отбор можно различными способами.
124
Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписываются номера от 1
до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад
вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с
извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, т.е. карточки перемешивают, наугад
вынимают одну из них и т.д. Так поступают n
раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку
объема n.
Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной.
При большом объеме генеральной совокупности описанный
процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных
чисел», в которых числа рас-
положены в случайном порядке.
Для того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу
таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное
число
таблицы превышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные
числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.
Другим методом может быть использование компьютера, ко-
торый генерирует случайные числа.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбира-
ются не из всей генеральной совокупности, а из каждой
ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких
станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей,
произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка
в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических
частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на
нескольких машинах, среди которых есть более и
менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.
125
Механическим называют отбор, при котором генеральную
совокупность «механически» делят на столько групп, сколько
объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают
один объект.
Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком
деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5 % деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь и т. д.
Следует
обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же
после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены
резца, для чего
двадцати обточенных.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают
из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые
подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия
изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукции только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда
признак колеблется в различных сериях незначительно.
Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.
Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии
одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные
указать, что иногда механический отбор может не
надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из
обследуемый
объекты.
4. Статистическое распределение выборки
Часто исследователя интересует лишь некоторая количественная характеристика х объекта генеральной совокупности, или набор характеристик х, у. Например, цена сгущенного молока – х и
масла – у в розничной торговле города.
126
Множество значений хi для всех объектов генеральной совокупности может рассматриваться как случайная величина Х,
а множество наборов (х
) – как случайный вектор (Х,У) с неиз-
i,уi
вестными распределениями, изучаемые с помощью выборки.
Для повторной репрезентативной выборки объема n ее элементы можно считать множеством значений n независимых
случайных величин Х
(Х
), имеющих одно и тоже распределение генеральной сово-
i,Уi
(или n независимых случайных векторов
i
4.1 . Вариационные ряды
Пусть обследуется некоторый количественный признак Х и из
генеральной совокупности извлечена выборка (х
чем значение х
раз и т.д. и
Наблюдаемые значения х
наблюдалось n1 раз, значение х2 наблюдалось n2
1
ђ
nn
i
1
, где n – объем выборки.
i
i
называются вариантами, а после-
i
, х2, ..., хк), при-
1
довательность вариант, записанных в возрастающем порядке,
называется вариационным рядом.
- x
Размахом варьирования назовем R= x
Числа n
ты n
к объему n выборки, т.е.
i
называются частотами вариант, а отношение часто-
i
n
i
max
Wn
, называется относительной
i
min
.
частотой варианты х
Замечание 1.
, где i=
i
. Следовательно, 1
1, k
i
W
i
.
Относительные частоты выражают доли (удельные веса)
членов совокупности с одинаковыми значениями признака.
Частоты или относительные частоты называют также их весами.
4.2 . Статистические ряды
В зависимости от того, какие значения может принимать признак, статистические ряды делятся на дискретные и непрерывные
(интервальные).
127
Статистическим рядом (распределением) выборки называ-
ется перечень вариант x
вариационного ряда и их соответствую-
i
щих частот (или их относительных частот).
Если результаты выборки последовательно записать на n бумажках, то статистическое распределение – это дискретное распределение вспомогательной случайной величины, значения
которой получаются случайным выбором (лотереей) одной из n
бумажек.
Статистический ряд называется дискретным, если значения
признака отличаются друг от друга не менее
чем на некоторую
постоянную величину, и непрерывным, если значения признака
могут отличаться на сколь угодно малую величину.
Если исследуется непрерывный признак, то всю область, где
находятся наблюдаемые значения признака, разбиваем на частичные интервалы (ααα
дого интервала n
- сумму частот вариант, попавших в этот i-й ин-
i
,) длиной αi – α
i-1, αi
= hi и находим для каж-
i-1
тервал.
Предполагается, что каждому интервалу принадлежит лишь
один из его концов - либо во всех случаях левые, либо во всех
случаях правые. Частоты n
показывают число членов выборки,
i
для которых значения изучаемого признака заключены в указанных границах.
Замечание 2.
* Разности α
называются интервальными и могут быть
i–αi-1
как постоянными, так и различными.
* Рекомендуемую длину h частичного интервала можно вы-
числить по формуле Стэрджеса
h = R/(1 + 3,222 lg n)
Результат разумно округляется. За начало первого интервала
следует брать α
- h/2 , затем α2 = α1 + h и т.д. Построение ин-
1=xmin
тервалов ведется до тех пор, пока начало следующего по порядку
интервала не будет больше x
mах
.
Примерами непрерывных статистических рядов могут служить распределения рабочих крупного предприятия по проценту
128
выполнения нормы, людей по возрасту, посевной площади по урожайности и т.п.
►Пример 1. Дана выборка: 2; 5; 7; 3; 2; 5; 6; 3; 6; 5. Записать
выборку в виде вариационного и статистического рядов.
Определить объем и размах выборки.
Решение.
Вариационный ряд выборки: 2; 2; 3; 3; 5; 5; 5; 6; 6; 7.
Статистический ряд (дискретный) имеет вид
х
23567
i
n
22321
i
Объем выборки n = 10
n
, размах R = 7 – 2 = 5.3
i
i
►Пример 2. Пример непрерывного статистического ряда.
Рост, см
Интервалы
α
i-1-αi
143-146 144,5 1 0,001
146-149 147,5 2 0,002
149-152 150,5 8 0,008
152-155 153.5 26 0,026
155-158 156,5 65 0,065
158-161 159,5 120 0,120
161-164 162,5 181 0,181
164-167 165,5 201 0,201
167-170 168,5 170 0,170
170-173 171,5 120 0,120
173-176 174,5 64 0,064
176-179 177,5 28 0,028
179-182 180,5 10 0,010
182-185 183,5 3 0,003
182-185 186,5 1 0,001
Середина
интервала
ii
x
i
2
Число мужчин Доля мужчин
1
n
i
1000iin
W
i
1iiW
129
5. Полигон и гистограмма
Полигоном частот выборки называется ломаная, соединяю-
щая точки (х
Полигоном относительных частот называется ломаная, со-
единяющая точки (х
►Пример 3. Построить полигон относительных частот, если
статистическое распределение выборки имеет вид
), (x2; n2) ,..., (xк;nк).
1;n1
; W1), (х2; W2),..., (хк; Wк).
1
Рис. 1
х
23567
i
n
22321
i
Решение.
Т. к. нужно построить полигон относительных частот, а
n
W
i
=
и n = 10, то имеем
i
n
х
W
i
23567
0,2 0,2 0,3 0,2 0,1
i
Построим полигон, нанеся точки (хi,Wi) на график
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]