Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
то все условия теоремы Чебышева выполняются. Следовательно,
n
1
nn
1
k
В теореме Бернулли доказывается свойство устойчивости ча-
стоты, которое раньше мы принимали как эмпирический факт.
Итак, частота
p=Р(A).
Замечание 7. Из доказательства теоремы Бернулли следует,
что
Pp
Pp
Пример 38. Сколько следует проверить деталей, чтобы с
вероятностью неменьшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,9 не превысит 0,01?
Решение.
m
X
mpq
n
mpq
n
сходится по вероятности к
k
11
nn
m
события А сходится по вероятности к
n
n
1
DX
11
1
n
n
.
2
k
k
1
22
n
M X np p
1
k
n
k
.
.
mpq
Pp
n
pq
10,95
2
n
pq
n
0,05 0, 05 0, 01
лей, которые следует проверить, равно 18000.4
, откуда
22
1
0,9 0,1
, т.к. =0,01; p=0,9; q=0,1, то
2
n
pq
0,05
2
n
18000
,
, т.е. наименьшее число дета-
81
18. Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема включает теорему Ляпунова
и теоремы Муавра-Лапласа. Эти теоремы устанавливают факт
приближения при определенных условиях закона распределения
суммы случайных величин к нормальному закону.
18.1. Теорема Ляпунова
(для одинаково распределенных случайных величин)
Если последовательность X1, X2, ... , Xn, ... состоит из неза-
висимых случайных величин, имеющих один и тот же закон рас-
пределения (не
и дисперсией
важно какой) с математическим ожиданием
2
, то закон распределения
x
n
X
приближен-
i
1
i
m
но (тем точнее, чем больше n) равен нормальному закону с пара-
метрами
n
1
X
n
1
i
трами
a
m
=n
x
приближенно равен нормальному закону с параме-
i
m
a
=
,
x
,
x
).
n
n
x
( или закон распределения
18.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
Биноминальное распределение приближенно (тем точнее,
чем больше n) равно нормальному распределению с параметрами
a
=np,
npq
, т.е. вероятность того, что в n независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р ( 0<p<1 ), событие А наступит равно m раз, приближенно равна ( тем точнее, чем больше n )
x
82
2
mnp
mmn m
Pm Cpq e
где
(х) затабулированы — есть таблицы, причем (-х)= (х) ).
каждом из которых вероятность появления события А равна р
(0<p<1 ) , событие А наступит не менее m
приближенно равна:
(Сравните с формулой
равна 0,2.
между числами m
nn
xxe
18.3 Интегральная формула Муавра – Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в
Pm mm
Пример 39. Вероятность ошибки в каждом из ста счетов
Найти
вероятность того, что ошибки имеются в 20 счетах;
вероятность того, что число счетов с ошибками заключено
Решение.
n=100, m=20, p=0,2, q=0,8, npq=100·0,2·0,8=16
12
n
1
2
=20 и m2=30.
1
2
2
1
2
,
x
mnp mnp
21
npq npq
PX
npq
mnp
,
npq
npq
2
1qp
раз и не более m2 раз,
1
1
=
npq
(значения функции
aa
,
x
).
20
Px
100
P
100
(см. таблицу 1 приложения).
1
16
11
20 0 0,3989 0,0997
44
, где
20 100 0,2
x
16
0
,
83
30 20 20 20
Pm
100
18.4. Отклонение относительной частоты от постоянной
пытаниях с вероятностью р ( 0<p<1 ). Тогда из интегральной теоремы Муавра – Лапласа следует, что
20 30
2,5 0 0,4938 0 0, 4938
вероятности в независимых испытаниях
Пусть событие А появляется в каждом из n независимых ис-
44
(см. таблицу 2 приложения).4
mn
Pp
( Сравните с формулой
Пример 40. Сколько следует проверить деталей, чтобы с
вероятностью неменьшей 0,95, можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,9, не превысит 0,01?
Решение.
Т. к. =0,01; p=0,9; q=0,1, то
mn
P
откуда
,
001
03
т. е.
,, ,
09 001 2 095
n
n
,
,
3458n
0 475
.
n
30
PXa l
001
n
,196
2
pq
,
,,
09 01
или n
2
,,196 30 58 8
.
l
).
,
Сравните результат с ответом этой же задачи, решенной с по-
мощью неравенства Чебышева.4
84
19. Критические точки (критические границы)
распределений
Понятие критических границ для абсолютно непрерывных
случайных величин широко используется в математической статистике при построении доверительных интервалов и критериев
проверки гипотез.
В приложениях теории вероятностей часто используется следующий вариант принципа игнорирования маловероятных событий. Для случайной величины X находят — интервал, в который
X попадает с заданной вероятностью , близкой
небрежимо малой вероятностью =1- происходит противоположное событие – попадание X в так называемую критическую
область, отделяемую от — интервала критическими точками.
Различают три случая:
Левосторонняя критическая область с критической точкой К
.
В этом случае -интервал: хК
. На рис. 13 представлены ле-
восторонняя критическая область, отвечающая вероятности и
-интервал, разделяемые критической точкой К
ной случайной величины Х с плотностью f(х).
к единице. С пре-
, для непрерыв-
Рис. 13
85
Очевидно, что
=Р (Х ≥ К
то есть значение К
является решением уравнения F(К)=.
) и = Р (Х < К)= F(К),
Правосторонняя критическая область с критической
точкой В
,
α
В этом случае — интервал: х < B
. На рис. 14 представлены
правосторонняя критическая область, отвечающая вероятности
и -интервал, разделяемые критической точкой В
, для непрерыв-
ной случайной величины Х с плотностью f(х). Очевидно, что
=Р (Х < В
т.е. значение В
)=F(В) и = Р (Х B)=1 — F(В).
является решением уравнения F(В)=1-.
Рис. 14
Между левосторонней К и правосторонней B критическими
границами существует следующее соотношение:
К
= B
1-
Двусторонняя критическая область с левой и правой
критическим точками: В
В этом случае — интервал: В
86
и Впα.
лα
Х<Bп.
л
Рис. 15
На рис. 15 представлены двусторонняя критическая область,
отвечающая вероятности и -интервал, разделяемые критическими точкми В
и Вп, для непрерывной случайной величины Х
л
с плотностью f(х). Очевидно, что
=Р (В
Х<Bп) и причем Р (Х < Bл)= Р (Х ≥ Bп)=/2= F(Вл).
л
т.е. значение Вл является решением уравнения F(Вл)=/2, значение В
является решением уравнения F(Вп)=1–/2.
п
Между односторонними и двусторонними границами существуют следующее соотношения:
Вл= К
/2=B1-/2
, Вп= К
1-/2
= B
/2
.
20. Основные распределения,
связанные с нормальным
В теории вероятностей и математической статистике широко
используются следующие распределения, выражающиеся в виде
функций от компонент нормального случайного вектора.
87
20.1 Распределение Пирсона χ2(n)
(хи-квадрат с n степенями свободы)
Распределением 2(n) с n степенями свободы называется рас-
пределение суммы квадратов n независимых стандартных случайных величин:
Здесь Z
i
, i=1,…,n – независимые случайные величины, имею-
2
(n)=
i
n
2
.
i
1
щие стандартное нормальное распределение, т.е.
М[Z
]=0; D[Zi]=1.
i
На рисунке 16 показано семейство функций плотностей веро-
2
ятностей случайных величин
(n) при разных степенях свободы.
Рис. 16
Плотность этого распределения имеет вид
,,
00
x
f(x) =
1
n
2
2
Г
nx
1
22
n
()
,
xe x
2
0
где Г(p) — гамма-функция, в частности Г(n + 1) = n!
88
Графики плотности вероятности называют кривыми Пирсона.
Графики, начиная с n = 2 , имеют по одному максимуму в точке x = n – 2.
При n = 2 распределение
f(x) =
2
совпадает с показательным
,,
00
1
2
x
x
2
,
ex
.
0
С увеличением числа степеней свободы распределение
медленно приближается к нормальному. При достаточно больших
n (n>30) вследствие центральной предельной теоремы распределения
тематическим ожиданием М[
2
(n) можно заменить на нормальное распределение с ма-
2
(n)]=n и дисперсией D [2(n)]=2n.
При построении доверительных интервалов и проверке гипотез используются двусторонние критические границы распреде-
2
ления
. Поскольку двусторонние границы можно определить по
односторонним, то в таблицах приводятся только правосторонние
критические границы (для каждого значения степеней свободы).
Плотность распределения Пирсона – функция общего вида,
поэтому в таблицах приводятся квантили, соответствующие как
малым вероятностям 0,01; 0,025; 0,05; 0,1 так и большим 0,9; 0,95;
0,975;0,99.
20.2. Распределение Стьюдента (t(n) распределение
с n степенями свободы)
Если Z и V — независимые случайные величины,
имеет стандартное нормальное (m
= 0, z = 1) распределение, а
z
причем Z
V имеет распределение 2 с n степенями свободы, то случайная
величина
nTZ
V
Z
2
n
()
=
n
2
89
имеет t(n) — распределение или распределение Стьюдента с
n степенями свободы.
Плотность этого распределения равна
1
n
д
f(t) =
()
2
n
д n
()
1
()
1
n
2
t
2
n
2
Плотность распределения Стъюдента – четная функция, как и
у стандартного нормального распределения, поэтому
Р(t(n)<x)=P(t(n)>–x)=1–P(t(n)<-x), или F
(x)=1–F
t(n)
t(n)
(–x).
На рисунке 17 приведены кривые плотности распределения
Стьюдента и стандартного нормального распределения, а также
показаны двусторонние критические границы этих распределений.
Рис. 17
Графики кривых Стьюдента симметричны относительно оси
ординат, с возрастанием числа степеней свободы n распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. При n >
30 распределение Стьюдента заменяют нормальным распределением, так как при n → плотность вероятности распределения
Стьюдента сходится к плотности нормального нормированного
распределения
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]