Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
12. Статистическая проверка гипотез
12.1 Основные понятия проверки гипотез
Гипотезой в статистике называют предположение о распределении генеральной совокупности, проверяемое по выборочному
распределению.
Примеры гипотез:
Математическое ожидание М[X] нормально распределенной случайной величины Х равно числу m
две нормально распределенные независимые случайные величины имеют одинаковые дисперсии s
случайная величина Х имеет нормальное распределение.
Первые две гипотезы содержат предположения о параметрах
известных распределений. Такие гипотезы называют параметрическими.
В последнем случае приводится гипотеза о неизвестном распределении генеральной совокупности. Такие гипотезы называют
непараметрическими.
Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоположную ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута
то имеет место противоположная гипотеза. По этой причине эти
гипотезы целесообразно различать.
Обычно некоторую выдвинутую гипотезу называют основ-
ной или нулевой гипотезой H
.
0
Тогда конкурирующей (альтернативной) называют гипоте-
, которая является логическим отрицанием H0.
зу H
1
Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении,
что математическое ожидание
a нормального распределения рав-
но 10, то конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в
предположении, что
H
: a = 10; H1: a ¹ 10.
0
a ¹ 10. Коротко это записывают так:
Различают гипотезы, которые содержат только одно и более
одного предположений.
;
0
2
2
=s
;
1
2
,
191
Простой называют параметрическую гипотезу, содержащую
только одно предположение. Например, если l — параметр показательного распределения, то гипотеза H
: l =5 — простая.
0
Сложной называют параметрическую гипотезу, которая со-
стоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.
Например, сложная гипотеза H
множества простых вида H
: λ > 5 состоит из бесчисленного
0
: λ = bi , где bi — любое число, боль-
0
шее 5.
Основная задача статистики – установить критерий (пра-
вило), позволяющий по выборке принять данную гипотезу H
отклонить ее в пользу Н
ложности или истинности гипотезы Н
. При этом речь идет не об установлении
1
, т.к. на основании выборки
0
или
0
сделать это принципиально невозможно, а об установлении соответствия гипотезы результатам выборки с некоторой достаточно
большой вероятностью.
Для каждой из рассматриваемых далее параметрических гипотез указывается своя статистическая характеристика (критерий) Z – случайная величина, определяемая по выборке, с известным законом распределения.
Областью отклонения или критической
тезы Н
назовем область, при попадании в которую статистиче-
0
ской характеристики Z, данная гипотеза Н
Область отклонения G находим из условия
областью G гипо-
отклоняется.
0
(|)PZ G H
,
0
т.е. G выбирается так, чтобы вероятность попадания критерия Z в
область G при условии верности гипотезы Н
Область
принятия гипотезы Н0 есть дополнение области
G
, была равна α.
0
отклонения G до области всех возможных значений статистической характеристики Z и находится из условия
(|)PZ G H
,
0
где α+γ=1.
Если значения критерия Z попадают в G, то основная гипотеза Н
отклоняется и принимается гипотеза Н1; если же точка Z
0
попала в
, то принимается Н0, а Н1 отклоняется.
G
192
Область отклонения G может быть односторонней (правосто-
ронней или левосторонней) и двусторонней:
область G односторонняя:
левосторонняя, если
(|)
PZ z H
р 0
k
Рис. 8
правосторонней, если
(|)
PZ z H
(здесь z
кр
0
— критическая
kp
точка, отделяющая область принятия гипотезы от области отклонения).
Рис. 9
193
область G двусторонняя, если
(|)
PZ z H
, где точки Z
р 0
пk
(левая критическая точка) и Z
лкр
(|)
PZ z H +
лкр
0
nkp
(правая критическая точка) отделяют область принятия гипотезы
от области отклонения G.
Рис. 10
В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенством |Z|>z
P(Z<-z
)= P(>zкр)=a/2.
кр
(zкр>0). В этом случае P(Z<-zкр)+ P(>zкр)=a и
кр.
12.2 Ошибки первого и второго рода
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку
проверку производят статистическими методами, ее называют
статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в
двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов:
Ошибка первого
потеза Н
, тогда как на самом деле верной является Н0.
1
рода состоит в том, что будет принята ги-
Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через a; ее называют уровнем значимости (риском)
(a является дополнением доверительной вероятности до единицы). Таким образом,
(|)( )PZ G H PH H
,
194
010
где P(H1|H0) – вероятность того, что будет принята гипотеза Н1,
если на самом деле верна гипотеза Н
.
0
Наиболее часто в статистике уровень значимости принимают
равным 0,05 (в предварительных исследованиях); 0,01; 0,005 или
0,001 (в окончательных выводах). Если, например, принят уровень
значимости , равный 0,05 , то это означает , что в пяти случаях из
ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята
потеза Н
, тогда как на самом деле верной является Н1, ее вероят-
0
ги-
ность обозначают b:
(|)( )PZ G H PH H
101
где P(H0|H1) – вероятность того, что будет принята гипотеза Н0,
если на самом деле верна гипотеза Н
.
1
Подчеркнем, что последствия этих ошибок могут оказаться
весьма значительными. Например, если отвергнуто правильное
решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято
неправильное решение «продолжать строительство», несмотря
на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода может
повлечь гибель людей. Можно привести
примеры, когда ошибка
первого рода влечет более тяжелые последствия, чем ошибка второго рода.
Область отклонения G гипотезы Н
при выбранном уровне
0
значимости a желательно выбирать так, чтобы минимизировать
ошибку второго рода b, т.е. выбирать так, чтобы максимизировать
вероятность попадания критерия Z в область отклонения
на самом деле верна конкурирующая гипотеза Н
.
1
, когда
G
Правильное решение может быть принято также в двух слу-
чаях:
* гипотеза Н
принимается, причем и в действительности она
0
правильная; вероятность такого решения
1(|)( )PZ G H PH H
000
195
* гипотеза Н1 принимается, причем и в действительности она
верна; вероятность такого решения
1(|)()PZ G H PH H
111
называется мощностью критерия.
Критерий называется наиболее мощным, если из всех воз-
можных критериев с заданным уровнем значимости a он обладает
наибольшей мощностью.
Пусть f (Z|Н
сти гипотезы Н
верности гипотезы Н
) – плотность вероятности Z при условии верно-
0
, f(Z|Н1) – плотность вероятности Z при условии
0
, тогда можно сделать чертеж.
1
Рис. 11
Хорошо видно, что для увеличения мощности критерия φ,
нужно уменьшить β, но тогда увеличится α, а риск a задают заранее. Уменьшить α и β можно, увеличивая объем выборки, но это
не всегда возможно.
12.3 Схема проверки статистической гипотезы
1. Формулируем основную и альтернативную гипотезы: Н
Н
. Заказываем уровень значимости α.
1
0
и
2. Выбираем критерий Z и находим область отклонения G.
3. Делаем выборку из генеральной совокупности (проводим
ряд наблюдений). Исходя из выборки вычисляем наблюдаемое
значение случайной величины Z, т.е. z
196
набл.
►. Если z
рующей Н
1
ем ошибку с вероятностью a). Если z
G, то гипотезу Н0 отвергаем в пользу конкури-
набл.
как несогласующуюся с выборкой (при этом соверша-
Gгипотезу Н0 принима-
набл.
ем как согласующуюся с выборкой (при этом совершаем
ошибку с вероятностью β).
12.4 Сравнение выборочной средней с гипотетической
генеральной средней нормальной совокупности
Пусть исследуемый признак X генеральной совокупности
распределен нормально, но параметр
нование полагать, что этот параметр равен
рить это предположение, находим по выборке (x
борочную среднюю
различаютcя
x и 0a . Итак, требуется по выборочной средней Bx
B
x и устанавливаем, значимо или незначимо
B
a неизвестен, хотя есть ос-
a . Чтобы прове-
0
, x2,..., xn) вы-
1
при заданном риске (уровне значимости) a проверить основную
гипотезу Н
гипотетическому (предполагаемому) значению
:
aa равенстве генеральной средней (параметра a )
0
0
a .
0
Поскольку критическая область строится в зависимости от
вида конкурирующей гипотезы, то сформулируем несколько правил.
12.4.1. Параметр s известен
Правило 1.
Гипотезы Н
aa , Н
0
:
1
aa
0
0
:
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем слу-
Xa
чайную величину
Z
0B
, которая, как мы знаем, имеет нор-
n
мальное распределение с m
Критическую область G найдем из условия
Если найденное по выборке Z
щуюся с выборкой отклоняем в пользу гипотезы H
= 0, sz = 1.
z
набл
()
PZ z H
кр
0
G, то H0 как несогласую-
.
1
Итак, чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу Н
:
aa при конкурирующей гипотезе Н
0
0
:
aa ,
1
0
.
197
xa
надо вычислить по выборке
z
и найти критическую
набл
0B
n
точку z
ний функции Лапласа приложения из условия Ф(z
двусторонней критической облаcти по таблице 2 значе-
kp
1
)=
kp
.
2
Рис. 12
Если
z <z
набл‘
, то гипотезу H0 принимаем как согласующую-
kp
ся с выборкой.
Если
z >z
набл‘
юся с выборкой в пользу гипотезы Н
, то гипотезу H0 отклоняем как не согласующу-
kp
.
1
Правило 2.
Гипотезы Н0:
aa , Н
0
:
1
aa
0
Чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую
гипотезу Н
aa при конкурирующей гипотезе Н
0
0
:
aa , когда
1
0
:
параметр s известен, нужно по таблице 2 значений функции
Лапласа приложения найти критическую точку правосторонней
12
области отклонения G из условия Ф(zkp) =
Xa
найти
Z
набл
.
0B
n
и по выборке
2
198
Если z
Если z
< zkp, то нет оснований отклонить H0.
набл
> zkp, то H0 отклоняем в пользу H1.
набл
Рис. 13
Правило 3.
Гипотезы Н
aa , Н
0
:
1
aa
0
0
:
Чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую
гипотезу Н
:
aa при конкурирующей гипотезе Н
0
0
:
aa , когда
1
0
параметр s известен, нужно сначала по таблице 2 значений функции Лапласа приложения найти вспомогательную точку z
12
*
условия Ф(z
) =
kp
области отклонения z
Xa
Z
набл
.
0B
n
, тогда критическая точка левосторонней
2
= -z
kp
*
, а также найти по выборке
kp
*
из
кр
Если z
Если z
боркой.
< zkp, то H0 отклоняем.
набл
> zkp, то H0 принимаем как согласующуюся с вы-
набл
199
Рис. 14
►Пример 32. Из нормальной генеральной совокупности из-
влечена выборка объема n = 25, найдено
x =1,2; причем известно,
B
что s = 5. Требуется при уровне значимости a = 0,05 проверить
основную гипотезу H
: a = 2 при конкурирующей H1: a 2.
0
Решение.
1
=10,05
Из условия Ф(z
ложения) находим z
-0,8. Т.к.
z
набл‘
< z
kp,
) =
kp
= 1,96. Вычисляем
kp
то гипотезу H0 принимаем.◄
2
=0,475 (см. таблицу 2 при-
2
z
=
набл
xa
0B
n
1, 2 2
5
25
=
►Пример 33 Из нормальной совокупности с известным σ =
0,36 извлечена выборка объема n = 36 и по ней найдена
x = 20,4.
B
Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу
: a = 21 при конкурирующей Н1: a < 21.
Н0
Решение.
Т. к. конкурирующая гипотеза Н1: a <21, то область отклоне-
12
*
ния — левосторонняя, следовательно, находим из Ф(z
120,05
=
2
0, 45
) =
kp
2
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]