Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Решая квадратное неравенство найдем, что доверительный интервал (p
Р(р
<р<р2)= γ.
1
) покрывает параметр p с надежностью γ, т.е
1;p2
►Пример 29. Найти доверительный интервал для оценки
параметра p биноминального распределения с надежностью 0,95;
если в 60 испытаниях событие появилось 18 раз.
Решение.
По условию n = 60, m = 18 ,
Относительная частота события А равна
Найдем t из равенства
()
Ф t , т.е. ( ) 0,475Ф t ; по таблице 2 при-
ложения t = 1,96.
= 0,95
wn .
18
m
60
0,3
2
Следовательно,
2
1, 9 6
1, 9 6
0,199
2
0,425
p
1
p
2
60
2
1, 96 60
60
2
1, 96 60
0,3 1,96
0,3 1,96
2
1, 96 0,3(1 0,3)
260 60 260
2
1, 96 0, 3(1 0,3)
260 60 260
Итак, доверительный интервал (0,199; 0,425) покрывает параметр p с вероятностью 0,95.3
Замечание 11.
При больших значениях n (порядка сотен) слагаемые
2
t
и
22
nn
2
t
очень малы и
p
1
wt
n
2
nt
(1 )ww
и p2
n
1, поэтому
wt
.
(1 )ww
n
Итак, в этом случае доверительный интервал
(1 )ww
(w-t
; w +t
n
(1 )ww
)
n
181
покрывает параметр p с надежностью γ, где
()
из равенства.
Ф t по таблице 2 приложения.
2
m
wn , а t находим
11. Законы распределения
Основные задачи
В научных исследованиях, а также на практике часто бывает
необходимо найти неизвестный закон распределения некоторого
признака, который является случайной величиной. С этой целью
производят наблюдения или эксперимент и получают опытное
(иначе - эмпирическое) распределение случайной величины в
виде вариационного ряда. Тогда поставленная задача сводится к
нахождению требуемого закона случайной величины
нии полученного ее опытного распределения.
Решение сформулированной задачи в общем виде весьма затруднительно. Поэтому поступают иначе: на основе всестороннего анализа опытных данных, общих теоретических предпосылок
и особенностей известных теоретических распределений подбирают среди них закон распределения, который лучше других отражает, аппроксимирует опытное распределение случайной величины. Затем используя то же опытное распределение, находят параметры избранного закона распределения изучаемой случайной
величины.
Пусть поставленная задача решена, т.е. выбран вид предлагаемого теоретического закона распределения случайной величины и найдены, исходя из сделанного предположения, параметры
закона распределения избранного вида. Но правильный ли был
выбор закона распределения, отражает
ли он все вытекающие из
опытных данных особенности распределения случайной величины? Таким образом, возникает новая задача - проверить правильность выбора вида предлагаемого теоретического распределения,
согласованность его с имеющимся эмпирическим материалом (вариационным рядом).
на основа-
182
Перейдем теперь к рассмотрению и решению двух поставлен-
ных задач.
11.1 Построение теоретического закона распределения
по данному вариационному ряду
Пусть некоторый признак является случайной величиной X,
закон распределения которой нужно установить. Предположим,
что результаты достаточно большого числа наблюдений, по которым составлено опытное распределение признака, можно рассматривать как данные случайной выборки из
некоторой генеральной
совокупности. Тогда мы имеем n случайных величин (по числу наблюдений), которые характеризуют распределение признака при
отборе соответственно первого , второго ,..., n-го членов выборки,
причем эти случайные величины распределены одинаково , а закон
распределения каждой совпадает с законом распределения искомой случайной величины X. Пусть ее математическое ожидание
равно
a , а дисперсия равна s
2
.
Независимо от того, являются ли данные наблюдения результатами повторной или бесповторной выборки, математическое
ожидание выборочной средней равно. Математическое ожида-
1n
ние выборочной дисперсии повторной выборки равно
11nN
бесповторной
nN
2
. Но в этих формулах коэффициенты
2
, а
n
очень мало отличаются от единицы, поскольку по условию объем
выборки n достаточно велик (а тем более объем генеральной совокупности N).
Следовательно, математическое ожидание выборочной дисперсии обоих видов случайной выборки можно считать равным
дисперсии искомой случайной величины. Поэтому в соответствии
с законом больших чисел средняя арифметическая
и дисперсия
опытного распределения практически совпадают с математическим ожиданием и дисперсией случайной величины X. Отсюда
должно быть ясно, как по опытным данным найти параметры теоретического закона распределения искомой случайной величины
X, так как в большинстве встречающихся на практике случаев они
183
являются или математическим ожиданием, или дисперсией, или
выражаются через них.
Если на основании теоретических предпосылок и анализа
опытных данных мы придем к выводу, что изучаемый признак
распределен по нормальному закону, то нахождение нормального
закона этого признака сводится к определению по опытным данным его двух параметров:
2
a и s
(математического ожидания и
дисперсии) случайной ве- личины приблизительно равным соответственно средней арифметической и дисперсии опытного
распределения признака. Плотность вероятности или функция
распределения нормально распределенной случайной величины с
этими параметрами и является выражением нормального закона
распределения признака.
В приложениях случайные величины, распределенные по нор-
мальному закону, встречаются весьма часто. Теорема
Ляпунова
определяет условия, выполнение которых гарантирует распределение случайной величины по нормальному закону. Поэтому если
опытные данные удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова, то
можно ожидать, что изучаемый признак имеет нормальный закон
распределения.
Если некоторый признак может принимать лишь неотрицательные последовательные целочисленные значения, средняя
арифметическая и дисперсия его опытного распределения совпадают
или мало отличаются друг от друга, то можно ожидать, что
признак распределен по закону Пуассона. За его параметр l принимается средняя арифметическая вариационного ряда, так как
единственный параметр l закона Пуассона является и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины.
Распределение c
2
определяется одним параметром k , который
как известно, является математическим ожиданием случайной величины (ее дисперсия равна 2k).
Существенную помощь при выборе предполагаемого теоретического распределения исследуемой случайной величины могут оказать кривые распределения и сравнение их с графическим
изображением ее опытного распределения.
184
11.2 Эмпирические и выравнивающие (теоретические)
частоты
11.2.1. Дискретное распределение
Рассмотрим дискретную случайную величину X, закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено n испытаний,
в которых величина Х приняла n
х
, ... , n k раз значение х k, причем
2
Эмпирическими частотами называют фактически
наблюдаемые частоты n
.
i
раз значение х1, n2 раз значение
1
nn
i
.
i
Пусть имеются основания предположить, что изучаемая величина Х распределена по некоторому определенному закону.
Чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными
наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, т.е. находят теоретически частоту n
*
каждого из наблюдаемых значений
i
в предположении, что величина Х распределена по предполагаемому закону.
Выравнивающими (теоретическими) в отличие от факти-
чески наблюдаемых эмпирических частот называют частоты n
*
i
найденные теоретически (вычислением). Выравнивающие частоты находят с помощью равенства
*
n
= nрi ,
где n - число испытаний; р
х
, вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое
i
i
- вероятность наблюдаемого значения
i
распределение.
Итак, выравнивающая частота наблюдаемого значения х
дис-
i
кретного распределения равна произведению числа испытаний на
вероятность этого наблюдаемого значения.
,
11.2.2. Непрерывное распределение
В случае непрерывного распределения с.в. X, вероятности отдельных возможных значений равны нулю. Поэтому весь интервал возможных значений делят на k непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности р
попадания Х в i-й частичный ин-
i
тервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают
число испытаний на эти вероятности.
185
Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения
находят по равенству
*
= nрi ,
n
i
где n - число испытаний; р
- вероятность попадания Х в i-й ча-
i
стичный интервал, вычисленная при допущении, что с.в. Х имеет
предполагаемое распределение.
В частности, если имеются основания предположить, что
случайная величина Х (генеральная совокупность) распределена
нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по
формуле
*
n
= nh/sв×j(ui) ,
i
где n - число испытаний (объем выборки), h - длина частичного
интервала , s
u
= (xi -
i
- выборочное среднее квадратическое отклонение,
в
x )/s
(xi - середина i-го частичного интервала),
B
в
j(u) =
1
2
e
2
-
/ 2
u
,
здесь j(u) - плотность нормированного нормального распределения (затабулирована, см. таблицу 1 приложения).
Более точная формула
*
n
= n(Ф(u
i
пр
) – Ф(u
i
лев
)),
i
где
лев
u
i
=( x
лев
-
x )/s
B
i
пр
=( x
пр
-
x )/s
, Ф(х) – функция Лапласа
B
i
B
, u
B
i
(затабулирована, см. таблицу 1 приложения).
лев
пр
, x
i
– левая и правая границы i-го интервала и
i
лев
u
1
Здесь x
=-∞, u
пр
к
=+∞.
186
11.3 Построение нормальной кривой
по опытным данным
Один из способов построения нормальной кривой по данным
наблюдений состоит в следующем:
Находят по данной выборке
Находят ординаты у
ской кривой по формуле у
(выравнивающие частоты) теоретиче-
i
x и s
= nh/sв×j(ui), где n — сумма наблюда-
i
.
B
в
емых частот, h — разность между двумя соседними вариантами:
u
= (хi -
i
Строят точки (х
x )/s
и j(u) =
B
В
, yi) в прямоугольной системе координат и со-
i
1
2п
e
2
-
/ 2.
u
единяют их плавной кривой.
Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак
распределен нормально.
11.4 Оценка отклонения эмпирического распределения
от нормального. Асимметрия и эксцесс
Для оценки отклонения эмпирического распределения от
нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся
асимметрия и эксцесс. Смысл этих характеристик аналогичен смыслу асимметрии и эксцесса теоретического
распределения.
Асимметрия эмпирического распределения определяется ра-
венством
*
3
/s
,
3
в
где m
a
= m
s
*
- центральный эмпирический момент третьего порядка.
3
Эксцесс эмпирического распределения определяется равен-
ством
*
*
4
/s
- 3 ,
4
в
где m
e
= m
k
*
- центральный эмпирический момент четвертого порядка.
4
187
*
Моменты m
*
и m
вычисляют по формуле
3
4
n
1
*
kiB
()
n
1
i
xx
k
.
►Пример 30. В результате эксперимента, состоящего из n =
520 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число х
появлений некоторого события , получено следующее эмпирическое распределение:
i
x
n
01234568
i
120 167 130 69 27 5 1 1
i
Найти выравнивающие частоты n
*
в предположении, что слу-
i
чайная величина Х (генеральная совокупность) распределена по
закону Пуассона.
Решение.
Известно, что параметр l, которым определяется распределение Пуассона, равен математическому ожиданию этого распределения. Поскольку в качестве оценки математического ожидания
принимают выборочную среднюю, то и в качестве оценки l можно
принять выборочную среднюю
выборочная средняя равна
x
. Легко найти по условию, что
B
x = 3/2, следовательно, можно при-
B
нять l = 1,5.
Таким образом, формула Пуассона
P
(k) = (lke-l) /k!
n
Принимает вид
(k) = (1,5k×e
P
520
Пользуясь этой формулой, найдем вероятности P
-1,5
) /k!
(k) при k =
520
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (для простоты записи индекс 520 далее опущен):
Р(0) = 0,22313, Р(1) = 0,33469, Р(2) = 0,251021, Р(3) = 0,125511,
Р(4) = 0,047066, Р(5) = 0,014120, Р(6) = 0,003530, Р(7) = 0,000755.
188
Найдем выравнивающие частоты (результаты умножения
округлены до единицы):
*
= nP(0) = 520 × 0,22313 = 116,
n
1
*
n
= nP(1) = 520 × 0,33469 = 174.
2
Аналогично находят и остальные выравнивающие частоты. В
итоге получим:
n
n
123 167 130 69 27 5 1 1
i
*
116 174 131 65 27 7 2 0
i
Cравнительно небольшое расхождение эмпирических и вы-
равнивающих частот подтверждает предположение, что рассматриваемое распределение подчинено закону Пуассона.
Заметим, что если подсчитать выборочную дисперсию по
данному распределению, то окажется, что она равна выборочной
средней, т.е. D
=1,5. Это служит еще одним подтверждением сде-
в
ланного предположения, поскольку для распределения Пуассона
l = М[Х] = D[Х].3
►Пример 31. Построить нормальную кривую по данному
распределению:
х
15 20 25 30 35 40 45 50 55
i
n
6 13 38 74 106 85 30 10 4
i
Решение.
Найдем сначала
x = 34,7 , s
B
= 7,38.
в
Вычислим выравнивающие частоты
189
х
15
20
25
30
35
►0
►5
50
55
i
n
6
13
38
74
106
85
30
10
►
i
хi -Bx ui = (хi -Bx )/s
-19,7
-14,7
-9,7
-4,7
0,3
5,3
10,3
15,3
20,3
-2,67
-1,99
-1,31
-0,63
0,05
0,73
1,41
2,09
2,77
в
j(ui)
0,0113
0,0551
0,1691
0,3271
0,3984
0,3056
0,1476
0,0449
0,0086
n=366 Σyi = 366
yi=nh/sв×j(ui)=
= 248×j(ui)
3
14
►2
82
99
76
37
11
2
Рис. 7
На рисунке построены нормальная (теоретическая) кривая по
выравнивающим частотам и полигон наблюдаемых частот (они
отмечены крестиками). Сравнение графиков наглядно показывает,
что построенная теоретическая кривая удовлетворительно отражает данные наблюдений. Для того чтобы более уверенно считать,
что данные наблюдений свидетельствуют о нормальном распределении признака, пользуются специальными правилами (их называют критериями
190
согласия, см. дальше).◄
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]