Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
2
t
1
()
ft e
2
2
Числовые характеристики t-распределения :
n
MT DT
,02
n
при n > 2 .
Как видно из рисунка критические границы распределения
Стьюдента t
шире соответствующих двусторонних критиче-
ских границ. стандартного нормального распределения (t
В таблицах приводятся правые двусторонние границы t
разных значений степеней свободы.
Замечание 8.
).
>u
(n) для
Легко видеть, что построенные по выборке (х
мальной случайной величины Х с m
Xa
B
чина Z=
;1
z
а случайная величина V=
имеет нормальное распределение, причем mz=0,
n
/
=а и
х
()
2
1nS
2
x
имеет распределение 2
,…,хn) нор-
1,х2
случайная вели-
с (n-1) степенями свободы, и следовательно, случайная величина
Xa
B
T=
Sn
боды, т.к. T=Z
имеет распределение Стьюдента с (n-1) степенями сво-
/
1n
.
V
При n=1 распределение Стьюдента совпадает с распределе-
нием Коши f(t)=
11
2
1
t
, для которого mt=0, Dt=
.
20.3. Распределение Фишера
Если U и V — независимые случайные величины, распреде-
2
ленные по закону
со степенями свободы k1 и k2, то положитель-
ная случайная величина
/
Uk
/
Vk
2
1
F=
91
имеет распределение, которое называют распределением F Фишера со степенями свободы k
и k2.
1
Плотность этого распределения
кк
12
Г
2
()
fx к к при x
кк
12
ГГ
22
//
кк
22
12
12
()/
к
22
1
x
().
кк
2
()
ккx
21
12
.
0
Графики плотности вероятности называются кривыми
Фишера. Они асимметричны, имеют длинные «хвосты≈ и достигают махсимума вблизи точки x=1.
В таблицах приводятся правосторонние критические границы
B
этого распределения для разных значений степеней свободы:
)=.
Квантили К
и К
P(F>B
распределение Фишера порядка и 1-
1-
связаны формулой:
К
=1/ К
1-
Замечание 9.
В рекомендуемой литературе, в частности, в учебнике
[Колемаев В. А.] приводятся таблицы для наиболее употребитель-
ных критических точек непрерывных распределений: Стьюдента:
t
= Вп, Пирсона:
р
2
=B, Фишера: Fр=B. Остальные критические
p
точки поможет найти следующая таблица соответствий:
Критическая
область
Критическая
точка
Распределение
с.в. Х
Стъюдента, t(k) -t
Пирсона, c2(k) c
Фишера,
F(k1,k2)
Лево-
сторонняя
К
a
р
(р=2a)
2
p
(p=1-a)
1/F
p
(p=a)
Право-
сторонняя
В
a
t
р
(р=2a)
2
c
p
(p=a)
F
p
(p=a)
Двухсторонняя
В
лa
-t
p
(р=a)
2
c
p
(p=1-a/2)
1/F
(p=a/2)
(p=a/2)
p
(p=a/2)
В
пa
t
p
(р=a)
2
c
p
F
p
92
Замечание 10.
Для стандартного нормального распределения двусторон-
ние границы симметричны и имеют специальные обозначения
u
, т.е.Bл=-u, Вп=u, причем u является решением уравнения
Ф(u
)=(1-)/2.
21. Методические указания
21.1. Классическая формула
При решении задач по данной теме рекомендуется пользо-
ваться классической формулой для вычисления вероятности события
PA
чаев, n — число всех случаев в опыте.
Число случаев удобно находить, пользуясь таблицей.
Выборка Упорядоченная Неупорядоченная
Без повторений
() ,
m
где m — число благоприятных событию А слу-
n
!
A
m
n
n
)!(
mn
m
C
n
!
n
!( )!
mnm
С повторениями
m
А n
n
m
C
m
n
nm
!( )!
mn
1
1
()!
Пример 41. Из 5 менеджеров и 6 бухгалтеров необходимо
случайным образом сформировать комитет из 7 человек. Какова
вероятность того, что в комитете окажутся четверо менеджеров и
трое бухгалтеров?
Решение.
Обозначим через А рассматриваемое событие.
А – в комитете окажутся четверо менеджеров и трое бухгал-
теров.
93
Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности события
PA
() ,
m
где m — число благоприятных собы-
n
тию А случаев, n — число всех случаев.
Т .к. выборки в данном случае неупорядоченные и без повто-
43
СС
рений, то
!!!!
5674 10
!!!! !
4 1 3 3 11 33
n С
7
,
11
.
4
43
m СС
56
, следовательно,
()
PA
56
7
С
11
Пример 42. В комитете из 7 человек нужно выбрать пред-
седателя и секретаря. Найти вероятность того, что ими окажутся
два вполне определенных человека.
Решение.
Обозначим через В рассматриваемое событие.
В — председателем и секретарем окажутся два вполне определенных человека.
Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности события
PB
() ,
m
где m — число благоприятных собы-
n
тию В случаев, n — число всех случаев.
Т. к. выборки в данном случае упорядоченные и без повторений, то
2
7
, следовательно,
,
1nAm
() .
PB
11 11
2
А
7
!
7
()!
72
67 42
4
Вопросы для самопроверки.
События. Классификация событий.
Сумма и произведение событий.
Несовместные, независимые события. Полная группа собы-
тий. Противоположные события.
Вероятность события. Аксиомы.
Классическая формула вычисления вероятности события.
94
21.2. Основные теоремы
При изучении этих тем следует обратить внимание на полезность выделения несовместных событий и перехода к противоположным событиям, а также на связь классического и статистического определений вероятности и ее использование на практике.
Следует обратить внимание на такие понятия, как совместность и несовместность, зависимость и независимость случайных
событий.
Важно разобраться с тем, как определяются условные вероятности событий, в каких условиях используется формула полной
вероятности, что дает применение формулы Байеса.
При решении задач по данной теме рекомендуется пользоваться теоремами сложения вероятностей и умножения вероятностей,
формулой полной вероятности, формулами Байеса и Бернулли.
Теорема сложения вероятностей
Р(А
+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)–Р(А1А2)-Р(А1А3)–…–
1+А2
–Р(А
Если события А
)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+…+P(A
n-1Аn
1,А2,…,Аn
n-1
+(–1)
P(A1A2…An).
несовместны, то
n-2An-1An
) – … +
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Теорема умножения вероятностей
Р(А1А2…Аn)=Р(А1)Р(А2 /A1)P(A3/A1A2)…Р(Аn/A1A2…A
Если события А
1,А2,…,Аn
независимы, то
Р(А1А2…Аn)=Р(А1)Р(А2)…Р(Аn).
Формула полной вероятности
() ( )( / )
PA PH PA H
n
i
ii
1
n-1
).
95
Формула Байеса
()
PH A
i
()(/ )
PH PA H
ii
n
()(/ )
PH PA H
i
ii
1
.
Формула Бернулли
(m)=С
P
n
m
n
pm q
n-m
Пример 43. Из 30 вопросов, предложенных преподавате-
лем, первый студент знает ответы на 20 из них, второй на 25 и
третий на 15 вопросов. Найти вероятность того, что на предложенный наудачу преподавателем вопрос:
ответит хотя бы один из этих студентов,
ответят только двое из этих студентов.
Решение.
Рассмотрим события:
А — на предложенный наудачу
вопрос ответит первый сту-
дент,
В — на предложенный наудачу вопрос ответит второй студент,
С — на предложенный наудачу вопрос ответит третий студент.
Чтобы найти вероятность того, что на предложенный на-
удачу преподавателем вопрос ответит хотя бы один из этих студентов, нужно найти вероятность события А+В+С. Это можно
сделать
следующими способами:
а) Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС),
т. к. события А, В, С — совместные события.
Т. к .
PA
n
30 3
20 2
m
() ,
бытия А, В, С независимые, то
96
()
25 5
PB
30 6
,
()
15 1
PC
30 2
и со-
Р(А+ В + С)=Р(А)+Р ( В)+Р(С)-Р(А ) Р(В)-Р(А ) Р(С)-Р(В )
Р(С)+Р(А)Р(В)Р(С)==
2 5 1 25 21 51 251 35
.
362363262362 36
б) Так как (А+В+С ) +
Р ( А + В + С )=
1(1)(1)(1)
251
362
АВС
= , то
()1P АВС
135
1.
36 36
() () ()1 P АРВРС
Чтобы найти вероятность того, что на предложенный наудачу преподавателем вопрос ответят только двое из этих студентов,
нужно найти вероятность события
AВС
Т. к.
,ABС
,АВС
несовместные события, то
ABСАВСАВС
.
()P ABC АВС АВС ()()()PABСРАВСРАВС
25 1 2 51 2 5 1 17
11 1
3 6 2 3 6 2 3 6 2 36.
4
Пример 44. Из 10 частных банков, работающих в городе,
нарушения в уплате налогов имеют место в 6 банках. Налоговая
инспекция проводит проверку трех банков, выбирая их из десяти
банков случайным образом. Выбранные банки проверяются независимо один от другого. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть выявлены инспекцией с вероятностью р=0,8.
Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен
факт наличия среди частных банков города таких банков, которые
допускают нарушения в уплате налогов?
Решение.
Обозначим через А случайное событие, вероятность которого
надо определить.
97
А — в ходе проверки будет установлен факт наличия среди
частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов.
Введем гипотезы: H
— среди выбранных для проверки трех
i
банков ровно в i банках имеют место нарушения в уплате налогов,
где i=0;1;2;3; события Н
, Н
0
, Н3 образуют полную группу не-
1, Н2
совместных событий.
Вероятность события А можно будет найти по формуле пол-
ной вероятности
PA PH PA H
3
() ( )( / )
i
ii
0
.
Вычислим вероятности гипотез:
03
СС
()
PH
()
PH
()
PH
637 3 1
!! !
3 3 10 18 6
64
0
1
2
3
С
10
21
СС
46
3
С
10
12
СС
46
3
С
10
!!!
3
С
4
3
С
10
!!!!
4637 3
!!!! !
2 2 1 5 10 10
!!!!
4637 1
!! ! ! !
312410 2
.
Проверим условие нормировки:
98
!!!
437 1
!! !
3 110 30
,
,
,
()
PH
03 3
СС С
46 6
3
33
СС
10 10
i
3
PH
0
()
131119155
i
30 10 2 6 30
1
Найдем условные вероятности события А относительно каждой гипотезы, т.е. найдем вероятности того, что нарушения в
уплате налогов будут выявлены хотя бы в одном из проверяемых
трех банков в каждом рассматриваемом случае. Вероятность Р(А/
H
) можно найти по формуле (т.к. банки проверяются независимо
i
один от другого) Р(А/H
Р(A/H
и H
несовместны.
0
Р(A/H
Р(A/H
Р(A/H
)=1-(1-p)0=1-(1-0,8)0=1-1=0, действительно, событие А
0
)=1-(1-p)1=1-(1-0,8)1=1-1+0,8=0,8.
1
)=1-(1-p)2=1-(1-0,8)2=1-0,04=0,96.
2
)=1-(1-p)3=1-(1-0,8)3=1-(1-0,8)3=1-0,008=0,992.
3
)=1-(1-р)i, где i=0; 1; 2; 3; р=0,8.
i
Используя формулу полной вероятности, найдем
() ,, ,,
13 1 1
0 0 8 0 96 0 992 0 885
PA
30 10 2 6
.4
Пример 45. В предыдущем примере налоговая инспекция
установила факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов. Найдите вероятность того, что среди случайным образом отобранных трех
банков оказалось два нарушающих уплату налогов.
Решение.
По формуле Байеса
()(/ ) , , ,
PH PA H
(/) ,
Р HA
2
22
3
()(/ )
PH PA H
i
ii
0
05 096 048
,,
0 885 0 885
054
4.
Вопросы для самопроверки.
Сумма и произведение событий.
Несовместные события. Вероятность суммы событий, веро-
ятность суммы несовместных событий.
99
Независимые события. Условная вероятность события.
Вероятность произведения событий. Вероятность произведения
независимых событий.
Полная группа событий. Гипотезы. Формула полной вероят-
ности.
Формула Байеса.
Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Вероятность появления хотя бы одного события.
21.3. Дискретная случайная величина
При изучении темы 3 и темы 4 и следует обратить особое вни-
мание на свойства
и взаимосвязь функции распределения и плотности распределения случайной величины, на их использование
при определении вероятностей различных событий, связанных со
случайной величиной. В этом смысле важное место должны занять экономические приложения рассматриваемых понятий.
Законом распределения дискретной случайной величины яв-
ляется ряд распределения
x
x
1
p
1
... x
2
p
... p
2
...
n
...
n
рi=P(X=xi), где i=1;2;...;n;...
Числовые характеристики дискретной случайной величины:
1) математическое ожидание
кретная случайная величина Х имеет n возможных значений, то
MX xp
100
n
i
),
ii
1
MX xp
i
(если же дис-
.
ii
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]