Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
3. Частота события и ее свойства
P
Если опыт воспроизведен n раз, а событие А произошло m
раз, то частотой (относительной частотой) события А назовем
(А)=
m
,
n
*
Р
т. е. отношение числа испытаний, в которых появилось событие А,
к числу всех испытаний.
Свойства частоты.
*
1) 0Р
2) Р
3) Р
4) Р
(А) 1, так как 0mn, следовательно,
*
()=1, так как m=n.
*
()=0, так как m=0.
*
(А+В)=Р*(А)+Р*(В)-Р*(АВ).
m
01
n
.
Доказательство:
Пусть опыт повторен n раз, причем событие А появилось m1
раз, событие В появилось m
этом m
раза. Тогда
3
*
()
Р AB
раза, вместе А и В появились при
2
mmm m m m
123 1 2 3
nnnn
***
() () ( )PA PB PAB
.
Условной частотой события В относительно события А, обозначение Р
*
(В/А), назовем частоту события В при условии, что со-
бытие А уже произошло, то есть это число равно отношению числа опытов N
но, к числу опытов N
, в которых произошли события А и В одновремен-
AB
, в которых появилось событие А, то есть
A
*
(/)
PBA
5) Р*(АВ)=Р*(А)Р*(В/А).
N
AB
N
A
11
Доказательство:
Пусть опыт повторен n раз, событие А при этом появилось
раз, событие В появилось m2 раза, вместе А и В появились m3
m
1
раза. Тогда
***
() ()(/).
PAB PAPBA
mmmmm
33113
nnm nm
Аналогично, можно доказать, что Р
11
*
(АВ)=Р*(В)Р*(А/В).
Частота случайного события обладает свойством устойчиво-
сти, т.е. при увеличении числа опытов значения частоты события
группируются около некоторого числа, характеризующего возможность появления данного события в данном опыте.
Таким образом, мы приходим к понятию вероятности собы-
тия в данном опыте.
4. Вероятность события.
Аксиомы теории вероятностей
Вероятностью Р(А) события А в опыте назовем численную
меру объективной возможности появления события А в данном
опыте.
Основные аксиомы:
Аксиома 1. Вероятность любого события А есть число Р(А),
удовлетворяющее неравенствам 0
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна едини-
це, то есть Р()=1.
Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю,
то есть Р()=0.
() .1P А
12
5. Классическое определение
вероятности события
События Е1, Е2,...,Еn называются случаями в опыте, если
они образуют полную группу событий, т.е. Е
несовместны, то есть Е
=, где ij;
iEj
равновозможны.
Случай называется благоприятным событию А, если появ-
ление этого случая влечет появление события А. Пусть в данном
опыте благоприятными событию А являются случаи Е
то есть А= Е
+ Е2 +... + Еm. Покажем, что
1
m
() ,
PA
n
где m – число благоприятных событию А случаев, n – число всех
случаев в данном опыте.
Действительно, Р(Е
+...+Еn)=Р()=1, так как события не-
1+Е2
совместны, то
+...+Еn=;
1+Е2
, Е2,...,Еm,
1
Р(Е
) + Р(Е2) +...+ Р(Еn) =1 (1).
1
По условию события равновозможны, следовательно,
Р(Е
Из равенств (1) и (2) следует, что Р(Е
) = Р(Е2) =...= Р(Еn) (2).
1
)=Р(Е2) =...= Р(Еn)=
1
Найдем
Р(А) = Р(Е
+ Е2 +... + Еm) = Р(Е1)+Р(Е2)+...+Р(Еm)=
1
1
.
n
m
.
n
13
Пример 4. Опыт — бросание игрального кубика. Событие
А — выпадение числа очков, кратного 3. События (Х = 1), (Х =
2), (Х = 3), (Х = 4), (Х = 5), (Х = 6) являются случаями, так как
образуют полную группу событий, несовместны, равновозможны.
Всего случаев n = 6, благоприятных из них m = 2, следовательно,
21
()
PA
63
.4
6. Элементы комбинаторики
Имеется совокупность n объектов, назовем ее генеральной
совокупностью. Из генеральной совокупности наудачу отбираем
m объектов, эту отобранную совокупность назовем выборкой.
Выборка может быть упорядоченной, если порядок объектов
(элементов) играет роль, и может быть неупорядоченной, если
порядок элементов роли не играет.
Выборка может быть без повторений, если элементы повто-
ряться не могут
выборке повторяются.
Например, телефонный номер 260-61-51 — упорядоченная
выборка с повторениями из десяти цифр по семи.
Упорядоченная выборка из n элементов по m называется раз-
мещением, неупорядоченная выборка из n элементов по m называется сочетанием. Число размещений и сочетаний c повторениями и без повторений из n элементов
ющей таблицы.
, и может быть с повторениями, если элементы в
по m можно найти из следу-
14
Таблица 1
Выборка Упорядоченная Неупорядоченная
!
Без повторений
m
A
n
n
)!(
mn
m
C
n
!( )!
mnm
!
n
С повторениями
m
А n
n
m
()!
nm
m
C
n
!( )!11
mn
Пример 5. Два счета из десяти выполнены с ошибками.
Найти вероятность того, что из четырех взятых на проверку счетов один счет окажется с ошибками.
Решение.
Воспользуемся классической формулой
4
Всего случаев
nC
, так как имеем дело с неупорядоченны-
10
ми выборками без повторений, благоприятных из них
PA
n
13
mCC
28
m
() ,
Следовательно,
13
CC
()
PA
12(12345678)(1234)(123456)
=
(123)(12345)(12345678910)
28
4
C
10
2! 8!
1! 1! 3! 5!
10!
4! 6!
=
=
56
105
8
.
=
4
15
.
Запомните: 0! = 1.
15
7. Геометрическая вероятность
На практике часто встречаются испытания, число возможных
исходов которых бесконечно.
Если пространство содержит бесконечное множество равновозможных элементарных событий и задача сводится к случайному бросанию точки на область (отрезок), то используют метод геометрической вероятности, причем этот метод может быть
использован в том случае, если вероятность попадания точки в
любую часть области пропорциональна мере (площади, объему,
длине) этой части области и не зависит от расположения и формы
этой части области.
Если мера всей области равна S, а мера части D области, попадание в которую благоприятствует появлению события А, равна
S
, то вероятность события А равна
D
S
()
PA
Пример 6. Два студента условились встретиться в опреде-
ленном месте между 18 и 19 часами. Пришедший первым ждет 15
мин и уходит. Определить вероятность встречи, если время прихода каждого независимо и равновозможно в течение указанного
часа.
D
.
S
Решение.
Пусть х — время прихода одного студента, у — время прихода второго. Чтобы встреча состоялась, необходимо
и достаточно,
чтобы х – у|15, то есть –15x – y15. Область возможных значений — квадрат со стороной, равной 60. 4
16
Pис. 2
Область D — часть квадрата между прямыми х – у = -15 и х —
у = 15. Следовательно,
S
D
p
S
22
60 45 1575 7
2
60 3600 16
.
8. Основные теоремы
8.1. Теорема 1. Теорема сложения вероятностей
Р(А
-Р(А
P(A
1+А2+А3
) - Р(A2∙A3)-...-P(A
1∙А3
n-2∙An-1∙An
Доказательство (для n=3).
Р(А+В+С) = Р((А+В)+С) = Р(А+В)+Р(С) – Р((А+В)С) =
Р(А+В) + Р(С) – Р(АС+ВС) = Р(А+В) + Р(С) – (Р(АС) + Р(ВС)
– Р(АВС)) = =Р(А) + Р(В) +
Р(АВС).
Следствие 1.
Если события А
+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+...+Р(Аn)-Р(А1∙А2)-
)+P(A1∙A2∙A3)+P(A1∙A2∙A4)+...+
)-...+ (-1)
n-1
n-1∙An
P(A1∙A2∙...∙An).
Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) +
, ... ,Аn несовместны, то
1, А2
Р(А
+...+Аn)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).
1+А2
17
Следствие 2.
Если события А и В несовместны, то АВ= и следователь-
но,
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Следствие 3.
Вероятность суммы двух любых событий равна сумме веро-
ятностей этих событий без вероятности их произведения, то есть
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).
Замечание.
Так как
A А
, то
()1PA А
. Так как А и А несовмест-
ны, то
откуда
()()() PA А PA PA
() ()1PA PA
. Следовательно,
() () 1PA PA
8.2. Теорема 2. Теорема умножения вероятностей
Определение. Условной вероятностью Р(А/В) события А от-
носительно события В назовем вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.
Теорема умножения.
А
1·А2·А3
Р(А
1·А2·А3
·...·А
·...·Аn)=Р(А1)·Р(А2/А1)·Р(А3/А1·А2)·...· Р(Аn/
).
n-1
Доказательство.
Воспользуемся методом математической индукции. Очевидно,
что Р(А
)=Р(А1)·Р(А2/А1). Предполагаем, что теорема верна
1·А2
для (n-1) событий; докажем, что она верна для n событий.
Найдем Р(А
=P(A
1·A2·A3
нию /= =P(A
A
1·A2·A3
·...·A
1·А2·А3
)·P(A2/A1)·P(A3/A1·A2)·...·P(A
1
).
n-1
·...·Аn)=P((A1·A2·A3·...·A
·...·A
)·P(An/A1·A2·A3·...·A
n-1
)·An)=
n-1
) = / по предположе-
n-1
n-1/A1·A2·A3
·...·A
)·P(An/
n-2
Правило (теорема) умножения для двух событий.
Вероятность произведения двух любых событий равна произведе-
,
18
нию вероятности одного из них на условную вероятность другого
относительно первого, то есть
Р(А·В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).
Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность события А относительно события В равна без-
условной вероятности события А, то есть Р
(А/В)=Р(А). Нетрудно
доказать, что если А не зависит от В, то и В не зависит от А.
Следствие. Если события А и В независимы, то
Р(А·В)=Р(А)·Р(В).
Пример 7. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов.
Какова вероятность того, что он ответит на
два выбранных науда-
чу вопроса?
Решение.
Рассмотрим события: А — студент знает ответ на первый вопрос,
В — студент знает ответ на второй вопрос. Найдем Р(А·В).
20 19 19
Р(А·В) = Р(А)·Р(В/А) =
25 24 30
.4
Определение. Несколько событий называют независимыми
(или независимыми в совокупности), если независимы каждые два
из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Следовательно, если А
то Р(А
= P(A
) = Р(А2), Р(А3/А1·А2) = Р(А3), ... , Р(Аn/A1·A2·A3·...·A
2/А1
), тогда справедливо правило умножения для двух неза-
n
, А2, ... ,Аn независимы,
1
n-1
висимых событий
Р(А
1·A2·A3
·...·An)=P(A1)·P(A2)·P(A3)·...·P(An).
Пример 8. Два студента выполняют независимо друг от
друга задание. Вероятность того, что задание будет выполнено
19
)
первым студентом 0,6; для второго студента эта вероятность равна
0,8. Найти вероятность того, что
оба студента выполнят задание;
только один из них выполнит задание;
хотя бы один из них выполнит задание.
Решение.
События: А — задание выполнит первый студент, В — зада-
ние выполнит второй студент. По условию Р(А) = р
= 0,6; Р(В)=р
1
= 0,8; следовательно, Р(А ) = 1–p1 = =q1 = 1–0,6 = 0,4; P(B) = 1–p
= q2 = 1–0,8 = 0,2.
Р(А·В) = /события А и В — независимые события / =
Р(А)·Р(В) = р
= =0,6·0,8 = 0,48.
1·р2
Р(А·B+A·B) = / A·Bи A·B — несовместные события /=
е
) + Р(А·В) = Р(А)·Р(е) + Р(А)·Р(В) = p1·q2+q1·p2 = 0,6·0,2 +
Р(А·
0,4·0,8 = 0,44.
P(A+B)=/ А и В-совместные события /= Р(А)+Р(В)-
Р(А·В)=0,6+0,8– 0,48=0,92
А B
или т.к. А+В и
Р(А+В)=1–Р(
противоположные события, то
·B)= 1 – Р(А)·Р(B) = 1–q1·q2 = 1–0,4·0,2 =
А
1–0,08 = 0,92.4
Пример 9 Для получения кредита предприятие обратилось
к трем банкам. Статистические исследования показали, что вероятности выделения кредита этими банками соответственно равны
=0,5, р2=0,4 и р3=0,9. Банки выделяют кредит независимо друг
р
1
от друга и, если примут решение о его выделении, то в размере:
первый банк-160 млн. руб., второй-40 млн. руб., третий-200 млн.
руб. Найти вероятности того, что предприятие получит кредит в
размере:
а) 200 млн. руб.,
б) не менее 240 млн. руб.
с) любом.
2
2
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]