Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика с применением Excel и Maxima. Учебное пособие
.pdf
Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ≈
О. Г. ЗАВЬЯЛОВ, Ю. В. ПОДПОВЕТНАЯ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
С ПРИМЕНЕНИЕМ EXCEL И MAXIMA
Учебное пособие
по классическому университетскому и техническому образованию
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки «Экономика»
Рекомендовано УМО РАЕ
в качестве учебного пособия
Москва 2018
УДК 519.2
ББК 22.171
З 13
Завьялов О. Г., Подповетная Ю. В.
З 13
Теория вероятностей и математическая статистика
с применением Excel и Maxima: Учебное пособие. —
Москва: Прометей, 2018. – 290 с.
Учебное пособие включает обучающий методический материал и варианты заданий для самостоятельной работы студентов-бакалавров. Для облегчения усвоения нового материала приводится
много иллюстрирующих его примеров.
Написано в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов в области математики и предназначено
для студентов финансового университета.
978-5-907003-44-6 © Завьялов О.Г., Подповетная Ю.В., 2018
© Издательство «Прометей», 2018
СОДЕРЖАНИЕ
ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Частота события и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Вероятность события. Аксиомы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . 12
5. Классическое определение вероятности события . . . . . . . . . . . . . . . .13
6. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7. Геометрическая вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.1 Теорема 1. Теорема сложения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.2 Теорема 2. Теорема умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.3 Теорема 3. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.4 Теорема 4. Формула Байеса (теорема гипотез) . . . . . . . . . . . . . . . .22
Теорема 5. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.5
8.5.1 Наивероятнейшее число наступлений события
при повторении испытаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.1 Функция распределения случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.2 Вероятность попадания случайной величины в промежуток
и в точку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
9.3 Дискретная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.4 Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.5 Основные числовые характеристики случайной величины . . . . . 33
9.5.1 Математическое ожидание случайной величины . . . . . . . . . .33
9.5.2 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.5.3 Начальные и центральные моменты порядка k . . . . . . . . . . . . 37
10. Основные распределения дискретной случайной величины . . . . . . 38
10.1 Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10.2 Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10.2.1 Простейший (пуассоновский) поток событий . . . . . . . . . . . . 40
11. Основные распределения непрерывной случайной величины . . . . 42
11.1 Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
11.2 Показательное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3
11.2.1 Функция надежности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.3 Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.3.1 Вероятность попадания в интервал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.3.2 Правило трех сигм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
11.4 Другие числовые характеристики случайной величины . . . . . . . 52
11.4.1 Медиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.4.2 Мода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.4.3 Квантили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.4.4 Коэффициент асимметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.4.5 Коэффициент эксцесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12. Функции случайных аргументов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
13. Система случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.1 Функция распределения двумерной случайной величины . . . . . 60
13.2 Закон распределения дискретной двумерной случайной
величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13.3 Условные законы распределения
составляющих
дискретной двумерной случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . 62
13.4 Закон распределения непрерывной двумерной случайной
величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
13.5 Числовые характеристики двумерной случайной величины . . . 65
14. Корреляционная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
15. Основные теоремы о математических ожиданиях и дисперсиях . . 69
16. Двумерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
17. Предельные теоремы. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
17.1 Неравенство Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
17.2 Теорема Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
17.3 Теорема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
18. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
18.1 Теорема Ляпунова (для одинаково распределенных случайных
величин) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
18.2 Локальная теорема Муавра – Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
18.3 Интегральная формула Муавра — Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
18.4 Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
19. Критические точки (критические границы) распределений. . . . . . . 85
20. Основные распределения, связанные с нормальным . . . . . . . . . . . . 87
20.1 Распределение Пирсона
2
(n) (хи-квадрат
с n степенями свободы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
20.2 Распределение Стьюдента (t(n) распределение
с n степенями свободы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4
20.3 Распределение Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
21. Методические указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
21.1. Классическая формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
21.2. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
21.3. Дискретная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
21.4. Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
22. Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
2. Выборка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.1. Повторная и бесповторная выборка. Репрезентативная
выборка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
3. Способы отбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4. Статистическое распределение выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.1. Вариационные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2. Статистические ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5. Полигон и гистограмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6. Эмпирическая функция распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7. Статистические оценки параметров распределения . . . . . . . . . . . . . 134
7.1. Несмещенные, состоятельные и эффективные оценки . . . . . . . 136
7.2. Определение приближенного значения измеряемой величины
и приближенного значения дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.2.1. Оценка математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.2. Оценка дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2.3. Групповая, общая и межгрупповая дисперсии, средняя
групповых дисперсий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
7.3. Генеральная и выборочная доли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
7.4. Мода, медиана, коэффициент вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.5. Выборочные начальные и центральные моменты . . . . . . . . . . .148
8. Методы расчета сводных характеристик выборки . . . . . . . . . . . . . . 148
8.1. Условные варианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9. Методы получения точечных оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1. Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2. Метод наибольшего правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2.1. Дискретная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
9.2.2. Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
10. Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5
10.1. Точность, надежность. Доверительный интервал . . . . . . . . . . . 156
10.2. Предельная ошибка и необходимый объем случайной
выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.3. Доверительные интервалы для параметрa a нормального
распределения при известном
10.4. Доверительные интервалы для оценки параметра нормального
распределения при неизвестном значении . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.5. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического
отклонения нормального распределения . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.6. Оценка вероятности события по относительной частоте . . . . 179
11. Законы распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.1. Построение теоретического закона распределения
по данному вариационному ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.2. Эмпирические и выравнивающие (теоретические
) частоты . 185
11.2.1. Дискретное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
11.2.2. Непрерывное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
11.3. Построение нормальной кривой по опытным данным . . . . . . . 187
11.4. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального.
Асимметрия и эксцесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12. Статистическая проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.1. Основные понятия проверки гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.2. Ошибки первого и второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.3. Схема проверки статистической гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . 196
12.4. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной
средней нормальной совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.4.1. Параметр известен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.4.2. Параметр неизвестен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
12.4.3. Связь между двусторонней критической областью
и доверительным интервалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.5. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической
генеральной дисперсией нормальной совокупности . . . . . . . . . 206
12.6. Понятие о критериях согласия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.7. Критерий согласия
2
(Пирсона) относительно закона
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
13. Элементы теории корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.1. Функциональная, статистическая и корреляционная
зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.2. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу
наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6
13.3. Условные средние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
13.4. Выборочные уравнения регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
13.5. Отыскание параметров выборочного ypaвнения прямой линии
среднеквадратичной регрессии по несгруппированным
данным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.6. Корреляционная таблица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
13.7. Отыскание параметров выборочного ypaвнения
прямой линии среднеквадратичной регрессии
по сгруппированным данным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.8. Выборочный коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
13.9. Предварительные соображения к введению меры
любой корреляционной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.10. Выборочное корреляционное отношение . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.11. Свойства
выборочного корреляционного отношения . . . . . . 235
13.12. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи.
Достоинства и недостатки этой меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.13. Простейшие случаи криволинейной корреляции . . . . . . . . . . 237
13.14. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента
корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14. Методические указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
14.1. Статистическое распределение выборки. Точечные и интервальные
оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241
14.2. Доверительный интервал. Критерий Пирсона . . . . . . . . . . . . . 245
14.3. Элементы теории корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
15. Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
16. Приложение. Таблицы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
17. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
7
ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий за-
кономерности случайных явлений, наблюдаемых при массовых
повторениях испытаний.
1. Случайные события
Основные понятия.
Под испытанием (опытом) понимается осуществление неко-
торого комплекса условий. Событием назовем всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Событие в опыте называется достоверным, если при по-
вторениях опыта оно всегда происходит.
Событие в опыте называется невозможным, если при по-
вторениях опыта
Событие в опыте называется случайным, если при повторе-
ниях опыта оно иногда происходит, иногда нет. Случайные события обозначаются А, В, С и т.д.
Два события называются несовместными (совместными),
если появление одного из них исключает (не исключает) появление другого. Несколько событий в данном опыте называются
совместными, если они попарно несовместны. Несколько событий в опыте называются совместными, если совместны хотя бы
два из них.
События в опыте называются равновозможными, если усло-
вия их появления одинаковы и нет оснований считать какое-либо
из них более возможным, чем любое другое.
оно никогда не происходит.
не-
8
Полной группой событий называется несколько событий та-
ких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя
бы одно из них.
Пример 1 Опыт — бросание игральной кости; события :
А
— выпадение одного очка,
1
А
— выпадение двух очков,
2
— выпадение трех очков,
А
3
А
— выпадение четырех очков,
4
А
— выпадение пяти очков,
5
— выпадение шести очков,
А
6
В — выпадение четного числа очков,
С — выпадение более семи очков,
D — выпадение не менее трех очков,
E — выпадение не более шести
Достоверное событие в данном опыте — E, невозможное событие — С, остальные события — случайные. Первые шесть событий А
, А2, А3, А4, А5, А6 не могут быть выражены через более
1
простые события и их называют элементарными событиями (элементарными исходами). Кроме того, они образуют полную группу несовместных равновозможных событий. Событие В можно
выразить через более простые события : либо наступит А
наступит А
, либо А6; следовательно , элементарным событием со-
4
, либо
2
бытие В не является .4
Совокупность всех элементарных событий в опыте называют пространством элементарных событий и обозначается ,
а элементарные события называют точками этого пространства;
поэтому события можно рассматривать как подмножества этого
пространства.
Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Противоположные события обозначаются
А иA(не А).
Пример 2. Опыт — два выстрела по мишени; события:
А — ни одного попадания,
- хотя бы одно попадание.4
А
9
2. Алгебра событий
A
Суммой или объединением событий А1, А2,...,Аn назовем со-
бытие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
А
+...+Аn=А1А2...Аn.
1+А2
Произведением или пересечением событий А
зовем событие, состоящее в совместном появлении всех этих со-
бытий. А
...Аn=A1A2...An.
1А2
Pазностью двух событий А и В называется такое событие
А-В или А\В, которое содержит те элементарные события, принадлежащие А, которые не входят в В.
, А2,...,Аn на-
1
Рис. 1
Пример 3. Опыт — два выстрела по мишени. Событие
А
— попадание в мишень при i — м выстреле ( i =1;2).
i
Тогда событие В=А
А
С=
А
+
— хотя бы один промах, событие D=A1A2 — попада-
1
2
ние в цель дважды, Е=А
— хотя бы одно попадание, событие
1+А2
+
А
1
2
— ровно одно попадание.4
А
1А2
Задание 1. Найдите 1) А+, 2) А+, 3) А+А, 4) АА, 5) А,
6) А∙, 7)
, 8)
AA
AA
.
Ответы: 1) , 2) А, 3) А, 4) А, 5) А, 6) , 7) , 8) .
Замечание 1.
Можно доказать, что А(В+С)=АВ+АС и
А+ВС=(А+В)(А+С).
A
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]