Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Судебная статистика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2814 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

5.3. Средние величины и вариация

Следовательно, Ме = 6, т. е. пятой варианте. Если дан ряд 1, 5, 7, 9, 11, 14,

15, 16, т. е. ряд с четным числом членов (N = 8), то

N+= =

4,5.

Значит,

медиана равна полусумме четвертой и пятой вариант, т. е.

9 11

Me+= =

10.

Вдискретном вариационном ряду медиану определяют понакопленным частотам. Частоты вариант, начиная спервой, суммируются дотех пор, пока небудет превзойден номер медианы. Значение последней просуммированной варианты ибудет медианой.

Пример. Найти медиану числа обвиняемых, приходящихся на одно

уголовное дело (по данным табл. XV):

Таблица XV

Число обвиняемых в одном уголовном деле

(варианты)

Число дел

(частоты)

1 2 3 4 5

75 43 20 11 5

В данном случае объем вариационного ряда N = 154, следовательно,

154 1

N+= =

получим:

77,5.

Просуммировав частоты первой и второй варианты,

75 43 118,

т. е. мы превзошли номер медианы. Значит Ме = 2.

Винтервальном вариационном ряду распределения сначала ука зывают интервал, вкотором будет находиться медиана. Его называют медианным. Это первый интервал, накопленная частота которого превышает половину объема интервального вариационного ряда. Затем численное значение медианы определяется поформуле:

Me x i

= +⋅

−

131

Глава 5. Анализ статистических данных.

1Me

Обобщающие статистические показатели

где медианного интервала (max— min); тервала, который предшествует медианному;

— нижняя граница медианного интервала; i— величина

— накопленная частота ин-

−

— частота медианно-

го интервала (числовое значение, вошедшее вмедианный интервал).

Пример. Найти медиану возраста лиц, осужденных за совершение кражи,

по данным табл. XVI.

Таблица XVI

Группы по возрасту (лет) Количество человек

До 18 15

18–28 90

29–39 45

40 и более 12

Статистические данные представлены интервальным вариационным ря-

дом, то есть необходимо сначала определить медианный интервал. Объем совокупности N = 162, следовательно, медианным интервалом является интервал 18–28, т. к. это первый интервал, накопленная частота которого (15 + 90 = 105) превышает половину объема (162 : 2 = 81) интервального вариационного ряда. Теперь численное значение медианы определяем по приведенной выше формуле:

162

Me−=+⋅ ≈ ëåò

18 10 25 ( ).

Таким образом, половина осужденных за совершение кражи младше 25 лет.

Мода (Мо) — значение признака, которое наиболее часто встречается уединиц совокупности.

Кмоде прибегают длявыявления величины признака, имеющей наибольшее распространение. Длядискретного ряда модой будет являться вариант снаибольшей частотой (самое больше число),

132

5.3. Средние величины и вариация

−+

−

1Mo

например, длядискретного ряда, представленного вТаблице XV на стр. 131, Мо = 1, так какэтому значению варианты соответствует наибольшая частота— 75. Дляопределения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (визуально интервал, имеющий наибольшую частоту— вкотором находится наибольшее число). Затем впределах этого интервала находят тозначение признака, которое может являться модой.

Если интервалы равные, то значение моды, определяемое каксреднее значение между границами интервала, более илименее соответствует расчетному.

Если интервалы неравные инаибольшее значение приходится набольшой интервал (некорректно выбраны интервальные показатели встатистической таблице), тозначение моды может быть определено некорректно.

Расчетное значение моды находят поформуле:

Mo x i

= +⋅

где

— нижняя граница модального интервала; i— величи-

ff ff

( ) ( )

Mo Mo Mo Mo

Mo Mo

− +−

на модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

−

— частота модального интервала;

—

частота интервала, следующего замодальным.

Пример. Найти моду возраста лиц, осужденных за совершение кражи

(табл. XVII).

Таблица XVII

Группы по возрасту (лет) Количество человек

До 18 15

18–28 90

29–39 45

40 и более 12

133

Глава 5. Анализ статистических данных.

−

Обобщающие статистические показатели

Наибольшая частота соответствует интервалу 18–28, следовательно, мода должна находиться в этом интервале. Ее величину определяем по приведенной выше формуле:

18 10 24 ( ).

=+⋅ ≈

Таким образом, наибольшее число преступников, осужденных за совершение кражи, имеет возраст 24 года.

90 15

90 15 90 45

−+−

( ) ( )

ãîäà

5.4. Показатели вариации

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако две совокупности, имеющие одинаковые средние значения, могут значительно отличаться друг отдруга постепени вариации величины изучаемого признака. Например, водном суде были назначены следующие сроки лишения свободы: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15лет, авдругом— 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8лет. Вобоих случаях средняя арифметическая равна 6,7лет. Однако эти совокупности существенно различаются между собой разбросом индивидуальных значений назначенного срока лишения свободы относительно среднего значения. Идля первого суда, где этот разброс достаточно большой, средняя величина срока лишения свободы плохо отражает всю совокупность. Таким образом, если индивидуальные значения признака мало отличаются друг отдруга, тосредняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой свойств данной совокупности. Впротивном случае средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой этой совокупности иприменение ее напрактике малоэффективно. Поэтому необходимо учитывать вариацию значений изучаемого признака.

Вариация (отлат. variation— различие, изменение)— это раз- личия взначениях какого-либо признака уразных единиц данной совокупности водин итотже период илимомент времени.

134

5.4. Показатели вариации

max min

∑

Вариация возникает в результате того, чтоиндивидуальные значения признака складываются подсовокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются вкаждом отдельном случае. Дляизмерения вариации признака применяются различные абсолютные иотносительные показатели.

Косновным показателям вариации относятся: размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсия; среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации.

Размах вариации R самый доступный попростоте расчета абсолютный показатель, который определяется какразность между самым большим исамым малым значениями признака уединиц данной совокупности:

.RX X= −

Размах вариации (размах колебаний)— важный показатель изменений признака, ноон дает возможность увидеть только крайние отклонения, чтоограничивает область его применения. Дляболее точной характеристики вариации признака наоснове учета его изменений используются другие показатели.

Например, размах вариации сроков лишения свободы повсем статьям УКРФ составляет от0,2лет до5лет. Поконкретному составу преступления размах вариации определяется санкцией статьи УКРФ.

Среднее линейное отклонение— среднее арифметическое изабсолютных значений отклонений индивидуальных значений признака отсредней определяется поформулам:

длянесгруппированных данных

−

;

длявариационного ряда

x xf

−⋅

∑

135

Глава 5. Анализ статистических данных.

( )

∑

( )

xx f

−⋅

σσ

Обобщающие статистические показатели

Однако наиболее широко применяемым показателем вариации является дисперсия, которая характеризует меру разброса значений изучаемого признака относительно его среднего значения. Дисперсия определяется каксредняя изотклонений, возведенных вквадрат.

Простая дисперсия длянесгруппированных данных:

−

Взвешенная дисперсия длявариационного ряда:

∑

( )

∑

= −

( )

∑

= −

∑

( )

⋅

( )

∑

На практике для вычисления дисперсии лучше использовать сле-

дующие формулы:

Для простой дисперсии:

Для взвешенной дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение— это корень квадратный издисперсии:

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чемменьше среднее квадратическое отклонение, темоднороднее совокупность итемлучше средняя арифметическая отражает всю совокупность.

Рассмотренные выше меры рассеяния (размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) являются абсолютными показателями, судить покоторым остепени изменений признака невсегда возможно. Внекоторых случаях необходимо использовать относительные показатели рассеяния, одним изкоторых является коэффициент вариации.

136

5.4. Показатели вариации

Коэффициент вариации— выраженное впроцентах отношение среднего квадратического отклонения ксредней арифме-

100 (%).v

тической:

= ⋅

Коэффициент вариации используют нетолько длясравнительной оценки вариации разных признаков илиодного итогоже признака вразличных совокупностях, ноидляхарактеристики однородности совокупности. Статистическая совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации непревышает 33 % (дляраспределений, близких кнормальному распределению).

Пример. Имеются следующие данные о сроках лишения свободы 50 осужденных, доставленных для отбывания назначенного судом наказания в исправительное учреждение уголовно-исполнительной системы: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6, 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Построить ряд распределения по срокам лишения свободы.

2. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое от

клонение.

3. Вычислить коэффициент вариации и сделать заключение об одно

родности или неоднородности изучаемой совокупности.

Для построения дискретного ряда распределения необходимо определить варианты и частоты. Варианта в данной задаче — это срок лишения свободы, а частоты — численность отдельных вариант. Рассчитав частоты, получим следующий дискретный ряд распределения (табл. XVIII)

Таблица XVIII.

Срок лишения свободы (варианты)

Число осужденных (частоты)

1 2 3 4 5 6 10 12

4 5 13 12 8 5 1 2

137

Глава 5. Анализ статистических данных.

∑

( )

∑

Обобщающие статистические показатели

Найдем среднее значение и дисперсию. Поскольку статистические данные представлены дискретным вариационным рядом, то для их вычисления будем использовать формулы среднего арифметического взвешенного и дисперсии. Получим:

⋅

= = =

∑

= −= − =

∑

Теперь вычисляем среднее квадратическое отклонение:

5,21 2,28;

= =

Следовательно, статистическая совокупность количественно неоднородна.

⋅+⋅+ + ⋅

⋅

( ) ( )

коэффициент вариации:

14 25 122

1 4 12 2



⋅+ + ⋅

4, 1;

4,1 5,21.

2,28

v = ⋅≈

4,1

100 56%.

Дляпонимания, почему среднее значение невсегда точно характеризует статистическую совокупность ивкаких случаях используются различные виды расчета средних величин, необходимо рассмотреть математическое понятие «нормальное распределение». Нормальное распределение часто встречается вприроде, например, характеристики живых организмов впопуляции. Приучете социальных явлений распределение значений статистического призна ка, характеризующее это явление, может существенно отличаться отнормального распределения (вчастности, распределение жителей повозрасту). Графически нормальное распределение значений представляет собой равносторонний колокол, приэтом границы «колокола» илиминимальное имаксимальное значение— будут находится друг отдруга (размах вариации) небольше, чемпотри значения среднеквадратичного отклонения (синонимом является стандартное отклонение, стандартный разброс) (см. рис. 2).

Длянесимметричных (скошенных) распределений медиана часто дает более точную характеристику явления ипотому используется вместо средней арифметической. Среднюю арифметическую могут исказить искажают аномальные, нетипичные варианты значений

138

5.4. Показатели вариации

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Рис. 2. График нормального распределения значений показателя

признака, аназначения медианы они невлияют, так какнеучитываются вформуле расчета медианы.

Правило трёх сигм1— практически все значения нормально рас-

пределённой случайной величины лежат винтервале плюс илиминус три сигмы отсреднего значения. Более строго— приблизительно с99,73 % вероятностью значение нормально распределённой случайной величины лежит винтервале утроенного среднего квадратического отклонения в обе стороны отсреднего значения (приусловии, чтосредняя величина истинная, анеполученная врезультате обработки выборки). Правило справедливо только дляслучайных величин, распределенных понормальному закону.

Это правило можно использовать прирешении следующих важных задач:

1.Оценки нормальности распределения выборочных данных,

отобранных дляобобщения судебной практик.

2.Выявление ошибочно полученных результатов. Если отдельные результаты отклоняются отсреднего арифметического значения навеличины, значительно превосходящие сумму трех величин среднеквадратического отклонения (средние суммы штрафов, судебных

Сигма σ— буква греческого алфавита, этой буквой обозначается среднее

квадратическое отклонение отсреднего значения.

139

Глава 5. Анализ статистических данных. Обобщающие статистические показатели

издержек, размеров удовлетворенных требований поконкретной категории дел), нужно проверить правильность полученных величин. Часто такие «выскакивающие» результаты могут появиться врезультате ошибки вучете сведений поделу идолжны быть проверены посудебным постановлениям.

Напрактике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения вмножестве могут отличаться отсреднего значения. Большое значение среднеквадратического отклонения показывает большой разброс значений впредставленном множестве сосредней величиной исоответственно отражает неоднородность статистиче ской совокупности; маленькое значение, соответственно, показывает, чтозначения вомножестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Награфике нормального распределения (рис. 3) показаны проценты попадания случайной величины винтервалы, равные среднеквадратическому отклонению.

34,1%

2,1%2,1%

13,6%13,6%

0,1%0,1%

Рис. 3. Доля попадания случайной величины в нормальное распределение

2 сигма— то, вероятность попадания очередного значения

•

вграницы составляет ≈ 95,5 %, т. е. шансы примерно 20 к1, илисуществует 4,5 % вероятности выхода заграницы.

• 1 сигма— то, вероятность ≈ 68,3 %, т. е. существует 31,7 % ве-

роятность того, чтоочередное значение выйдет запределы довери-

тельного интервала

См. подробнее: Глава 3.

, тоесть примерно 2 к1.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2814 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]