Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
n
G
k
j
i
X
Z
Y
Рис. 11.5
Гладкая поверхность G – двусторонняя, если направление
нормали n(M) т. МG при обходе по любому замкнутому
контуру L: MLG, при возвращении в т. М совпадает с
исходным. Если после обхода L направление n(M)
противоположно исходному, то поверхность G называется
односторонней.
Для двусторонней поверхности выбор стороны
осуществляется выбором направления вектора нормали к
поверхности.
Поверхностный интеграл II рода (ПиIIр)
Пусть через двустороннюю поверхность GR3
стационарно движется жидкость плотностью =1 со скоростью
v(x,y,z)=P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + +R(x,y,z)k. Найти поток
жидкости через поверхность G, т.е. количество жидкости,
протекающей через эту поверхность за единицу времени.
Разобьем G на n частей Gi с площадями i, выберем
Mi(i,i,i)Gi (рис. 11.6) и будем считать, что в пределах Gi
скорость v постоянна и равнаv(i,i,i).
81
i
1
i
1
1, n
j i
i
i
O
Z
n(Mi)
M
v(M
)
i
k
X
G
Y
Рис. 11.6
Еслиn(Mi)=cos(Mi)i +сos(Mi)j+ cos(Mi)k–
единичный вектор нормали в т. Мi, то приближенно поток ПG
n
через G равен
П v M n M
( ) ( ) ,
G i i i
i=1
За точное значение потока принимаем
n
G
n
=
lim
(Р(Mi)cos(Mi)+ Q(Mi)сos(Mi)+ R(Mi)cos(Mi))
0
0
)()( MnMvlimП
iii
Пусть в области задан вектор a(x,y,z)={P,Q,R}, P(x,y,z),
Q(x,y,z), R(x,y,z) – непрерывные функции, двусторонняя
ориентированная поверхность G. Проведем вышеописанное
разбиение области G и составим cумму
n
P( S Q ( S R ( S
, , ) , , ) , , ) ,
i=1
где S
i i i i
yz
, S
i
xz
i
, S
областей Gi , i=
соответственно, взятые с определенным знаком (так S
yz
xy
– площади проекций D
i
i i i i
xz
i i i i
yz
, D
i
на плоскости YOZ, XOZ, XOY,
xz
, D
i
xy
>0,
i
xy
xy
i
, S
xy
<0, если (Мi) – тупой
i
xz
) (рис. 11.7).
i
если(Мi)=(n,k)) – острый угол, S
для МiGi, аналогично для S
yz
i
82
Z
X
Y
Di
Dyz
Di
j i
G
i
Рис. 11.7
Поверхностным интегралом II рода от функций
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) по двусторонней ориентированной
области G называется предел интегральной суммы
n
P ( S Q ( S R ( S
, , ) , , ) , , ) ,
i= 1
i i i i
y z
i i i i
x z
i i i i
x y
при 0, если он существует, конечен и не зависит от способа
разбиения G на части Gi и от выбора т. MiGi.
Так как при выполнении условий существования
поверхностного интеграла можно считать S
yz
S
=yizi, S
i
P(x,y,z)dydz+ Q(x,y,z)dxdz+ R(x,y,z)dydx.
G
xz
=xizi, то ПиIIр обозначается
i
xy
=xiyi,
i
Следовательно, поток жидкости через поверхность G
записывается поверхностным интегралом
П P dyd z + Q d xdz + R dyd x = v nd .
G
G G
Вычисление ПиIIр сводится к вычислению двойных
интегралов. Если DXY=пр
G, DXZ=пр
XOY
G, DYZ=пр
XOZ
G, а дву–
YOZ
сторонняя поверхность такова, что ее уравнение можно записать
как z=z(x,y)y=y(x,z)x=x(y,z), то
83
P(x,y,z)dydz+ Q(x,y,z)dxdz+ R(x,y,z)dxdy= P(x(y,z),y,z)dydz
Q(x,y(x,z),z)dxdz R(x,y,z(x,y))dxdy,
D D
XZ XY
где знак (+) берется, если (M) для первого интеграла, (М) для
второго интеграла, (М) для третьего интеграла, острые углы,
знак (–) – если углы тупые.
Формула Остроградского – Гаусса
Если P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе с
частными производными первого порядка в ограниченной
замкнутой области , =G – гладкая ориентированная
поверхность, тогда
Pdydz+ Qdxdz+ Rdxdy =
причем поверхностный интеграл берется по внешней стороне G
Если P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе с
частными производными на гладкой ориентированной
поверхности G, ограниченной гладкой замкнутой кривой L,
тогда справедлива формула Стокса
P
x
GG
Формула Стокса
QyR
DG
yz
dxdydz
z
,
Q
84
x
DL
P
z
Pdx + Qdy + R dz =
R
y
Q
z
d yd z +
P
R
x
dxdy +
y
d xd z
L
Если сторона поверхности выбрана, то направление обхода
контура L берется положительным, т.е. таким, что при обходе
контура по выбранной стороне поверхности G она остается
слева.
X
Z
O
G
Рис. 11.7
n
Y
85
III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
u
u(M ) u (M )
lim .
1
MM
z x
М
Скалярное поле и его характеристики
Рассмотрим функцию u(M), где M(x,y)DR2 или
M(x,y,z)R3.
Множество D точек M пространства R2 (R3) вместе с
соответствующими этим точкам числами, заданными функцией
u(M), называется скалярным полем (СП), функция u(M) –
функцией поля. Если DR2, то поле плоское, если R3 –
пространственное. Если функция u(M), не зависит от времени t,
то поле называют стационарным.
Геометрически СП изображается на плоскости линиями
уровня u(M)= u(x,y,)=c, где с – значение u(x,y), в пространстве –
поверхностями уровня u(x,y,z)=c.
Рассмотрим пространственное СП функции u(x,y,z),
M(x,y,z).
Производной СП u(x,y,z) в т. M(x,y,z) по направлению
l={cos,cos,cos}, называется
l – единичный вектор, сонаправленный с вектором
11.8)
Z
O
X
y
Рис. 11.8
M1
86
Y
M M
1
1
M M
1
. (рис.
Производная по направлению определяет скорость
u u u
gradu= i j k
x y z
изменения поля в т. М в направлении вектора
l={cos,cos,cos}.
Теорема. Если функция СП u(x,y,z) дифференцируема в
и l={cos,cos,cos}, то
Градиентом поля u(M) в т. М дифференцируемой в
u=u
cos cos cos
x
u
y
u
z
функции u(x,y,z) называется вектор
gradu указывает направление наибольшего возрастания
поля в т. М и имеет модуль, равный скорости этого возрастания.
(gradu)
u(x,y,z)=c.
пространства R3 вместе с соотнесенными к этим точкам
векторами (М). Функция (М) не зависит от времени, такое
поле называется стационарным .
которым в каждой точке совпадают с (М) (рис. 11.9).
{x(M),y(M), z(M)}, т.е.
Эти уравнения задают систему двух дифференциальных
уравнений для определения векторных линий поля (M).
M0
Пусть в каждой т. М(x, y, z) задан вектор
=x(M)i + y(M)j + zM)k.
Векторное поле (ВП) функции
Векторные линии поля (М) – кривые, касательные к
Вектор dr={dx,dy,dz} коллинеарен в т. М вектору (M)=
направлен по нормали к поверхности уровня
Векторное поле и его характеристики
dx
( ) ( ) ( )
x y z
M
87
(М) – множество т.М
dy
M
dz
M
.
(M) n(M)d dydz+ dxdz+ dxdy
Z
O X Y
Рис. 11
.10
M
2
M3
(M1)
(M2)
(M3)
M1
Рис. 11.9
Рассмотрим ВП (M)= {x(M),y(M), z(M)}, М. Пусть
двусторонняя ориентированная поверхность G,
n(M)={cos(M), cos(M), cos(M)}– единичный вектор нормали
в т.М.
Потоком ВП (М), М через поверхность G
называется ПG=
G G
x y z
Окружим т. М замкнутой поверхностью G, внутри
которой заключен объем V (рис. 11.10).
Дивергенцией div
т. М называется
(М ) (расходимостью) ВП (М) в
П
G
lim
0V
MG
.
V
Пусть(М), М – стационарное
поле скоростей несжимаемой жидкости.
Течение жидкости может быть обусловлено
существованием в источников
(точек, производящих жидкость)
и стоков (точек, поглощающих жидкость).
Для замкнутой поверхности G величина ПG
характеризует количество жидкости,
88
протекающей в единицу времени с внутренней стороны G на
L
L
внешнюю (положительную) сторону, и равно суммарной
мощности источников внутри G. Тогда дивергенция вычисляет
плотность мощности источников в т. М. Если div(M)>0, то
в т. М – источник, если div(M)<0, то в т. М – сток.
Теорема.: Если x(M), y(M), z(M) непрерывны в
вместе со своими частными производными, то для ВП
(M)={x(M),y(M),z(M)} в справедлива формула
div (M ) =
x
x y z
y
z
(M )
.
П M nd = div (M)dv, = G.
( )
G
G
Циркуляцией Ц
замкнутому контуру L называется ЦL=
M )d r dx + d y + d z
Ротором (вихрем) векторного поля (М), М
называется вектор rot(М)=
z
y z
Вектор rot(M) в гидродинамической интерпретации
характеризует интенсивность вращательного движения
жидкости в т. М.
Формулу Стокса можно записать в векторной форме.
Пусть G – гладкая ориентированная поверхность (G),
натянутая на гладкую замкнутую кривую L, (L) ЦL=
M)dr rot M)n M)d .
( ( (
L G
(
y
i
L
x y z
x z
z x
векторного поля (М), М по
j
y
x y
.
x
k
.
89
Глава 13. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
I. Числовые ряды
Числовым рядом (ч.р) называется сумма членов числовой
последовательности
u u u
, ,...
1 2 n
n–ой частичной суммой ряда называется
,..., т.е.
u u u
1 2 n
...
S =u u u
,... .
n 1 2 n
...
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел
lim S
nn
, являющийся суммой ряда; расходящимся, если lim Sn=
.
u u u
, ,...,
1 2 n
,..– члены ряда, un – n–й или общий член.
.
Коротко ряд записывают
a+aq+aq2+...+aq
n–1
n=1
…=
u
n=1
.
n
n-1
– геометрическая прогрес-
aq
сия, где q – знаменатель прогрессии.
Геометрическая прогрессия сходится при |q|<1 и
расходится при |q|1.
Основные свойства сходящихся числовых рядов
1. Отбрасывание конечного числа членов не меняет сходимости
ч.р.
2. Если ряд
сходится и имеет сумму S, то ряд
u
n
n=1
uс
n
1=n
c=const, сходится и имеет сумму cS.
,
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]