Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
III. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (о.и.)
Пусть на [a,b] задана функция y=f(x). Разобьем [a,b] на
части [x
интегральную сумму
], i=1,n, выберем точки i[x
i–1,xi
n
i
)
i
.
f( x
i=1
] и составим
i–1,xi
Определенным интегралом от f(x) на [a,b] называется предел ее
интегральной суммы при maxxi0, если он существует,
конечен и не зависит от способа разбиения [a,b] на отрезки
[x
Обозначение
] и от выбора i[x
i–1,xi
b
a
i–1,xi
].
n
.x)f(lim=f(x)dx
0xmax
i
i 1
ii
a, b – нижний и верхний пределы интегрирования, f(x)–
подынтегральная функция.
b
Приложения: 1) SD=
f(x)dx
a
2) работа силы |F|=f(x) на [a,b] : E=
,
b
f(x)dx
a
Свойства определенного интеграла
b
1.
(f(x) (x))dx= f(x)dx (x)dx
a
2. Если k=const, то
b
3.
a
a
4.
f(x) = 0.
a
a
b
b
a
b
k
a
.f(x)dx-=f(x)
f(x)dx = k f(x)dx
b
.
a
b
a
.
51
b
5.
f(x)d x = f(x)d x + f(x)d x
a
c
a
6. f(x)(x) x[a,b]
7. Теорема о среднем: f(x) C
b
c
b
f(x)dx (x)dx
a
[a,b]:
[a,b]
, a<c<b.
b
a
.
b
f(x)dx
a
=f()(b–a).
Формула Ньютона–Лейбница
При вычислении о.и. применяют формулу Ньютона–
b
Лейбница:
f(x)dx = F(b)-F( )a
a
, F(x) – первообразная для f(x).
Интегрирование заменой переменных и по частям в о.и.
Замена переменной. Пусть f(x)C
, функция x=(t),
[a,b]
переводящая [,] в [a,b], ()=a, ()=b, непрерывно
b
b
a
a
.
дифференцируема на [,]. Тогда
b
Интегрирование по частям
udv = uv| vdu
a
b
f(x)dx = f[ (t)] (t)dt.
a
52
Несобственные интегралы
f(x)dx
f(x)dx
f(x)dx
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
f(x)dx lim f(x)dx
Несобственным интегралом
a
b
f(x)dx
от
непрерывной на [a,) ((–,b]) функции f(x) называется
a
b
limf(x)dx
b
a
b
b
limf(x)dx
a
a
Если пределы
существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися,
в противном случае – расходящимися
Несобственным интегралом от непрерывной на (–,)
c
.
c
функции f(x) называется
Он сходится, если сходятся оба интеграла справа и расходится,
если расходится хотя бы один из них.
Несобственным интегралом от функции
f(x) C
b
f(x)dx lim f(x)dx
a
, имеющей разрыв 2 рода при х=b, называется
[a,b]
c
c b
0
a
.
Несобственным интегралом от функции f(x),
непрерывной на (a,b] и имеющей разрыв 2 рода при х=a,
b b
называется
a c
0
c a
.
Если пределы существуют и конечны, то интегралы
называются сходящимися, в противном случае –
расходящимися.
53
Несобственным интегралом от функции f(x),
f(x)dx
O
a b
X
A
непрерывной на [a,x0), (x0,b] и имеющей разрыв 2 рода при
x
0
a
b
+f(x)dx=f(x)dx
x
0
.
х=х0, называется
b
a
Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла справа, и
расходится, если расходится хотя бы один из них.
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площади плоской фигуры в декартовых
координатах
Если фигура D имеет границу D: y=f(x), x=a, x=b (a<b),
f(x)C
SD=
. и f(x)>0 на [a,b], то D – криволинейная трапеция и
[a,b]
b
f(x)d x.
a
Если f(x)<0 на [a,b], расположена ниже оси ОХ, то SD=
b
f(x) d x.
a
y=f1(x)
Y
D
C
B
y=f2(x)
Рис.9.1
Если фигура D имеет границу D: y=f1(x), y=f2(x) (f1(x) f2(x))
x=a, x=b (a<b). Площадь SD=S
b
(f (x)-f (x))dx
2 1
a
.
aCDb
– S
(рис. 9.1) и SD=
aABb
54
В общем случае площадь вычисляется по формуле SD=
r
O x
l
X
M
b
|f (x)-f (x)|dx
2 1
a
Площадь криволинейной трапеции при параметрическом
Пусть криволинейная трапеция D имеет границу D:
x=(t), y=(t), x=a, x=b, y=0 (y>0, a<b); (t)C
тогда методом подстановки получаем формулу
b
SD=
Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
Полярной системой координат называется совокупность т.О
(полюса) и выходящей из полюса направленной полупрямой l
(полярной оси). Полярными координатами т.М называются
числа r=|
(рис. 9.3) r0, 02.
O l
Криволинейным сектором в полярной системе координат
называется фигура D с границей D: r=r(), =, = (<)
(рис. 9.4)
=ydx
a
OM
.
задании кривой
(t)=x(t),=y
| (полярный радиус) и =(
M
Рис. 9.3
ba
x
(t)dt =dx
t
Y
, (t) C
[,]
=
t t
, l) (полярный угол)
OM
r
y
dt
б)
[,]
.
55
1 [y x ] dx
r=r()
O l
Рис. 9.4
Площадь криволинейного сектора равна SD=
1
2
2
r( ) d
.
Объем тела вращения
Если криволинейная трапеция D с границей D: y=y(x),
x=a, x=b (a<b),y=0 вращается вокруг оси ОХ, тогда Vx=
b
a
2
y(x) dx
.
Если криволинейная трапеция D с границей D: x=x(y),
y=c, y=d (c<d),x=0 вращается вокруг оси ОY, тогда Vy=
d
c
2
x(y) dy
.
Длина дуги
Длиной дуги l кривой L называется предел, к которому
стремится длина вписанной в нее ломаной, когда длина
наибольшего ее звена стремится к 0.
Длина дуги в прямоугольной системе координат
b
l
a
2
.
56
Длина дуги кривой в параметрической форме
Если уравнение кривой L задано в параметрической форме
x=x(t), y=y(t), t, функции x(t), y(t) непрерывно
дифференцируемы на [,] и x(t)0 на [,]. Тогда
l=
Длина дуги в полярных координатах
Если уравнение кривой L в полярных координатах
r=r(), и функция r=r() непрерывно дифференцируема
на [,], то
1
2
ty
tx
2
2
22
drrl
dt.tytx=dttx
57
Глава 10. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1 порядка
Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее
независимые переменные, искомую функцию и ее производные.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то
дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ).
Порядком дифференциального уравнения называется порядок
старшей производной, входящей в него.
ОДУ 1 порядка
ОДУ 1 порядка имеет вид F(x,y,y)=0. Задача нахождения
решения ОДУ, удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0.
называется задачей Коши .
Общим решением ОДУ 1 порядка называется функция
y=(x,c), c=const, удовлетворяющая условиям:
1) y=(x,c) является решением уравнения с;
2) для начального условия y(x0)=y0, c=c0, при котором
y=(x,c0) удовлетворяет данному начальному условию.
–Т. (х0,у0)D – области, в которой выполняются условия
существования и единственности решения.
Частным решением ОДУ 1 порядка называется функция
y=(x,c0), полученная из общего решения у=(x,c) при
определенном значении с=с0.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными – ОДУ 1 порядка, приводящееся к виду
f1(x)dx=f2(y)dy.
58
Функция f(x,y) – однородная функция n–го порядка
относительно х и у, если для х справедливо: f(x,y)=nf(x,y).
ОДУ 1 порядка называется однородным относительно x и
у, если y=f(x,y) – однородная функция нулевого порядка
относительно х и у.
Оно может быть записано в виде y=f*(y/х) и заменой u=y/x, где
u=u(x) сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Линейным ОДУ 1 порядка называется уравнение,
линейное относительно неизвестной функции и ее производной
y+p(x)y=q(x), где p(x) и q(x) – непрерывные функции от х.
Решение линейного уравнения ищется в виде y=uv, где u –
– неизвестная функция, v – ненулевое частное решение
уравнения: v+p(x)v=0. u(х) будет удовлетворяет уравнению
uv=q(x).
II. Обыкновенные дифференциальные уравнения 2 порядка
ОДУ 2 порядка имеет вид: F(x,y,y,y)=0.
Задача нахождения решения уравнения, удовлетворяющего
начальным условиям y(x0)=y0, y (x0)=y0 называется задачей
Коши.
Общим решением ОДУ 2 порядка называется функция
y=(x,c1,c2), c1,c2 – произвольные постоянные при условиях:
1) она является решением этого уравнения при с1, с2;
2) при начальных условиях y| = y , y y
x
=x
0
0
x= x
0
0
значения c1= c10, c2= c20, что y=(x,c10,c20) удовлетворяет данным
начальным условиям, т. (х0, y0, y0)D – области решения.
59
ОДУ 2 порядка, допускающие понижение порядка –
уравнения, решение которых можно заменой переменных свести
к решению уравнений 1 порядка.
К ним относятся: а) y=f(x, y), б) y=f(у, y).
В случае а) делают замену у=р, р=р(х), у=р, а в случае б) у=р,
р=р(у),
dp
=y
dy
dy
dx
pp
.
Линейным дифференциальным уравнением 2 порядка
называется ОДУ 2 порядка, линейное относительно у, у ,у,
a
(x)y+a1(x)y+a2(x)y=b(x).
0
При b(x)=0, уравнение называется линейным однородным,
b(x)0 – линейным неоднородным.
Линейное однородное дифференциальное уравнение 2
порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение
Если a1, a2 – сonst, a00, то поделив на a0, получим
уравнение y+py+qy=0, p,q=const.
Составим характеристическое уравнение k2+pk+q=0. В
зависимости от дискриминанта D= p2–4q возможны случаи:
1. D>0, характеристическое уравнение имеет два различных
действительных корня
имеет вид y=c1e
k1x
+ c2e
k2x
k
1,2
.
p
2
4
Общее решение
.q
2
p
2. D=0. Действительный корень k=–p/2 кратности 2.
y=c1ekx+ c2xekx или y=ekx(c1+c2x) – общее решение
3. D<0, характеристическое уравнение имеет два комплексно–
2
сопряженных корня k
=i, где = –р/2,
1,2
p
.
-q
4
Общее решение y=c1excosx+c2 exsinx или
y=ex(c1cosx +c2sinx).
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]