Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
Уравнение касательной плоскости, проходящей через т.
М0(x0,y0,z0), имеет вид:
F
x
касательной плоскости в т. М0:
M
0
Уравнения нормали, т.е. прямой, перпендикулярной к
xx
xx
F
x
M
0
F
y
M
0
yy
yy
M
41
0
F
y
F
z
F
M
0
zz
000
z
M
0
zz
000
.0)()()(
Часть 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
1
O
X
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Глава 8. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
I. Комплексные числа (к.ч.)
Алгебраическая форма к.ч.,его изображение на комплексной
плоскости
Комплексным числом называют выражение z=x+iy, где
x,y R, i2=–1, i=
– мнимая единица . Z=x+iy –
алгебраическая форма к.ч., х – действительная (Re), y –
мнимая (Im) части к.ч. x= Rez, y= Imz. К.ч. z=yi называется
чисто мнимым. C={z: z=x+iy, x, yR}– множество
комплексных чисел, (RC).
z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2: z1= z2 x1= x2, y1= y2.
Нулем называется к.ч. z=x+iy=0 при x=y=0.
Изображается к.ч. z=x+iy точкой M(x,y) комплексной
плоскости XOY или радиус – вектором
т.М (рис.8.1). ОХ –
OM
действительная, OY – мнимая оси.
z=x+iy и z=x – iy – комплексно–сопряженные числа.
Y
M(z)
Рис.8.1
42
Действия над к.ч. в алгебраической форме
y
1) Пусть z1=x1+iy1, z2=x2+iy2.
Сложение к.ч.: z1+ z2=(x1+x2)+i(y1+y2).
2) Вычитание к.ч.: z1–z2=( x1–x2)+i(y1–y2).
3) Умножение к.ч.:
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=( x1x2– y1y2)+i(x1y2+ x2 y1).
z
4) Деление к.ч.:
1
z z
z
2
затем поделим на действительное число z
z
1
z
z
2
zz
21
.
zz
22
.
z2=z1, z20. Умножим z.z2=z1 на z2,
.
z2=x
2
2
2
+y
, тогда
2
2
Тригонометрическая и показательная формы к.ч.
OM
= r =|z| – модуль к.ч., угол между осью OX и радиус–
вектором ОМ (рис. 8.1), отсчитываемый в положительном
направлении, =
значением Argz называют argz, удовлетворяющий условиям
0argz2 или –argz.
Argz=argz+2k,kZ. Из OMN (рис.8.1): x=rcos, y=rsin,
Используя, формулу Эйлера: ei=cos+isin, получим:
|z1|=|z2|, Argz1=Argz2+2k, k Z .
OMОХ,
=Argz – аргумент к.ч. Главным
z=r(cos +isin) – тригонометрическая форма к.ч.
r= x y , xtg
2 2
.
z=rei– показательная форма к.ч.
z1=r1e
i1
, z2=r2e
i2
равны тогда и только тогда., когда
43
Умножение и деление к.ч. в тригонометрической и
показательной формах
Пусть z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2).
1) У множение к.ч.:
z1z2= r1r2(cos(1+2)+isin(1+2))= r1r2e
2) Деление к.ч.:
i
1
r
z
1
z
2
e
1
e
i
2
r
e
2
z
z
r
1
r
2
r
1
1
r
2
2
)i(
21
.
i(1+2)
.
sincos
i
.
2121
Возведение в целую положительную степень и извлечение
корня n–ой степени из к.ч.
Пусть z= r(cos+isin)= rei, тогда
n
i
n
n
rz
ew
n
=
re ,
/n)2k+/ni(
1,0 nk
.
44
Глава 9. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
( ( ) ( )) ( ) ( )
f x f x dx f x dx f x dx
( ) ( )
cf x dx c f x dx
a
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
I. Неопределенный интеграл (н.и.)
Понятие первообразной и н.и.
F(x) называется первообразной для f(x) на промежутке Х, если
F(x)=f(x) хХ.
Неопределенным интегралом от f(x) xX называется
совокупность всех первообразных этой функции.
Обозначение:f(x)dx=F(x)+c.
f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное
выражение, нахождение н.и. – интегрирование f(x).
Основные свойства н.и.
1. (f(x)dx) =f(x) df(x)dx=f(x)dx.
2. dF(x)=F(x) + c, в частности dx=x+c.
3.
4.
5. f[(t)]d=F[(t)]+c, где F(x)=f(x), (t) имеет непрерывную
производную.
6. f(ax+b)d(ax+b)=F(ax+b)+c,
1 2 1 2
1
f(ax+b)dx=
F(ax+b)+c.
.
.
45
Таблица н.и.:
n
1
x
cos2x
sin2x
axln
x2
1
n 1
1) xndx=
x
+ c, n –1, 2)
d x
= ln|x| + c,
3) sinxdx= – cosx+ c, 4) cosxdx= sinx + c,
5)
dx
= tgx + c, 6)
dx
= – ctgx + c,
7) tgxdx= – ln|cosx| + c, 8) ctgxdx= ln|sinx| + c,
9) axdx=
a
+c, 10) ex dx = ex + c,
a
d x
= arcsinx + c= – arccosx +c,
2
1- x
d x
2 2
x
a
dx
= arctgx + c = – arcctgx +c,
x x c
dx
arcsin
22
xa
dx
1
arctg
22
x
1dx
22
2
xa
a
2 2
x
a
x
,
c+
aa
xa
cln
.
xa
aln
c
,
,
11)
12)
13)
14)
15)
16)
Методы интегрирования
Метод разложения основан на разложении
подынтегральной функции на сумму функций и свойств 3, 4.
Метод замены переменной (подстановки). Пусть
функция x=(t) имеет непрерывную производную, тогда
f(x)dx=f[(t)](t)dt или f[(x)](x)dx=
dt = (x)dx
=f(t)dt.
t = (x),
46
Метод интегрирования по частям. Если функции u(x),
0 1 m
n 0 1 n
B Bx ... B
Q ( ) A Ax ... A
v(x) имеют непрерывные производные, то
udv= uv – vdu – формула интегрирования по частям.
II. Классы интегрируемых функций
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется выражение
R(x)=
P ( )
m
x x
m m-1
xx
n n-1
где Bj, Ai – заданные
коэффициенты, i=0,n, j=0,m. Рациональная дробь – правильная,
если m<n, неправильная, если mn.
Неправильную рациональную дробь можно представить в
P
( )
x
Q
m
n
( )
L (x)+
x x
l
виде:
r k (x) – многочлены, а
r x)
(
k
Q
n
( )
k < n
,
k
n
, Ll (x)– и остаток от деления
)x(r
– правильная рациональная
(x)Q
дробь.
47
1 тип.
a-x
-
x
a
2
Простейшие рациональные дроби и их
интегрирование
A
, A, a – заданные числа R:
A
dx
=Aln|x–a|+c.
2 тип.
A
3 тип.
a
-x
k
x px + q
k
-xAa
A x + B
2
, kN:
,
1+-k
a
k-
a
-x
Adx-xA=dx
1+k-
.
c
A, B, p, q – заданные числаR. Многочлен
x2+px+q не имеет действительных корней. Интегрирование
проводится путем выделения полного квадрата в знаменателе:
2
p
x2+px+q=
B+Ax
2
q+pxx
Ap
+
-B
2
+x
2
+x
=dx
dt
2
2
p
-q
и заменой
x
p
t
, т.е.
4
p
t
2
-t=x
2
p
-qt
4
p
2
.
dt=dx,
p
B)
-A(t
2
2
p
2
-q
t
4
A=dt
tdt
2
2
p
-qt
4
Первый интеграл при помощи замены
t2+q–p2/4=z приводится к табличному (формула 2), второй
является табличным.
4 тип.
Ax + B
2 k
(x px + q)
, x2+px+q не имеет действительных
корней.
48
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
1+t
2
2t2sinx= ,
1+t
2
2
2
1-t2cosx= .
1+t
2
Пусть знаменатель правильной рациональной дроби R(x)=
P (x)
m
может быть представлен в виде Qn(x)=(x–a1)...(x–al)(x–
Q x)
(
n
b)k(x2+px+q) (множителей вида (x–b)k , (x2+px+q) может быть
несколько), где a1,...al,b, q, p – заданные числа R, kN,
трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней.
Тогда R(x) представляется в виде суммы простейших
дробей 1–3 типов:
R(x)=
A
1 k
x-
a a
A
...
x-
B
l
(x-
l1
b b
B
k
) )
k-1
(x-
k-1
...
(x-
B
1
b
)
Mx+ N
2
x px+ q
, где
A1, ..., Al, B1,...,Bk, M, N – неизвестные коэффициенты, которые
находятся путем приведения суммы справа к общему
знаменателю и последующего приравнивания полученного
числителя к Pm(x).
Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида R(sinx,cosx)dx, где R(sinx,cosx) –
рациональная функция от sinx и cosx.
Интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби R(t)
путем универсальной подстановки tg(x/2)=t, x=2arctgt,
2d t
dx =
. sinx и cosx через t выражаются по формулам:
2
x
2tg
2
1+tg
2. Интегралы вида sinmxcosnxdx, m,n0, целые числа.
а) m=2p+1cosx=t; n=2q+1sinx=t.
б) m=2p, n=2q sin2x=(1–cos2x)/2, cos2x=(1+cos2x)/2. Переход к
удвоенному аргументу приводит к понижению степени.
x
2
1-tg
49
x
2
x
1+tg
3. Интегралы вида R(tgx)dx. Замена вида tgx=t, x=arctgt,
1+t
cx+d
dt
dx =
R*(t).
Интеграл вида R(x,
j=1,n –целые числа. Заменой ax+b=tk, dx=
общий знаменатель
рациональной функции R*(t).
Аналогично поступаем, если вместо линейной функции
ax+b стоит дробно–линейная
приводит к интегралу от рациональной функции
2
Интегрирование иррациональных функций
m
m
1
a a
j
n
j
ax + b
n
m
x + b x+ b
1
приводится к интегралу от
,1,=j,
l
l
,..., )
1
kt dt
.
k 1a
n
l
dx, mj, nj,
, где k–
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]