Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
Вычисление ТИ сводится к последовательному
f(x,y,z)dv dxdy f(x,y,z)dz
f(x,y,z)dv= f (u,v,w)|J|dv*,
z=z1(x,y)
X
O
N
P
вычислению трех определенных интегралов. Рассмотрим
правильную область, ограниченную снизу z=z1(x,y), сверху –
z=z2(x,y) (рис. 10.6).
z=z2(x,y)
M
b
a
y=
(x)
1
y=
(x)
2
Рис. 10.6
Пусть эта область проектируется на плоскость XOY в
площадку D, D:y=1(x),y=2(x) (1(x) 2(x)), x=a,x=b (a<b).
Проведем через т.Р(х,у,0)D прямую, параллельную OZ. Она
пересечет z=z1(x,y) в т.М, а z=z2(x,y) в т.N. Тогда, если f(x,y,z) –
непрерывная функция в области , то значение ТИ вычисляется
z (x,y)
2
по формуле
b
a
D z (x,y)
(x)
2
2
)x(
1
1
1
)y(x,z
z)dzy,f(x,dydxz)dvy,f(x,
y)x,(z
или
Если область более сложная, чем рассмотренная, то ее
разбивают на конечное число областей указанного вида,
вычисляются по каждой интегралы и суммируются.
ТИ в цилиндрических координатах
Формула замены переменных для тройного интеграла
имеет вид
*
*
71
f*(u,v,w)=f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)), функции x=x(u,v,w),
r
y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы в * и
устанавливают взаимно–однозначное соответствие между
точками областей * и ,
x
x
x
v
w
y
y
v
w
z
z
v
w
0.
J =
u
y
u
z
u
Цилиндрическими координатами т.М(x,y,z) называются
ее аппликата z и полярные координаты т.M=пр
XOY
M .
Пусть полярная ось l совпадает с осью OX, полюс с
началом координат, r=|ОМ |, =(ОМ ,OX), причем r[0,+),
[0,2). (рис. 10.7).
Z
O
X
M
z
M
Рис. 10.7
Y
Тогда:
,rcos=x
,rsin=y
zz
cos -rsin 0
J =
sin rcos 0
0 0
r > 0,
и dv=rdrddz.
1
72
r = r
Если
D :
r = r
f(x,y,z)dv= f(rcos ,rsin ,z)rdrd dz= d rdr f *(r, ,z)dz
( ),
1
( ),
r r
( )
1 2
2
тогда
= , =
r
z r, )
( )((
2
r
z r, )
1
( )
2
1
Приложения тройных интегралов
1) Объем тела
V = dv.
2) Статические моменты тела относительно плоскостей
XOY, YOZ, соответственно равны
z (x,y,z)dv, (x,y,z)xdv, (x,y,z)ydv.
xy yz xz
Координаты центра масс тела:
m
yz
z
c
x
c
z)dvy,(x,x
y ,
z)dvy,(x,
73
c
z)dvy,(x,z
z)dvy,(x,
.
z)dvy,(x,y
,
z)dvy,(x,
Глава 12. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
1, n
1, n
1, n
1, n
1
Mi
I. Кривые в Rn. Криволинейный интеграл
Кривая L в Rn – множество точек М(х1, х2, ..., хn) Rn ,
координаты которых х1, х2, ..., хn заданы как функции
некоторого параметра tR: L={MRn
:x1=x1(t),x2=x2(t),..,xn=xn(t)}.
Каждой т. МL соответствует радиус–вектор
r(M) = {x1(tM), x2(tM), ...,xn(tM)}.
Кривая L: x=x(t), i=
если xi(t) непрерывны на [,], i=
непрерывно дифференцируемы на [,] и
, t[,] называется непрерывной,
; гладкой, если xi(t), i=
n
[x t)]
i=1
2
( .0
i
Кривая
L – кусочно–гладкая, если состоит из конечного числа гладких
кривых. Кривая L – замкнутая, если конец совпадает с началом
(xi()=xi(), i=
).
Рассмотрим задачу о работе переменной силы. Пусть
материальная точка под действием силы F={P(x,y),Q(x,y)}
перемещается вдоль кусочно–гладкой кривой АВ. Найти работу
Е силы F при перемещении точки А в В (рис. 11.1
Y
y
A=A0
O
A
i–
xi
A
Fi
i
B=A
n
X
Рис. 11.1
,
74
Для решения задачи разобьем кривую АВ на n частей
AB
точками А=А0, А1,..., Аn=B. Заменим, приближенно, на дуге
A
силу F ее значением в т. Мi(i,i)A
i–1Ai
A
– движением по отрезку A
i–1Ai
={xi,yi}.
i–1Ai
, а движение по
i–1Ai
Тогда значение работы на АВ равно
n
E lim P( x Q( y
max x
max y
0
1
i
i
0
i
, ) , )
i i i i i i
Рассмотрим вектор a={P(x,y),Q(x,y)}, (x,y)D. Пусть
P(x,y), Q(x,y) непрерывны в D, ABD. Разобьем кривую AB на n
частей и составим сумму:
n
P ( x Q ( y
, ) , ) .
i 1
i i i i i i
Криволинейным интегралом(КИ) II рода по координатам
от функций P(x,y), Q(x,y) по АВ
P(x,y)dx + Q(x,y)dy
AB
n
P( x Q( y
, ) , ) .
i 1
i i i i i i
называется предел интегральной суммы
при maxxi0, maxyi0,
если он не зависит от способа разбиения АВ на части и от
выбора промежуточных точек Mi.
n
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = lim P( x Q( y
max x
0
i
0max
y
i
i=1
, ) , )
i i i i
i i
КИII рода также называют интегралом от вектора по
кривой и обозначают adr
AB
, dr ={dx,dy}.
75
Физический смысл криволинейного интеграла II рода: E=
L
n
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = F(x,y)dr
AB AB
.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру
называют циркуляцией и обозначают через
F x,y) dr
(
причем положительным направлением обхода по L считается то,
при котором область D остается слева.
Свойства криволинейного интеграла II рода
1.
P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = P(x,y)dx+ Q(x,y)dy
AB BA
Pdx + Qd y Pdx + Qdy
AC CB
2.
Pdx + Qdy =
AB
3. Пусть кривая L является замкнутой, ограничивающей
некоторую область D. Если D=D1+D2 (рис. 11.2), D1=L1, D2=L2,
то
Pdx+ Qdy= Pdx+ Qdy Pdx+ Qdy
Y
L LL
1 2
A
D2
D1
B
m
O
X
,
Рис. 11.2
76
Вычисление криволинейного интеграла II рода
D
L
1) Пусть AB: x=x(t),y=y(t), t, причем x(t), y(t) непрерывно
дифференцируемы на [,], т.е. x(t), y(t)C1[,]. Тогда
P(x,y)dx + Q(x,y)d y = (P (x(t),y(t))x (t) +Q (x(t),y(t))y (t))d t
AB
2) Пусть AB задана на плоскости: y=y(x) aх b, причем y=y(x)
непрерывно дифференцируемая на [a,b] функция. Тогда, считая
х параметром, получаем:
b
AB
a
(x)]dx.yy(x))Q(x,+y(x))[P(x,=y)dyQ(x,+y)dxP(x,
Формула Грина
Теорема. Пусть DR2 –правильная область, ограниченная
гладкой кривой L=D. Функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в D
P
вместе с частными производными
Q
. Тогда справедлива
,
y
x
формула Грина:
P(x, y)dx + Q (x, y)dy =
Q
x
P
y
dxd y,
причем кривая L обходится в положительном направлении
Замечание. Если D не является правильной, то D можно
разбить на правильные части, применить формулу Грина к
каждой и затем воспользоваться свойствами 3 для двойных
интегралов и криволинейных интегралов II рода.
77
Условия независимости криволинейного интеграла II рода
DL*
AC
CB
от пути интегрирования
Теорема. Пусть функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе
со своими частными производными
односвязной области D. Тогда следующие четыре условия
эквивалентны:
1. Для любой замкнутой гладкой кривой
. 0=Qdy+Pdx
L*
2. Для любых точек A, BD значение
от пути АВD .
3. Pdx+Qdy=du, u=u(x,y), (x,y)D.
P
4.
y
u(x,y), то множество функций, удовлетворяющих условию
du=Pdx+Qdy, можно найти по формуле u(x,y)=
x,y
Pdx+ Qdy + c.
x y
,
0 0
например, АСВ, где АС и СВ – отрезки, параллельные осям
координат (рис. 11.3). Тогда u(x,y)=
Q
x
Интегрирование полных дифференциалов
Если P(x,y)dx+Q(x,y)dy – полный дифференциал функции
В качестве пути интегрирования можно наиболее простой,
в D
Q
,
x
yP
Pdx + Q dy
AB
Pdx+Qdy+ Pdx+Qdy+c.
в замкнутой
справедливо
не зависит
78
Поскольку АС: y=y0, dy=0, x0x(x=const); CB: x=const, dx=0,
y0y(y=const) то
x
u(x, y) = P(x,y dx +
x
0
)
0
Y
y
Q(x,y dy +c.
y
0
)
B
A
y0 X
x0
Рис. 11.3
C
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в
полных дифференциалах, если его левая часть является полным
дифференциалом некоторой функции u(x,y), т.е.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du.
Общий интеграл такого дифференциального уравнения
записывается в виде u(x,y)=c.
Решение для уравнения в полных дифференциалах
x
может быть получено по формуле
y
Q (x , y d y = c .
y
0
)
P(x,y dx +
x
0
)
0
79
II. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (Пи)
Поверхности в R
3
Пусть поверхность G задана уравнением: F(x,y,z)=0. Если в
окрестности т. М0(x0,y0,z0)G Fx, Fy, Fz непрерывны и
одновременно не равны нулю, то в т. М0 существует касательная
плоскость к поверхности. Если, например, Fz0, то в
окрестности т. М0 уравнение поверхности F(x,y,z)=0 можно
записать в явном виде z=f(x,y). Такой кусок поверхности G
является гладким куском. Точки, в которых Fx= Fy= Fz=0 –
особые точки поверхности, в них касательная плоскость может
не существовать.
Поверхность G может быть задана параметрическими
уравнениями x=(u,v), y=(u,v), z=(u,v), (u,v)DR2 .
Если (u,v), (u,v), (u,v) непрерывны в D со своими
частными производными (D – кусочно–гладкая) и поверхность
не имеет особых точек, то поверхность является гладкой.
Частным случаем параметрического задания поверхности
G является задание ее явным уравнением z=z(x,y), (x,y)D.
Если функция z(x,y) непрерывна в D вместе со своими
частными производными, то G – гладкая поверхность.
Пусть G–гладкая поверхность. В каждой т.МG можно
выбрать одно из двух возможных направлений нормали,
зафиксировав определенный единичный вектор нормали:
n(M)={cos(M),cos(M),cos(M)}, где =(n,i ), =(n,j ),
=(n,k ),i,j,k – ортонормированный базис в R3
(рис. 11.5).
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]