Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
3. Если ряды
n=1
соответственно, то ряд
,
u
n
n=1
сходятся и имеют суммы S и ,
v
n
(u v
n=1
n n
сходится и имеет сумму S+.
)
Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд
n=1
сходится, то
u
n
lim u
nn
0.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных
рядов
1) Первый признак сравнения. Пусть для рядов
выполняется неравенство
Тогда: 1.
2.
u
n
n=1
– расходится
n=1
– сходится
v
n
n=1
0 u v
n n
u
n
n=1
– расходится.
v
n
,
n=1,2,...
– сходится;
n=1
u
n
2) Второй признак сравнения. Если для
u
n
неотрицательными членами
lim
n
v
n
A 0,
, то оба ряда или
n=1
,
u
n
n=1
сходятся, или расходятся.
,
n=1
v
n
v
n
с
91
Для сравнения обычно используются геометрическая
n
1
прогрессия
n=1
n-1
и обобщенный гармонический ряд
aq
р>0 сходящийся при p>1 и расходящийся при p1 .
3) Признак Даламбера
n = 1
1
,
p
Если для знакоположительного ч.р.
n=1
u
n
n
lim
u
n+1
u
n
<1 ч.р. сходится
>1 ч.р. расходится
=1 сомнительный случай
4) Интегральный признак Коши
Пусть члены знакоположительного ч. р.
являются при
u
n
n=1
n=1, 2, 3, ... значениями некоторой функции f(x), положительной,
непрерывной, монотонно убывающей на [1,), т.е. f(1)=u1,
f(2)=u2, ..., f(n)=u(n), .... Тогда
сходится ч.р. сходится
расходится ч.р. расходится
f(x)d x
Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
Знакочередующимся ч.р. называется ряд
n
,
u(-1)
1=n
n
.
0un
92
Признак Лейбница. Если для ряда
выполняются условия: 1. u1>u2>...>un>..., 2. lim u
этот ряд сходится, причем его сумма S>0 и S<u
1-n
,
u(-1)
1=n
n
0un
0, то
nn
1 .
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Знакопеременным ч р. называется ряд
, который содержит
u
n
n=1
как положительные, так и отрицательные члены.
Теорема. (Признак абсолютной сходимости). Если для
знакопеременного ч.р.
n=1
u
n
сходится
абсолютных величин его членов, то ряд
Знакопеременный ч.р.
сходящимся, если сходится ряд
если он сходится, хотя ряд
называется абсолютно
u
n
n=1
n=1
расходится.
u
n
n=1
, составленный из
u
n
n=1
сходится
u
n
n=1
и условно сходящимся,
u
n
93
II. Функциональные ряды
n
a x
n
a x
n
a x
n
a x
n
a x
Степенные ряды
Функциональным рядом называется ряд u1(x) + u2(x) + ...+
un(x)+..., члены которого является функциями от х.
Областью сходимости ф.р. называется множество Х всех
значений х, для которых он сходится.
В области сходимости Х ф.р.
1=n
его сумма S(х)
(x)u
n
является функцией от х.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
n
0=n
a
, ...R.
n
n
)(x-xa
=a0+a1(x–x0)+ a2(x–x0)2+...+an(x–x0)n+..., x0, a0, a1 , ...,
0
При х0=0 получаем ряд по степеням х:
0
n
Теорема Абеля. Если степенной ряд
х=х
0, то он абсолютно сходится х: |x|<|x1|. Если ряд
1
=a0+a1x+a2x2+...+ anxn+... .
n
n
сходится при
n
0
n
n
0
расходится в т. х=х1 , то он расходится х: |x|>|x1| .
Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Теорема. Областью сходимости ряда
n
n
0
является
интервал (–R, R). В каждой точке этого интервала ряд сходится
абсолютно, а на интервалах (–,–R), (R, +) расходится.
Интервал (–R,R) называется интервалом сходимости ряда
n
, а R – его радиусом сходимости. Для некоторых рядов
n
0
интервал сходимости вырождается в т.(R=0), для других –
94
охватывает всю ось ОХ (R=). При х=R ряд может и сходиться,
n
a x
n
a x
и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).
a
lim=R
n
n
a
1+n
При |x|>R ряд
n
0
расходится, так как общий член ряда не
n
стремится к 0.
Ряд
n
0=n
переменной х–х0=t. Если ряд
R, то ряд
n
0=n
n
)(x-xa
сводится к ряду
0
n
имеет радиус сходимости
ta
n
0=n
n
сходится абсолютно для |x–x0|<R, т.е. на
)(x-xa
0
n
n
0
заменой
интервале (x0–R, x0+R).
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Теорема. Пусть функция f(x) является суммой с.р.
на (x0–R, x0+R). Тогда
1. f(x) дифференцируема на (x0–R, x0+R), причем
f(x)=(a0+a1(x–x0)+...+an(x–x0)n…+...)=
=a1+2a2(x–x0)+3a3(x–x0)2+...+nan(x–x0)
n–1
+... сходится абсолютно в
этом интервале;
2. f(x) интегрируема на том же интервале, причем для
х1,х
(x0–R, x0+R).
2
n
)(x-xa
0
n
0=n
95
имеем
+...
2!
3!
n!
1!
2!
n!
1!
2!
n!
2 n
f(x ) (x-x )+ (x-x ) ... (x-x ) .
1! 2! n!
x
2
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
n
dx)(x-xa)dx+...+(x-xadx+af(x)dx=
0n010
Ряды Тейлора и Маклорена
Пусть функция f(x) в интервале (x0–R, x0+R) является
суммой степенного ряда
n=0
a
(x- x
n
n
:
)
0
f(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)2+a3(x–x0)3+a4(x–x0)4+...+an(x–x0)n+...
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
f (x
) )
a a a a a
f(x f (x
0 0 1 0 2
0
,
f (x
3
0
,...,
(n)
f (x
), ),
n
0
)
,... .
Подставляя их в f(x) получим ряд Тейлора для функции f(x),
(n)
f (x
...
)
0
(x - x )
n
0
...
f(x f(x
) )
f (x
0
0
) )
(x - x ) +
f (x
0
0
(x - x )
0
2
а в частном случае при х0=0 – ряд Маклорена:
f(x f(0
) )
f (0
) )
x +
f (0
2
x
...
(n)
f (0
)
n
x
...
Таким образом, если функция f(x) разлагается по степеням (x–
x0), то этот ряд называется рядом Тейлора и f(x) бесконечно
дифференцируема в т. х=х0.
Необходимое и достаточное условие разложения функции в
ряд Тейлора
Многочленом Тейлора степени n называется частичная
сумма
f (x ) f (x ) f (x )
0 0 0
Sn(x)=
0 0 0 0
Остаточным членом ряда Тейлора называется Rn(x)=f(x)–Sn(x)
96
(n)
Теорема. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в
1 !x2 !xn !
2!
1!
n!
т. х0 функция f(x) являлась суммой составленного для нее ряда
Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы
Остаточный член в форме Лагранжа:
1)+(n
f
=x)(R
n
где находится между х0 и х.
Разложение основных элементарных функций в ряд
1) ex =
+)
2) sinx=
интервал сходимости (–, +)
3)
=
4) (1+x)m=
1
x
x
1
2!
Интервал cходимости (–, +)
x
... ...,
!1+n
2 n
3 5 7
x
3 !x5 !
x=cosx
42
x
4!
1
x
x
5!
3!
...
+...
m
x
1+n
,x-x
0
Маклорена
... ...,
x
7 !
753
x
...
7!
1-n
2-2n
x1-
!2-2n
1)-m(m
2
интервал сходимости (–,
n -1
- 1 x
2n - 1 !
1-n
x1-
!1-2n
...x
1-2n
n
2n -1
...
n
0=(x)Rlim
1)+n-1)...(m-m(m
n
...x
– биномиальный ряд (если m–
натуральное число, то при nm+1 коэффициенты обращаются в
0 и получаем многочлен – это частный случай бинома Ньютона);
На интервале (–1, 1) ряд сходится абсолютно. Если m не
является натуральным числом, то на (–,1)(1,+ ) ряд
97
расходится. На концах х=–1, х=1 сходимость исследуется при
ln(1+x)=x- ... 1 ...,
2 3 n+1
x- ... ( 1) ...
3 5 2n+1
конкретном m.
2 3 n+1
5)
x x x
абсолютно на интервале (–1, 1). При х=–1 имеем –
гармонический расходящийся ряд, при х=1 –
сходится условно.
3 5 2n+1
6) при arctgx=
x x x
n
причем ряд сходится
n =1
n=1
n
1
n-1
1
–
n
1
n
При х=–1 имеем
ряды сходятся условно.
Применение степенных рядов к приближенным
1) Вычисление значений функций с помощью рядов:
Пусть функция f(x) является суммой ряда Тейлора,
сходящегося абсолютно в интервале (х0–R,x0+R). Если т. х1(х0–
R,x0+R), то приближенно можно вычислить значение f(x1):
f(x1)Sn(x1)=a0+a1(x1–x0)+...+an(x1–x0)n.
Абсолютная погрешность, которая допускается при замене
f(x1) на Sn(x1), равна =|f(x1) – Sn(x1)|=|Rn(x1)|.
n=1
-1
1
n
2
Вычислениям
n -1
при х=1
,
98
n=1
-1
n-1
n -1
2
1
– эти
Если ряд, получающийся при подстановке х1 в ряд Тейлора,
f(x)dx,
1!
2!
3!
знакочередующийся, то для определения пользуются
признаком Лейбница, по которому не превосходит модуль
первого из отброшенных членов.
2) Вычисление интегралов с помощью рядов:
b
Пусть нужно вычислить
a
причем f(x) разлагается в
ряд Тейлора. Тогда можно интегрировать почленно внутри
интервала сходимости. Определенный интеграл можно
вычислить с заданной степенью точности.
3) Решение дифференциальных уравнений с помощью
рядов:
Пусть необходимо найти решение y(x) задачи Коши для
дифференциального уравнения II порядка:
x=x
0
),yy,f(x,=y
x=x
.yy ,yy
0
00
Ищем y(x) в виде ряда Тейлора: y(x)=y(x0)+y(x0)
x - x
0
y (x
) ...
x - x
0
2 3
0
y (x )
x - x
0
0
Значения y(x0)=y0, y(x0)=y(x0) известны, поэтому определяется
сразу у(х0)=f(x0,y0,y0). Для нахождения следующих
коэффициентов ряда необходимо брать последовательно
производные от у=f(x,y,y) и подставлять в них известные уже
значения предыдущих производных.
99
РЯДЫ ФУРЬЕ (Р.Ф.)
f(x)dx
f(x)coskxdx
f(x)sinkxdx
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд
a0/2 +a1cosx + b1sinx + a2cos2x + b2sin2x +...+ ancosnx +
bnsinnx+..., где a0, a1, b1, a2, b2,...an, bn, ... – действительные
числа– коэффициенты ряда, nN.
0
2
a nx b nx
n =1
cos sin ,
n n
если он
Сумма ряда f(x)=
a
сходится, является периодической функцией с периодом 2.
Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2
Тригонометрический ряд
0
2
a nx b nx
cos sin ,
n n
n=1
f(x)=
a
коэффициенты которого определяются формулами Фурье
1
a
0
,
a
k
1
,
b
1
k
называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x).
Достаточные условия разложения периодической функции
f(x) с периодом 2 в ряд Фурье
Функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на [a,b],
если она:
1) непрерывна на [a, b] или имеет конечное число точек
разрыва 1 рода;
2) кусочно–монотонна на [a,b].
,
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]