Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
Для периодической функции f(x) с периодом 2,
f(x)dx, f(x)coskxdx, 0;
0
f(x)= cosnx,
удовлетворяющей на любом отрезке R условиям Дирихле,
можно найти по формулам Фурье коэффициенты a0, ak, bk и
построить ряд Фурье.
Теорема Дирихле. Если периодическая функция f(x) с
периодом 2 удовлетворяет на любом отрезке из R условиям
Дирихле, то Р.Ф. для функции f(x) сходится xR. При этом в
каждой точке непрерывности функции f(x) сумма ряда S(x)=f(x),
а в каждой точке х= разрыва f(x) сумма
S() =(f(–0)+f(+0))/2.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Коэффициенты Фурье для четной функции:
2 2
a a b
0 k k
0 0
– для нечетной функции:
a0=0; ak=0;
2
b
k
f(x)sinkxdx
.
Таким образом, ряд Фурье для четной функции:
a
0
2
для нечетной функции:
a
n
n=1
f(x) = sin n x
n = 1
b
n
.
101
Ряд Фурье для функций с периодом 2
a
f x) =
( ,
1
0
2
a b
n n
n=1
f(x)dx,
1
b
n
f(x)sin
n
xdx.
cosnx+ sinnx
1
aa
n0
f(x)cos
n
xdx,
102
Часть 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
ГЛАВА 14. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Элементарное событие – возможный исход опыта.
Пространство (множество) элементарных событий –
совокупность всех элементарных событий данного опыта:
={i}.
Пусть – конечное или счетное множество.
Перестановки из n элементов – соединения из n
элементов, отличающиеся порядком их следования.
Размещения из n элементов по m (mn) – соединения из m
элементов, составленные из данных n элементов, отличающихся
друг от друга либо самими элементами, либо их порядком.
Сочетания из n элементов по m (mn) – соединения из m
элементов, составленных из данных n элементов, отличающиеся
друг от друга хотя бы одним элементом.
Число перестановок из n элементов: Pn=n!,
число размещений из n элементов по m:
m
n
1)+m-1)...(n-n(nA
n!
,
m)!-(n
число сочетаний из n элементов по m:
m
C
n
n!
m!m)!-(n
m
A
n
=
.
P
m
103
Случайное событие А –событие, которое может произойти
или не произойти в результате эксперимента. А.
называется достоверным событием (обязательно произойдет),
(пустое множество) – невозможным (не может произойти в
результате опыта).
Действия над событиями
Действия над случайными событиями и отношения между
ними определяются по аналогии с действиями и отношениями в
теории множеств. Обозначим iА, если i – элементарный
исход события А; АВ, если событие А влечет за собой В; А,
В .
Равенство (эквивалентность) событий: А=В, если АВ и
ВА.
Сумма А+В событий А и В – их теоретико–множественное
объединение, т.е. событие, состоящее из элементарных событий
: А или В. Произведение АВ событий А и В – их
теоретико–множественное пересечение, т. е. событие, состоящее
из элементарных событий: А и В. Разность А\В
событий А и В – их теоретико–множественная разность, т.е.
событие, состоящее из элементарных событий : А, но В.
Противоположное событие А для события А называется
теоретико–множественное дополнение А до , т.е. А=\А
происходит тогда, когда А не происходит.
Множество случайных событий А и образуют булеву
алгебру – алгебру событий, связанных с заданным
экспериментом.
104
События А и В – несовместны, если наступление А
p( ) 1
исключает наступление В и наоборот, т.е. АВ=.
Множество (система) событий А1, А2,...,Аn,..., Аi, iN
называется полной группой событий S, если АiAj=, ij,
A
i
i
.
Различные определения вероятности
Аксиоматическое и классическое определения.
Пусть с опытом связано конечное или счетное
пространство элементарных событий ={1, 2,...,n,...}.
Вероятность Р(
) элементарного события
i
–
i
действительное число, удовлетворяющее условиям
1) Р(i)0 i ;
2)
i
и определяющее меру наступления i .
i
Вероятность Р(А) случайного события А –
действительное число, определяемое формулой Р(А)=
Р(
)
.
i
A
i
Р(А)>0, P()=1, P()=0. Таким образом, 0<P(A)<1.
Пусть ={1, 2,...,n}, причем все i равновозможны и
А содержит m элементарных событий. Тогда Р(i)=1/n и
Р(А)=m/n – классическое определение вероятности в случае n
равновозможных попарно несовместных исходов опыта.
События iА называют в этом случае благоприятствующими
наступлению А.
105
Геометрическое определение вероятности
Пусть состоит из бесконечного числа элементарных
событий, каждое из которых интерпретируется как выбор наугад
точки из некоторого множества Е евклидова пространства Rn.
Множество Е предполагается имеющим геометрическую форму
и конечную меру (Е).
Вероятностью события А, состоящего в попадании
выбранной наугад точки из измеримого множества Е в
измеримое множество Е*Е, называется P(A)=(E*)/(E).
Статистическое (частотное) определение вероятности
Пусть некоторый эксперимент повторяется n раз, событие
А при этом наступило m раз.
Относительной частотой появления события А,
наступившего m раз при повторении эксперимента n раз,
называется P*(A)=m/n. Замечено, что при больших n частота
Р*(А) лишь слегка колеблется – это закон устойчивости частот.
Статистической вероятностью события А называется
Р(А)Р*(А)=m/n, если число испытаний n достаточно большое.
Сложение и умножение вероятностей
Теорема. А и В – несовместные события Р(А+В)=Р(А)+Р(В),
в общем случае Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Следствие. Р(А)=1–Р(А).
106
Вероятность события А в предположении, что произошло
1, n
событие В, называется условной вероятностью и обозначается
Р(А/В). События А и В называются независимыми, если
предположение о том, что произошло одно из них, не влияет на
вероятность другого, т.е. Р(А/В)=Р(А), Р(В/А)=Р(В).
Теорема. Вероятность Р(АВ) совместного наступления событий
А и В вычисляется по формуле Р(АВ)=Р(В)Р(А/В). Если
события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Теорема. Формула полной вероятности. Пусть случайные
события Нi , i=
, образуют полную группу событий. Тогда
для любого случайного события А справедлива формула
n
P(A ) = P (H P (A / H
i= 1
Формула Байеса:
) ).
i
P(H A) =
i
/
i
P(A / H )P(H )
n
P(A / H P(H
j=1
i i
) )
j j
i = 1,n
, .
Формула трактуется следующим образом: имеется полная
группа гипотез Н1,...,Нn, вероятности которых известны до
опыта. Проводится опыт, в результате которого может наступить
или не наступить событие А. Если событие А наступило, то
формула Байеса определяет апостериорные (послеопытные)
вероятности гипотез.
Схема испытаний Бернулли
Пусть опыт повторяется n раз, испытания независимы, в
результате каждого может наступить событие А с вероятностью
Р(А)=р. Тогда Р(А)=q=1–p.
107
Вероятность Рn(m) того, что событие А произойдет при n
m m n-m
C p q
m!
испытаниях m раз равна Pn(m)=
n
– формула Бернулли.
При больших значениях n, m подсчет Рn(m) проводится по
приближенной формуле (локальная теорема Лапласа)
P m
( ) ( ( , .
n 0
1
np q
x), x) =
0
1
-
2
e
2
x =
m - n p
npq
2
x
Если n велико, а р<0,1, npqq, то применяют
приближенную формулу Пуассона:
m
P m
( ) ,
n
e
=np – закон редких событий.
II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Дискретные и непрерывные случайные величины (СВ)
Пусть с экспериментом связано пространство
элементарных событий ={}.
Случайной величиной (СВ) называется функция
(),, R. СВ – дискретная, если область ее возможных
значений состоит из конечного или счетного числа точек, СВ
непрерывная, если область возможных значений задается
некоторым интервалом.
Закон распределения случайной величины – соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями
случайной величины и соответствующими этим значениям
вероятностями.
Закон распределения дискретной СВ может быть задан в
виде ряда распределения или в виде функции распределения, для
непрерывной СВ – в виде функции распределения.
108
Пусть Р(=хi) вероятность, что примет значение хi.
1
p2
Ряд распределения дискретной СВ – закон
распределения, заданный в виде таблицы значений = хi,
i=1,2,...,n... и вероятностей рi=P(=xi);
P p
x
1
x2 … xn ….
… pn …
i
:1p
i
Графическое изображение ряда распределения (рис.13.1)
называется многоугольником распределения.
P
р1 р2 р3 р4 ......... рn
x
1 x2
x3 x4 ........ x
Рис. 13.1
n–1
x
n
Функцией распределения вероятностей СВ называется
F(x)=P(<x), xR, т.е. значение функции в т. х равно
вероятности того, что СВ <x .
Для дискретной СВ ={х1,х2,...,хn} функция
распределения имеет вид:
109
F(x)
p1
p1+p2 1
1
a b
=F(x)
i
1=j
1
n
,x x0,
,xx x,p
1+iij
1-n1,=i
.x> x,1
Ее график ступенчатая функция (рис. 13.2).
x1 x2 x3 ........ xn X
Рис. 13.2
График F(x) непрерывной СВ имеет вид кривой, изображенной
на рис. 13.3.
Рис. 13.3
Пусть для непрерывной СВ ее функция распределения
F(x) имеет непрерывную производную F(x)=(x).
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]