Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
Такие диаграммы называются изоморфными.
Рис.14.1 Рис. 14.2 Рис. 14.3
На рис. 14.3 изображен ориентированный граф G=(V,E),
V={a,b,c,d}, E={(a,b), (b,b), (b,c), (c,b), (b,c), (c,a), (c,d)}.
Этот граф имеет петлю (ребро, соединяющее вершину с ней
самой) и кратные ребра (две вершины соединены более чем
одним ребром).
Граф, имеющий кратные ребра, называется
мультиграфом, не имеющий кратных ребер – простым
графом. Степенью вершины а графа G называется число ребер,
инцидентных а.
Например, для графа на рис. 14.3 степень вершины а равна
2, вершины b–5. Задать граф можно также с помощью некоторой
матрицы.
Матрицей смежности графа G=(V,E), V={a1,a2,...,an}
называется квадратная матрица (ij), n – го порядка столбцам и
строкам которой соответствуют вершины графа. Для
неориентированного графа число ij равно числу ребер,
инцидентных ai и a
началом в ai и концом в aj .
. Для орграфа ij равно числу ребер с
j
131
Например, матрицы смежности графов на рис. 14.1 и 14.3
00010
10101
,
01010
10100
01010
0 1 0 0
0 1 2 0
1 1 0 1
0 0 0 0
.
соответственно:
Матрица смежности неориентированного графа
симметрична: ij=ji и сумма чисел в любой ее строке (столбце)
равна степени соответствующей вершины. Обратно, по матрице
смежности можно построить диаграмму графа.
Маршруты, цепи и циклы
Пусть G – неориентированный граф.
Маршрутом в графе G={V,E}, V= {a1,a2,...,an},
E={l12=(a1,a2),..l
последовательность ребер М={l12, l23,..., l
k–1k
=(a
)} называется такая
k–1,ak
}, что два соседних
k–1k
ребра имеют общую инцидентную вершину, а1– начальная, аn –
конечная вершины. Длиной маршрута называется число ребер
маршрута .Маршрут М называется цепью, если все его ребра
различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме может
быть, первой и последней, различны.
Например, для графа на рис. 14.4 имеем: abdbe – маршрут,
но не цепь, abcdbe – цепь, но не простая, abe – простая цепь.
132
Рис. 14.4 Рис. 14.5
Цепь, в которой начальная и конечная вершины совпадают,
называется циклом. Если цепь простая, то простым циклом .
На рис. 14.4: acbdeba – цикл, но не простой, acdeba –
простой цикл. В частности, любая петля является циклом.
Граф называется связным, если любая пара его вершин
соединяется цепью.
Например, граф на рис. 14.4 – связный, на рис. 14.5 –
несвязный.
Связный неориентированный мультиграф называется
эйлеровым, если существует цикл, содержащий все ребра графа
(эйлеров цикл).
Эйлеров граф (цикл) можно считать следом пера,
вычерчивающего этот граф, не отрывающегося от бумаги.
Неориентированный связанный мультиграф G эйлеров
тогда и только тогда, когда степени его вершин четны.
Связный неориентированный граф G называется
гамильтоновым, если существует простой цикл, проходящий
через каждую вершину графа (гамильтонов цикл).
133
Некоторые классы графов
Связный неориентированный граф без циклов (в частности,
без петель и кратных ребер), называется деревом. Несвязный
неориентированный граф без циклов называется лесом, а его
связные компоненты – деревьями.
Любая часть леса или дерева также является лесом или
деревом. Любая цепь в таком графе является простой.
Например, граф на рис. 14.6 – дерево, на рис. 14.7 – лес.
Рис. 14.6 Рис. 14.7
Остовом графа G={V,E} называется дерево H={V,E*},
E*E. Граф G={V,E} называется двудольным, если V=V1+V2,
причем каждое ребро графа имеет один конец из V1, другой – из
V2
134
РАЗБОР ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
1
1
3
2
1. Вычислить определитель III порядка
4
7
6
.
5
9
8
Решение: Раскладываем определитель по элементам первой
строки:
1
3
2
4
6
5
7
9
8
2. Найти матрицу 3А, если А=
Решение: 3А=
= 1
5
6
8
9
– 2
23
4
6
7
9
)1(3
53
+ 3
33
4
5
=
7
8
21
3
63
=
9
15
.
5
3. Дана система линейных уравнений:
242
xxx
321
545
xxx
321
xxx
321
434
Записать систему в матричной форме.
Решение: AX=B, где А – матрица, составленная из
коэффициентов при неизвестных, Х – матрица–столбец
неизвестных
,, xxx
, В – матрица – столбец свободных членов,
321
т.е.
2
41
A
1
4
5
4
,
3
x
1
x
X
,
2
x
3
B
45
2
.
0)3(3)6(23
135
Тогда матричная форма записи данной системы имеет
1
757
5/74/
7
bya
x
1
4
x
3
x
2
1
2
3
5
4
следующий вид:
2
4
1
5
4
4. Графику функции y=kx+b соответствуют следующие
значения k и b:
1) k>0, b<0
2) k>0, b>0
3) k<0, b<0
4) k<0, b>0
Решение:
направлением оси OX.
противном случае,
, где – угол между прямой и положительным
tgk
>0, если– острый угол, в
tgk
<0. b – ордината точки пересечения
tgk
прямой с осью OY. В данном случае k>0, b<0.
5. Какая кривая определяется уравнением 754
22
yx ?
Решение: Приведем уравнения к каноническому виду:
4
22
yx
1
,
22
yx
1
. Уравнение
x
2
2
1
2
2
определяет эллипс.
136
6. Плоскость
, если
N(–2,1,–1).
Найти разность коэффициентов B–C.
Решение: Точка N лежит на плоскости, следовательно, её
координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
CB
7. Найти координаты вектора
Решение: Пусть А(3,0) – точка, соответствующая началу
вектора a, В (0,–4) – его конечная точка. Тогда
CzByx
проходит через точку
054
. Отсюда
05)1(1)2(4
a
CB
3
04;30 ABa ,
8. Найти скалярное произведение векторов a и b:
4;3 a .
3;1;2 b .
Решение:
babababa
, поэтому
zzyyxx
1)3(213)2()1( ba .
2
2
xy , если значение
y , 21)1()1(
9. Найти приращение
аргумента меняется от –1 до 2.
Решение:
. Тогда
y
325
функции 1
y
, 512)2(
)1()2(
yyy
.
137
a
2
,
2;3;1
y
2arcsin
1
2
332
x
10. Вычислить
lim
x
0
x
.
13cos
xx
Решение: Воспользуемся правилом Лопиталя:
2
lim
2arcsin
x
xx
0
13cos
lim
0
)2(arcsin
x
lim
)13(cos
xx
xxx
000
2
2
11. Материальная точка движется по закону 73)(
2
ttx , где
x(t) – координата точки в момент времени t. Найти скорость
точки при t=2.
Решение:
22
, 3629)2(
9)73()()( tttxtV
2
V .
x
12. Найти производную функции
y
.
Решение: Используем правило вычисления производной
2
)2(1
x
13sin3
x
частного:
2
)23(13x
U
V
V
)23(
x
.
VUVU
2
. Тогда
xxxx
y =
)23()32()23()32(
x
2332x
xx
22
)23(
x
3)32()23(2
13. Функция
задана на отрезке
)(xfy
. Указать
ba,
количество точек экстремума функции, если график её
производной имеет следующий вид:
138
Решение: Точки, подозрительные на экстремум функции,
находятся из условий:
x
– подозрительная на экстремум. Тогда, если при переходе
0
через
противном случае
x
0
меняет знак с «+» на «–», то
)(xf
x
– точка min. В нашем случае график
0
или
0)(
xf
не существует. Пусть
)(xf
x
– точка max; в
0
производной пересекает ось OX в двух точках, следовательно,
имеются две точки, подозрительные на экстремум. При
прохождении через каждую из них производная меняет знак на
противоположный, следовательно, данная функция имеет две
точки экстремума.
14. Найти площадь данной криволинейной трапеции:
139
Решение: Граница рассматриваемой области образована
!
n
!
2
параболой
трапеция, поэтому
2
4 xy и прямой
2
D
2
. Это криволинейная
0
y
3
2
x
4()4(
xdxxs
3
2
32
.
)
3
2
15. Определить второй член последовательности
)1()2(
nn
Решение: При n=2 получаем: 1
4
.
16. Установить соответствия между рядами и их названием:
n
)2(nx
A. Знакочередующийся
!
n
В. Знакоположительный
!12n
1
n
)12()1(
n
!
n
С. Степенной
1.
2.
3.
1
1
1
Решение: Ряд 1–степенной ряд по степеням (x–2).
Ряд 2 – ...
1
12
n
!
n
3
1
!2
9
5
!3
...
!4
12
n
!
n
–
знакоположительный.
1
Ряд 3 – ...
1
n
!
n
)12()1(
n
3
1
!2
7
5
– знакопеременный.
!4
!3
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]