Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
Определение неизвестных параметров распределения и
in1
*D*
выборочного коэффициента корреляции
Выборочные числовые характеристики. Оценки параметров
Среднее арифметическое выборки (х1,х2,...,хn):
M*=
1
n
in1
x i,
среднее арифметическое статистического ряда:
M*= x p
in1
i*i
*
.
Дисперсия выборки:
D* =
1
(x M*)
n
i
2
,
дисперсия статистического ряда –
D*= (x M*) p
Средне квадратическое отклонение:
* 2i*
i
in1
.
.
Пусть F(x,) – функция распределения СВ , –
неизвестная числовая характеристика СВ. Например, имеет
нормальное распределение с неизвестным параметром m=M().
Рассмотрим k выборок Хj=(хj1,хj2,...,хjn), j=1,k , СВ . * –
оценка , *– СВ, зависящая от Хj, j=1,k , т.е. *=(Х1,Х2,...,Хk).
Оценка * параметра называется несмещенной, если
математическое ожидание М(*)=, состоятельной, если.
Р(|*–|)
0k. Несмещенная оценка * называется
эффективной, если ее дисперсия D(*) – наименьшая среди
всех дисперсий, вычисляемых для оценок * по выборкам
одинакового объема
121
Теорема. Среднее арифметическое М* выборки (х1,х2,...,хn)
СВ, имеющей математическое ожидание М() и дисперсию
D(), является несмещенной, состоятельной оценкой
математического ожидания. Для нормального распределения СВ
эта оценка является эффективной.
Доверительные интервалы параметров
При малом объеме выборки n, чтобы недопустить грубые
ошибки, используют интервальную оценку.
Пусть – точность оценки * параметра , |–*|,
Р(|–*|), т.е. Р(*–*+)=.
Интервал (*–,*+),с вероятностью покрывающий
значение , называется доверительным интервалом, –
коэффициентом доверия.
На практике выбирают достаточно близким к 1.
Величины , , n связаны между собой.
Пусть нормально распределена с параметрами m, . В
качестве оценки m берется m*=M*=
выборки случайные и имеют то же распределение, что и с
1
n
Элементы хi, i=1,n,
xi.
in1
параметрами m,
n
Р(m*–mm*+)=Ф
.
Пусть u=
n
, тогда Р(m*–
.
*m-+*m
u
122
mm*+
n
–Ф
m*- -m*
n
/
u
n
)=2Ф(u).
n/
==2Ф
n
Если задано, то u находится по таблице Лапласа.
D
*
(m*–
u
mm*+
n
u
)– доверительный интервал для m. При
n
этом предполагается, что известно. Если заменить
приближенным значением
, то коэффициент доверия
уменьшится.
Выборочный коэффициент корреляции
Пусть проведено n независимых испытаний и получены
значения двумерной СВ =(,): ((x1,y1), (x2,y2),..., (xn,yn)).
2
,
М*()=
D*()=
1
xi,
n
in1
n
1
y M * ( )
n
i
i=1
М*()=
,
1
n
in1
2
D*()=
yi,
M * ( ) =
n
1
x M *( )
i=1
1
n
in1
i
x y
n
i i
.
Выборочный коэффициент корреляции СВ (,):
R * ( , ) =
Проверка статистических гипотез
M * ( )-M * ( ) M * ( )
D * ( ) D * ( )
.
Статистическая гипотеза – высказывание о
генеральной совокупности, проверяемое по выборке.
Статистические гипотезы делятся на гипотезы о законах
распределения и гипотезы о параметрах распределения.
Гипотезы о законах распределения. Выдвигается
гипотеза Н0 о функции распределения F(x) СВ. По выборке
строим эмпирическую функцию распределения Fn*(x).
123
D(Fn*, F) – мера отклонения Fn*(x) от F(x). Если Н0 верна, то
p ,
n
0
распределение СВ D можно найти. Зададим >0, такое что
событие с вероятностью практически невозможно в
единичном опыте. Считая известным распределение СВ D,
находим D0, что Р(D>D0)= и вычисляем D(Fn*,F). Если
D(Fn*,F)> D0, то произошло практически невозможное событие,
и гипотеза Н0 отвергается. Если же D(Fn*,F)<D0, то гипотеза не
противоречит опытным данным.
Критерий согласия гипотезы Н0 о функции
распределения F(x) – правило, позволяющее отвергнуть или
принять гипотезу на основании выборки СВ .
Уровень значимости критерия – число , равное
вероятности, что Н0 будет ошибочно отвергнута. Предел
значимости – число D0, определяемое из условия Р(D>D0)= ..
Для проверки гипотезы Н0 часто используют критерий
согласия Пирсона, для чего область значений выборки
(х1,х2,...,хn) разбивается на l интервалов (a
m
*
i
Определяются
i
и теоретические вероятности pi
, ai), i=1,l.
i–1
попадания в (a
D(Fn*,F)=
, ai), i=1,l , согласно гипотезе Н0.
i–1
2
n*
1=i
2
*
pp
i
i
p
i
ll
1=i
np
2
npm
ii
i
Теорема Пирсона: Какова бы ни была F(x) СВ,
распределение СВ *2 стремится при n к 2 распределению с
n
x
( ,
k
k=l–1 степенями свободы, т.е.
P ( * x) x)d x
2
где k(x) – плотность распределения 2 с k степенями свободы.
124
Для заданного , по таблице для распределения 2 с k=l–1
степенями свободы, найдем
2 2
P( ) = x)dx
, и событие
верно
2 2
*
(
k
2
2 2
*
, то гипотеза Н0 отвергается. Если же
. Если n велико, то
практически невозможно. Тогда, если
2
, для которого
2 2
P( * )
2 2
*
то опытные данные совместимы с принятой гипотезой. Т.
Пирсона дает хорошие результаты, если npi10, i=1,l. Если
выдвигаемая в качестве гипотезы функция распределения
содержит неизвестные параметры 1,2,...,r, оцениваемые
выборке, то предельным распределением СВ *2 является 2 –
распределение, с k=l–1–r степенями свободы.
125
,
Глава 15. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
случаях.
I. ЛОГИЧЕСКИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
Логика высказываний
Высказывание – повествовательное предложение, о
котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Высказывания обозначаются буквами a, b, c, x,y, p, q ....
Истинность высказывания a обозначают цифрой 1, а
ложность – цифрой 0
Высказывание а может принимать значения: 1 или 0, т.е.
является дискретной переменной а={0,1}. Такая переменная
называется также логической.
Конъюнкция аb (ab) высказываний a, b – высказывание с,
истинное тогда и только тогда, когда a, b истинны, т.е.
1,1 если 1,
==c
ba
ba
случаях. остальных в ,0
.
ab равносильно записи: a и b.
Таблица истинности для конъюнкции.
а b
ab
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Дизъюнкция ab высказываний a, b – высказывание с,
истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из
,0,0 если 0,
высказываний а или b, т.е.
==c
ba
ba
остальных в ,1
аb равносильно записи a или b.
.
126
Таблица истинности аb:
а b
ab
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Импликация ab высказываний a, b – высказывание с, ложное
тогда и только тогда, когда a истинно, b ложно, т.е.
,0,1 если 0,
==c
ba
ba
случаях. остальных в ,1
.
ab равносильно записи: из а следует b.
Таблица истинности ab:
а b
ab
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Отрицание а ( а) высказывания а – высказывание а ,
истинне, если а ложно и ложное, если а истинно, т.е.
,1 если 0,
=
a
a
.0 если ,1
a
а равносильно записи: не а.
Таблица истинности а :
а
а
1 0
0 1
127
Эквивалентность аb (аb) высказываний а, b –
a
b
a
b
a
b
высказывание с, которое истинно тогда и только тогда, когда а, b
оба истинны или ложны, т.е.
==c
ba
0= 0,= или 1,1 если 1,
baba
.случаях остальных в ,0
соответствует записи: а тогда и только тогда, когда b.
Таблица истинности
:
а b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
С помощью логических символов , , , , можно
соединить n>2 высказываний. Например, q=p1p2p3.
Формулами логики высказываний называются
высказывания, составленные из высказываний p1, p2, ...., pn,
соединенных знаками логических операций (логическими
связями).
Формула q=F(p1, p2, ...., pn) определяет булеву функцию n
переменных, которая наглядно задается таблицей истинности,
содержащей 2n строк.
Равносильные формулы логики высказываний
Пусть булева функция задана таблицей истинности. Тогда
можно построить соответствующую ей формулу. Например,
имеем таблицу
128
0 0 1
P1 p2 F(p1,p2)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
Для построения F(p1,p2) возьмем только строки с
F(p1,p2)=1, это первая и четвертая строки.
Первой строке соответствует формула p1p2, четвертой
p1p2, тогда F(p1,p2)=( p1p2)( p1p2). Таким образом,
F(p1,p2) построена как дизъюнкция конъюнкций.
Дизъюнкция конъюнкций из аргументов и их отрицаний
называется нормальной дизъюнктивной формой.
Теорема. Любая булева функция n переменных может быть
представлена в виде нормальной дизъюнктивной формы.
Одна и та же булева функция может быть задана разными
формулами.
Формулы, представляющие одну и ту же булеву функцию,
называются эквивалентными или равносильными.
Эквивалентность формул обозначаются знаком =.
Простейшие равносильности:
1. Законы двойного отрицания:
.
aa
2. Законы коммутативности: аb=ba, аb=ba.
3. Законы ассоциативности:
(аb)c=a(bc); (ab)c=a(bc).
4. Законы дистрибутивности: а(bc)=(ab)(ac);
a(bc)=(ab)(ac).
5. Законы де Моргана:a b a b a b a b ; .
129
6. Законы идемпотентности (поглощения): аa=a; aa=a.
7. а1=a, a1=1.
8. a0=0; a0=a.
9. aa=0; aa=1.
10. ab=ab.
11. Закон контрацепции (правило перевертывания):
a b=b
a
12. ab=(ab)(ba)=(ab)(ab).
II. ГРАФЫ
Основные понятия и способы задания графов
Граф – упорядоченная пара конечных множеств G={V,E},
где V={a1,a2,...,an}– множество точек – вершин графа, Е={(
ai,aj)}, i,j=1,n – множество пар элементов из V, называемых
ребрами графа. Ребро ( ai, aj) соединяет вершины ai и aj или
инцидентно этим вершинам. Вершины ai, aj называются
смежными или инцидентными ребру (ai,aj). Два ребра
называются смежными, если они инцидентны одной вершине.
Граф с n вершинами и m ребрами называется (n,m) – графом .
Граф G называется ориентированным (орграфом), если Е –
множество упорядоченных пар из V, т.е. его ребра являются
направленными, такие направленные ребра называют дугами.
Каждому графу можно поставить в соответствие
некоторую схему на плоскости, если вершины изображать
точками, а ребра – линиями. Эта схема называется диаграммой
графа или просто графом. Ребра на диаграмме могут быть
отрезками прямых или дугами линий. Один и тот же граф можно
изобразить разными диаграммами. Например, на рис. (14.1),
(14.2) изображен один и тот же неориентированный граф
G=(V,E), где V={a,b,c,d,e}, E={(b,a), (b,e), (b,c), (d,c), (d,e)}.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]