Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
Линейное неоднородное решение 2 порядка. Общее решение
y y
y
0,k m
r= 1,k m
2,k m
y
Общим решением линейного неоднородного уравнения 2
порядка с непрерывными аi(x), i=0,1,2, b(x) на (,), является
y=y*+y, где y*–общее решение однородного уравнения, y –
частное решение неоднородного уравнения.
Метод подбора частного решения линейного неоднородного
уравнения 2 порядка
Для нахождения частного решения неоднородного
уравнения с правой частью специального вида:
1) f(x)= Pn(x)=a0xn+a1x
n–1
+...+an, 2) f(x)= Pn(x)emx, m=const,
3) f(x)= Mcosmx+Nsinmx , 4) линейная комбинация
перечисленных функций
частное решение может быть выбрано в виде, указанном в
таблице:
Вид
f(x)
Выбор
Pn(x)=a0xn+...+a
=xrQn(x)=
=xr(A0xn+…+ An)
=r
1,2
0k,1
1
Pn(x)emx Mcosmx+Nsinmx
n
1,2
1,2
mx
=xr(Acosmx+
+ Bsinmx)
0, k m
1
r =
1,
=xrQn(x)e
0k0,
1
k m
1
А0, А1,.., Аn находят методом неопределенных коэффициентов.
Решение линейного неоднородного ОДУ 2 порядка методом
вариации произвольных постоянных.
Пусть y*=c1y1+c2y2 – общее решение линейного
однородного дифференциального уравнения, соответствующего
линейному неоднородному уравнению, где p, q могут быть
функциями от х. Частное решение y неоднородного уравнения
61
ищется в виде y= c1(х)y1+c2(х)y2, Для определения функций
c1(х), c2(х) решаем систему уравнений
с x)y x) + с x)y x) = 0,
( ( ( (
1 1 2 2
с x)y x) + с x)y x) = f(x).
( ( ( (
1 1 2 2
62
Глава 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
1, n
D
ПЕРЕМЕННЫХ
I. Двойной интеграл (ДИ)
Определение двойного интеграла
Задача об объеме. Пусть тело, ограничено сверху
поверхностью z=f(x,y) (f(x,y)0), снизу – конечной замкнутой
областью DXOY, с боков – цилиндрической поверхностью с
образующи, параллельными оси OZ, направляющей – границей
D. Пусть f(x,y) – непрерывна в D. Для нахождения объема тела
разобъем основание D на конечное число частей Di, i=
, в
каждой из них выберем т. Мi(i,i) и построим элементарное
цилиндрическое тело с основанием Di и высотой MiNi=f(i,i).
si – площадь Di.
Z
z=f(x,y)
Ni
X
M
D
Y
i
n
0
Рис. 10.1
1=i
.s),f(lim=V
наибольший из диаметров
iii
Объем тела
частей Di, i=1,n.
63
Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D
D
n
называется предел суммы
f( s
, )
i=1
i i i
при 0, если он
существует, конечен и не зависит от способа разбиения D на
части Di, i=1,n, и от выбора в них точек Мi. Обозначение:
n
lim f( s f(x, y)ds,
0
i=1
, )
i i i
ds – элемент площади; D –
область интегрирования; f(x,y) – подынтегральная функция;
f(x,y)ds – подынтегральное выражение. Функция, для которой
ДИ существует, называется интегрируемой.
V = f(x,y)ds
D
– геометрический смысл двойного интеграла.
Масса тонкой пластины
m = (x,y)ds
D
. При f(x,y)1,
значение двойного интеграла численно равно площади области
D:
(x,y)ds = S
D
.
Свойства двойных интегралов
ДИ обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.
64
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
f(x,y)ds= dx f(x,y)dy
a b
O
X d
Область D называется правильной в направлении оси OY
(OX), если любая прямая, параллельная оси OY (OX) и
проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает ее
границу в двух точках.
Y
y=
2
(x)
Y
x=1(y)
x=2(y)
y=1(x)
O
X
c
Рис. 10.2 Рис. 10.3
Граница области D, правильной в направлении оси OY,
может быть задана уравнениями y=1(x), y=2(x), (1(x)<2(x)),
x=a, x=b (a<b), и двойной интеграл в этом случае вычисляется
)(
y
b
2
по формуле
D
b
D a ( )
a
1
( )
x
2
причем сначала вычисляется
x
1
y)dx.f(x,dy=y)dsf(x,
)(
y
внутренний интеграл, в котором х считается постоянным.
Граница области D, правильной в направлении оси ОХ,
может быть задана уравнениями: x=1(y), x=2(y) (1(y)<2(y)),
y=c, y=d (c<d). Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле
)(
y
d
2
y)dx.f(x,dy=y)dsf(x,
D
c
1
)(
y
Если область D правильная в направлении ОХ и ОY
(правильная область), то применимы обе формулы.
65
В общем случае область D разбивают на конечное число
f(x,y)ds= f(x(u,v),y(u,v))|J|ds.
частей, являющихся правильными, и вычисляют для каждой из
частей интеграл Интеграл по всей области равен сумме
полученных интегралов.
Если область D: x[a,b], y[c,d], то
bad
D
c
dcb
y)dx.f(x,dy=y)dyf(x,dx=y)dsf(x,
a
Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
f(x,y)ds
D
требуется перейти
к новым переменным u,v, по формулам x=x(u,v), y=y(u,v),
(u,v)D*. Функции x=x(u,v), y=y(u,v) непрерывны в D* вместе
со своими частными производными и осуществляют взаимно–
однозначное отображение D* на D, т.е. существуют обратные
функции u=u(x,y), v=v(x,y), (x,y)D.
x
y
Обозначим
u
x
v
=J – Якобиан преобразования координат,
u
y
v
dudv=ds*.
Формула замены переменной в двойном интеграле имеет
вид:
D D *
При переходе в полярную систему координат (полярную
ось l совместим с осью ОХ, а полюс – с началом координат),
,rcos=x
u=r, v=,
.rsin=y
=J
элемент площади в полярных координатах.
Тогда
f(x,y)ds = f(rco s ,rsin )rdrd .
DD
66
rsin-cos
rcossin
и ds=rdrd –
0>r
Пусть область D имеет границу D: r=r1(),r=r2()
D
D
D
y)ds.
D
(r1()<r2()), =, = (<) (рис. 10.4).
Тогда
r ( )
2
f(rcos ,rsin )rdrd = d f *(r, )rdr, f *(r, )= f(rcos r
D
r
( )
1
r=r2()
r=r1()
Рис. 10.4
Приложения двойных интегралов
1) Вычисление площади плоской фигуры
S ds
D
2) Вычисление объема цилиндрического тела
, sin ).
.
y)ds.f(x,=V
3) Статические моменты плоской пластины относительно
оси ОХ и ОY соответственно равны
x
D
y (x,y)ds,
(x,x
y
67
Координаты центра масс пластинки хс, ус :
y)ds(x,x
x
c
m
y
c
m
1
y
m
Dx
D
D
y)ds(x,y
, где
y)ds(x,
D
=y)ds(x,x
y)ds(x,
D
m = x ,y d s
D
,
.
68
II. Тройные интегралы
X
Y Z
O
Понятия тройного и n–кратного интеграла
Рассмотрим задачу о нахождении массы m тела R3.
Пусть в каждой точке тела задана плотность =(x,y,z),
непрерывная в . Разобьём тело на n частей i
(ij=, ij) (рис. 10.5) с объемами vi. Выберем
произвольные точки Mi(i,i,i) i и считаем, что плотность в
i постоянна и равна (Мi), тогда
m M v
.
in1
i i
Тогда,
где =maxi – максимальный диаметр i.
Пусть теперь в трехмерной области задана произвольная
непрерывная функция u=f(x,y,z). Разобъем на n частей
аналогично рассмотренному выше и составим трехмерную
интегральную сумму
m lim v
, , ,
0
in1
Рис. 10.5
n
f( v
i=1
i i i i
, , ) ,
i i i i
для f(x,y,z) в .
69
Тройным интегралом (ТИ) от u=f(x,y,z) по области
1, n
называется предел интегральной суммы
n
f( v
, , ) ,
i=1
i i i i
при
0, если он существует и не зависит от способа разбиения
на i, i=
Тогда масса тела :
и от выбора точек Mii, т.е.
n
m = (x, y, z)dv.
0
1=i
.v),,f(lim=z)dvy,f(x,
iiii
Так же как двойной интеграл, ТИ существует при
непрерывности f(x,y,z) в , имеющей объем V. В качестве
поверхностей, разбивающих на i, i=1,n, можно взять
плоскости x=const, y=const, z=const и
f(x,y,z)d v = f(x,y,z)d xd yd z.
Свойства ТИ повторяют свойства двойного интеграла.
Вычисление ТИ
ТИ в декартовых координатах
Трехмерная область , ограниченная замкнутой
поверхностью , обладающая свойствами:
1. любая прямая, параллельная оси OZ, проведенная через
внутреннюю точку области , пересекает в двух точках;
2. область проектируется на плоскость XOY в правильную
двумерную область D;
3. любая часть области , отсеченная плоскостью, параллельной
координатной плоскости (XOY, XOZ, YOZ) обладает
свойствами 1 и 2;
называется правильной трехмерной областью.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]