Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
x x
222
2
1
2
1
1
1
1
2
x x
2 112 112 1
y y
1
y y
z z
z z
– уравнения прямой, проходящей через
точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2).
0=D+zC+yB+xA
1111
– общие уравнения прямой в
0=D+zC+yB+xA
пространстве.
S=
N 2N , где 1N ,
N
– нормальные векторы плоскостей.
Угол между двумя прямыми в пространстве – угол между
их направляющими векторами
S и 2S , т.е.
SS
cos=cos(
S ,2S )=
21
SS
21
L1| | L2
S 2S =0, L
1L2
S
.
S = 0.
Угол между прямой и плоскостью – любой из двух смежных
углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость .
Пусть S{m, n, p} – направляющий вектор прямой,
N
={A,B,C}– нормальный вектор плоскости.
21
SN
S
Тогда (рис. 3.3) sin=|cos(N, S )|=
.
SN
N
S
Рис. 3.3
L | | S N
.
=0 Am+Bn+Cp=0,
N
L S| |N SN=0 A/m = B/n = C/p .
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости
необходимо решить систему уравнений:
xx
m
n
DCzByAx
yy
,0
zz
000
.
p
Приравняв каждое из отношений канонических уравнений
прямой параметру t и подставив найденные x, y, z в уравнение
DCzByAx
000
плоскости, находим t :
t
CpBnAm
,
подставив его
в параметрические уравнения прямой , получим координаты
точки пересечения.
22
IV. Кривые II порядка
ayb
- 1
a b
a
A
1
B
–
a a
F
B
2
Общее уравнение кривой II порядка – уравнение вида:
Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, A2+B2+C2 0, (A,B,C,D,E,F)R
(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, – уравнение окружности с центром в
точке (x0,y0) радиуса R.
Эллипс – гмт, сумма расстояний, от которых до двух заданных
точек F1 и F2, называемых фокусами, величина постоянная и
равная 2a. Если фокальное расстояние | F1F2| =2c, то 2c<2a.
Каноническое уравнение эллипса:
2
2
2
1 .
2
F
2
A
2
x
Рис. 3.4
Фокальная ось – ось, на которой расположены фокусы. Числа a
и b называются большой и малой полуосями эллипса, А1(–a,0),
А2(a,0), B1(0,–b), B2(0,b) – вершины эллипса (рис. 3.4).
Гипербола – гмт, абсолютная величина разности расстояний от
которых до двух заданных точек F1 и F2, называемых фокусами,
есть величина постоянная и равная 2a.
2 2
x y
2 2
– каноническое уравнение гиперболы,
b
y = x
Числа a и b – действительная и мнимая полуосями
гиперболы, А1(–a,0), А2(a,0) – вершинами гиперболы (рис. 3.5).
– асимптоты гиперболы.
23
x
X
–
p/2
О
p/2
F
Рис.
3.6
X
x
F
2
a
–
b
–
Y
F
1
Парабола – гмт, равноудаленных от т. F, называемой фокусом,
и данной прямой, называемой директрисой (т.F директрисе)
(рис. 3.6).
y2=2px – каноническое уравнение гиперболы.
V. Преобразования параллельного переноса осей координат
параллельным переносом осей координат. Пусть начало О
новой системы имеет координаты (a,b) в старой системе.
Возьмем т.М на плоскости и найдем зависимость между ее
координатами (x,y) в старой системе и (x,y) в новой. Ясно, что
Рис. 3.5
Пусть новая система XOY получена из XOY
x x a
y y b
(рис. 3.7).
Y
y
b
О
Рис. 3.7
Y
y
O
а
24
x
М
X
Глава 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
czb
a
Цилиндрическая поверхность– поверхность,
образованная прямыми, параллельными заданному направлению
(образующими) и пересекающими заданную линию L
(направляющую).
Пусть образующие параллельны осям координат,
направляющие лежат в координатных плоскостях.
z 0
Направляющая может быть задана уравнениями:
F(x,y)= 0
.
Если образующие параллельны оси OZ, то уравнение
цилиндрической поверхности имеет вид F(x,y)=0. Уравнения
F(x,z)=0 и F(y,z)=0 определяют цилиндрические поверхности с
направляющими
F(x,z) = 0
,
x 0
F(y,z)= 0
и образующими,
y 0
параллельными OY и OX соответственно. Если в качестве
направляющих выбраны кривые II порядка в координатных
плоскостях, то получим цилиндрические поверхности II порядка.
2
y
1
– эллиптический цилиндр
2
ba
Например,
2
x
2
(аналогично гиперболический и параболический цилиндры).
Конус II порядка – поверхность, определяемая уравнением
2
2
yx
2
2
(рис.4.1).
0
2
2
25
czb
a
a
bzc
a
bzc
Рис. 4
.4
Y
X
О
Z
Z
O
X
Рис. 4.1
a
Z
c
O
Рис.4.2
b
Y X
Эллипсоид – поверхность, определяемая уравнением
yx
2
2
2
1
(рис. 4.2).
2
2
2
Однополостный гиперболоид – поверхность, определяемая
уравнением
2 2
x y
2 2
2
1 . (рис.4.3)
2
h
b
c
–c
X
Рис.4.3
Двуполостный гиперболоид – поверхность, определяемая
2 2
уравнением
x y
2 222
(рис. 4.4).
1
26
Y
O
Эллиптический параболоид– поверхность, определяемая
О
2 2
уравнением
x y
, p, q – одного знака (рис. 4.5).
z 2
p q
Гиперболический параболоид – поверхность, определяемая
2 2
уравнением
x y
, p, q – одного знака (рис. 4.6).
z 2
p q
Z
X
Рис. 4.5
Y
Рис. 4.6
27
Z
X
Глава 5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
I. Функции одной переменной
Основные понятия о функции одной переменной
Множество – совокупность элементов одной природы.
Множества обозначают X, Y, A, B; их элементы – x, y, a, b.
АВ – А состоит из части элементов множества В, т.е. является
подмножеством В.
А = В равны, если АВ и ВА. Объединение АВ множеств А
и В – множество из элементов, входящих или в А или в В;
пересечение АВ – множество из элементов, входящих и в А и в
В; разность А\В множеств А и В – подмножество множества А
элементов, не входящих в В. Если ВА, тоВ=А\В называется
дополнением множества А до множества А.
Между множествами Х и Y установлено соответствие (X
Y),
если для любого xX указаны соответствующие ему yY.
Соответствие между X и Y взаимно–однозначное, если
для любого xX yY и наоборот (Х
эквивалентны (имеют одинаковую мощность (X~Y)), если Х
Y). X и Y
Y .
Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел
N, называется счетным
– окрестностью U
(а–,а+) (>0), R. Проколотая
(a) точки аR называют интервал
– окрестность U(a) –
множество U(a)\{a}. Точка аА внутренняя точка множества
А, если >0: U(a) А. Множество А открытое, если оно
состоит из внутренних точек. – открытое множество.
28
Функцией y=f(x), определенной на множестве Х и
X
Yf
принимающей значения на множестве Y, называется
соответствие между множествами, при котором для xХ
yY.
X=D(f) – область определения функции; Y=E(f) – область
значений функции; х – независимая переменная (аргумент); y –
зависимая переменная (функция). Если каждому значению xХ
соответствует несколько значений yY, то задана многозначная
функция. При исследовании таких функций выбирают
интервалы, где они однозначны.
Функция y=f(x) возрастает на [a,b], если: x1<x2,
x1,x2[a,b] f(x1)<f(x2), убывает на [a,b], если x1<x2, x1,x2[a,b]
f(x1)>f(x2). Функция только возрастающая или убывающая на
[a,b], называется монотонной.
Функция y=f(x), x[–a,a], четная, если f(–x)=f(x),
нечетная, если f(–x)=–f(x).
y=f(x), x(–,+), периодическая с периодом Т>0, если Т –
наименьшее положительное значение, для которого f(x+T)=f(x)
x. Функция x=f–1(y) – обратная к функции y=f(x),
устанавливающей взаимно–однозначное соответствие между
X=D(f) и Y=E(f) (
соответствие, причем Y=D(f–1), X=E(f–1). Функция y=f(x)
ограничена в окрестности т. а, если число М>0, такое что
|f(x)|<M в этой окрестности (M>0: |f(x)|<M x(a–, a+)).
Основные элементарные функции: постоянная y=c,
c=const R; степенная y=xn, n R\{0}, n – задано;
показательная y=ax, a>0, a1; логарифмическая y=logax, a>0,
a1; тригонометрические y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx;
обратные тригонометрические y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx,
y=arcctgx.
), если она выражает то же
29
Композиция функций (сложная функция) y=[(x)] –
lim 0 N( ): n N( ) |x | .
lim f(x) >0 = ( ):0< x- f(x)- .
это функция: y=(z), yY, zZ, z=(x), xX, zZ y=()x.
Элементарная функция – функция, записанная одной
формулой и составленная из основных элементарных функций с
помощью символов арифметических операций ((+), (–), (.), (:)) и
композиции функций.
II. Пределы функции одной переменной
Предел последовательности. Предел функции в точке
Числовая последовательность – пронумерованная
последовательность чисел, т.е.: xn=f(n), n N. Число a – предел
последовательности xn при неограниченном возрастании n (a=
lim
x
), если для числа >0 найдется номер N, зависящий
n
n
только , такой, что при nN() справедливо |xn–a|<.
a x a
n
n
n
Число b – предел функции y=f(x) при хa, если для
числа >0 число (), что из неравенства 0<|x – a|< следует
неравенство |f(x) – b|< .
b a b
x
a
Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.)
функции
Функция y=
Функция y=f(x) называется б.б. при xa (
(x) называется б.м. при xa, если
ax
lim
x a
f(x)lim
(x) 0
.
),
если для числа M>0 число (М), что из неравенства
0<|x–a|< следует неравенство |f(x)|>M.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]