Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
Символическая запись определения: f(x) – б.б.,
lim 1.
x
xaМ>0 =(M): |x–a|< |f(x)|>M.
Теорема: Функция, обратная к б. м., является б.б. и
наоборот: (x) – б.м., xa 1/(x) – б.б., xa .
Основные теоремы о пределах
Теорема:
Предел постоянной равен самой постоянной.
Предел суммы конечного числа функций, имеющих
пределы при xa, равен сумме их пределов.
Предел произведения конечного числа функций, имеющих
пределы при xa равен произведению пределов.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Предел отношения двух функций, имеющих пределы при
xa, равен отношению их пределов (если предел знаменателя
не нуль).
Неопределенности. Замечательные пределы.
Бесконечно малые величины
Нахождение пределов для выражений вида
0
0
раскрытием неопределенности.
I замечательный предел:
sin
x
0
x
1 ,,0,,
называют
II замечательный предел:
h
10
31
h1lim
h
e
.
Если
~
~
~
~
lim
xa
( )
x
( )
, то б.м. (x) называется: б.м. высшего
0
x
порядка малости по сравнению с б.м. (x) при xa (=о()),
x
одного порядка малости, если
несравнимой с (x), если
lim
xa
lim A 0,
x
( )
( )
( )
a
x
( )
x
не существует.
x
;
Б.м. (x) и б.м. (x) называются эквивалентными (~), если
x
lim
xa
( )
x
( )
.
1
Теорема: Если для б.м. справедливо: (x)~
( )
( ) x , xa и lim
x a
x
существует, то
~
( )
x
lim
)(
x
)(
x
, (x)~
( )x
)(
lim
x
~
axax
)(
x
III. Непрерывные функции одной переменной
Определения непрерывности. Точки разрыва функции
Пусть y=f(x) определена в т. x0 и ее окрестности: y0=f(x0), x
– приращение х в т. x0, y= f(x0+x)–f(x0) – приращение
функции.
Функция y=f(x) называется непрерывной в т.x0, если:
1) она определена в т. х0 и ее окрестности;
2)
limf f( ) ( )x x
x x
0
.
0
y=f(x) – непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в
каждой точке этого множества.
Точка х0 – точка разрыва (т.р.) функции y=f(x), если в ней
нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.
32
)(lim
xf
xx
0
xx
0
0
xx
0
xx
0
0
– левосторонний предел функции, обозначается
0)f(xf(x)lim
0
0xx
)(lim
xf
– правосторонний предел, обозначается
0
0xx
,
0)f(xf(x)lim
.
Классификация точек разрыва:
1) х0– устранимая т.р. f(x0–0)=f(x0+0) и они конечны, но
f(x0) .
2) х0 – т.р. 1 рода f(x0+0), f(x0–0) – конечны, но f(x0+0)f(x0–0).
3) х0 – т.р. 2 рода: все остальные т.р.
Свойства функций, непрерывных в т. х0
1. Если (х), (х) непрерывны в т. х0, то функции (х)+(х),
(х)(х), (х)/(х) при (х)0 непрерывны в т. х0.
2. Если функция y=(z) непрерывна в т. z0, а z=(x) непрерывна
в т. х0, причем z0=(x0), то сложная функция ((x)) непрерывна
в т. х0.
Следствие. Элементарные функции непрерывны в
областях определения.
33
Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
x
x
0
( )
f x
0
1
f (x )
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
I. Дифференцируемые функции одной переменной
Определение производной, ее физический смысл и
геометрический смысл
Пусть f(x) определена в окрестности т. х. Тогда, если
y
lim
x x
0 0
f(x x) f(x)
lim
то он называется производной
,
функции f(x).
Обозначение f (x) или y, yx,
dy
. Нахождение
dx
производной функции называется дифференцированием.
Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (a,
b) называют дифференируемой на интервале (a, b).
v(t)=s(t), т.е. скорость прямолинейного неравномерного
движения равна производной от пути по времени.
Если график непрерывной функции y=f(x) имеет
касательную в т. M(x,y), образующую угол /2 с сью OX,
тогда k=tg=
lim
y
f (x).
x
0
x
Уравнение касательной к графику функции в М0(x0,y0):
y – y0=
(x – x0)
Уравнение нормали y–y0= –
(x – x0).
Свойства операции дифференцирования
1) (c)=0; 2) (u+v–w) =u+v–w; 3) (u.v) =uv+vu.
4) (сu) =c(u) , c=const. 5)
u
v
uv-vu
2
v
.0v,
34
Производная сложной функции
1
x
1
ln
x a
x2cos
12
x
Теорема: Если y=(z) дифференцируема в т. z, а z=(x)
дифференцируема в т. х, то y=[(x)] дифференцируема в т. х и
y=[(x)] (x) или y=
.
z
z
x
Производные основных элементарных функций
1) (c)=0, (с – число);
2) ( xn) = nx
n–1
;
3) ( ax) = axlna;
4)
xx
ee
; 5)
ln x
;
6)
log
x
a
; 7) (sinx) =cosx;
8) (cosx) = – sinx; 9) (tgx) =
1
10) (ctgx)=
12) (arccosx) = –
14) (arcctgx) = –
sin
; 11) (arcsinx) =
2
x
; 13) (arctgx) =
2
11x
1
.
1
;
;
2
11x
;
2
11x
35
Производные высших порядков
( ),
( )
x x t
y y t
f (x)
g (x)
Производной второго порядка называется производная от
производной: y=(f(x)). Производной n–го порядка называется
(n)
производная от производной (n–1)–го порядка: y
=(f
(n–1)
(x)).
Производные параметрически заданной функции
Для параметрически заданной функции т.е.
y
y
x
y
t
y
; .
x
t
2
x
x
x
t
t
Правило Лопиталя
Если для функций f(x), g(x) в окрестности т. а
выполняются условия f(x),g(x)C
причем f(a)=g(a)=0 и
lim
x
a
, тогда
, f(x), g(x) x(a,b),
[a,b]
f(x)
lim
x x
a a
g(x)
0
lim
0
f (x)
g (x)
.
Замечание 1. Если f(a)=g(a)=0 и f(x), g(x) удовлетворяют
в окрестности т. а условиям: f(x),g(x)C
x(a,b), то
f(x)
lim
x x x
a a a
g(x)
f (x)
lim
g (x)
lim
f (x)
g (x)
, f(x), g(x)
[a,b]
.
Замечание 2. Если
limf(x) limg(x)
x x
a a
,
и в
окрестности т. а f(x), g(x), причем g(x)0, то
f(x)
lim
x x
a a
g(x)
f (x)
lim
g (x)
.
36
Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
x
z
x
xfx
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
I. Дифференцируемые функции нескольких переменных
Понятие ФНП
Функцией n переменных y=f(x1,x2,...,xn), определенной на
множестве DR
n
и принимающей значения на множестве YR,
называется соответствие между множествами D и Y, при
котором для точки (x1,x2,...,xn)D существует единственный
элемент yY.
Множество D – область определения (ООФ), Y–область
значений функции.
Частные приращения и частные. Производные
Частным приращением функции z=f(x,y) по х называется
разность xz=f(x+x,y)–f(x,y), частным приращением по y –
yz=f(x, y+y)–f(x,y). Частной производной по х от функции
z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения xz
к приращению x при стремлении последнего к нулю:
lim
z
x
x
0
z
Другие обозначения:
z
y;
z
y
lim (
y
0
y
y
f
x
f
z
f
,,
y
y
y
. Аналогично и для переменной
,,
).
Частная производная по х от функции z=f(x,y) есть
обычная производная по х, вычисленная в предположении, что
у=const.
37
Для вычисления частной производной по у надо считать
х=const.
Частные производные высших порядков
Частные производные
функции z=f(x,y) в общем случае являются функциями от x и y.
Если они дифференцируемы, то четыре частные производные,
называемые частными производными второго порядка:
2
x
2
y
го порядка.
производная первого порядка от частной производной (n–1)
порядка.
Tеорема: Если функции x=x(t), y=y(t) дифференцируемы в т.t, а
функция z=f(x,y) дифференцируема в т.М(x(t),y(t)), то сложная
функция z=f(x(t),y(t)) также дифференцируема в т.t, причем
z
2
z
2
xzx
yzy
Аналогично вводятся частные производные третьего, ..., n–
Частной производной n–го порядка называется частная
2
Производные сложных функций
z
,
x y yzx
.
dz
z
f (x,y),
x y
x
z
dx
,
y x xzy
z
dt
dt
x
y
2
z
dy
dt
z
y
f (x, y)
,
38
Неявные функции, их дифференцирование
r
r
r
x
z y
Теорема Пусть y=f(x) и переменная х связаны
уравнением F(x,y)=0. F(x,y) непрерывна в окрестности
т.М0(x0,y0) и имеет непрерывные частные производные
F
x
уравнение F(x,y)=0 определяет в окрестности т.М0 функцию
y=y(x), которая имеет непрерывную производную
dy
dx
F
,,
причем
y
xF
/
Уравнения касательной и нормальной плоскости
Каждой т. M(x,y,z) L в пространстве соответствует
.
yF
/
к кривой в R
F
y
M
0
3
yxF
.0),( € ,0
00
Тогда
радиус–вектор
являются функциями параметра t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), тогда r=
(t) или
Z
M(x,y,z)
r
Y
X
Рис. 7.1
уравнениями линии L в пространстве
называются уравнения x=x(t), y=y(t),
z=z(t), векторным уравнением – r=
(t),
функцией от скалярного аргумента
t.
kzjyixrOM
. Пусть проекции вектора r
.
kz(t)jy(t)ix(t)r
Параметрическими
(t) называется векторной
39
называется пределом r(t) при tt0
0
lim ( ) ( )
r t r t
( ) ( )
r r t t r t
t t
kzjyixr
0
tt
0
)(lim
tt
0
т. t=t0, если она определена в ее окрестности и
000
rtr
0
, если
)(lim
ztz
. Вектор–функция r(t) называется непрерывной в
0
)(lim
xtx
,
tt
0
0
tt
0
t
,
)(lim
yty
0
0
Производной вектор–функции r(t) по аргументу t называется
( ) lim lim
r t
0 0
t t
,)()()()( ktzjtyitxtr
Канонические уравнения касательной к L, проходящей через
т.М0:
xx
0
tx
0
yy
0
ty
0
zz
0
.
)()()(
tz
0
Уравнение нормальной плоскости к L, проходящей через т.M0:
0))(())(())((
zztzyytyxxtx
000000
Уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности, заданной
уравнением F(x,y,z)=0 в т. М(x,y,z), называется плоскость, в
которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на
поверхности и проходящим через т. М.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]