Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Подготовка к итоговому тестированию по математике в высшей школе. Банк тестов. Учебное пособие
.pdf
Плотностью распределения вероятностей для функции
-
распределения F(x) непрерывной СВ называется функция (х)
такая, что F(x)=(x).
Так как F(x) неубывающая функция, то (х)0.
Свойства плотности распределения вероятностей:
x
2
1)
(x)d x = F (x F (x ) = P (x x
x
1
x
2)
3)
-
(x)dx.=F(x)
-
) )
2 1 1 2
1.=(x)dx
Числовые характеристики случайных величин
Математическим ожиданием дискретной СВ
={x1,x2,...,xn} с законом распределения P(=xi)=pi называется
n
M ( ) = x p
.
i=1
i i
Математическим ожиданием непрерывной СВ с
плотностью распределения (х) называется
+
M ( ) = x (x)d x.
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной равно ей самой:
М(с)=с, с=const.
2. M(k)=kM(), k=const.
3. M(+)=M()+M(), где , – СВ.
111
Дисперсией СВ называется D()=M[(–M())2]. Cредним
i i
D( ) x M( ) p .
квадратичным отклонением СВ называется ()=D().
Для дискретной СВ ={x1,x2,...,xn}
n
i 1
2
Для непрерывной СВ с плотностью вероятности (х) получим
D x M x d x( ) ( ) ( ) .
2
Используя свойства М(), можно D() записать в виде
D()=M(2)–(M())2.
Свойства дисперсии:
1.D(с)=0, c=const;
2. D(k)=k2D(), k=const.
Примеры распределений случайных величин
Примеры распределений дискретной СВ
Распределение дискретной СВ называется
равномерным, если оно задается рядом:
x
1
x2 … xn
p p1=1/n p2=1/n … pn=1/n
Для равномерного распределения дискретной СВ:
n
M ( ) =
, ) .
1
x D (
n
i
i= 1
n
1
n
i= 1
2
x
i
1
n
n
i= 1
2
x
i
112
Распределение дискретной СВ называется биномиальным,
0 0 n
C p q
1 1 n 1
C p q
2 2 n 2
C p q
n n 0
C p q
0
!
1
!
2
!
3
!
n!
если оно задается рядом:
p
0 1 2 … n
p0=
n
p1=
n
p2=
n
…
pn=
n
p и q имеют тот же смысл, что и в схеме испытаний Бернулли
Для биномиального распределения СВ математическое
ожидание М()=np.
Дисперсия D() для биномиального распределения
вычисляется по формуле D()=npq .
Распределение дискретной СВ называется распределением
Пуассона, если оно задано рядом
P
0 1 2 3 ... n
0
e
1
e
2
e
3
e
...
ne
=np, n и p удовлетворяют условиям формуы Пуассона.
M()=D()=.
Примеры распределений непрерывной СВ
Непрерывная СВ , все возможные значения которой
заполняют отрезок [a,b], называется равномерно
распределенной, если ее плотность вероятности (х)=с на [a,b],
с=const.
с=1/(b–a), т.е. плотность равномерного распределения
( )
x
,
0
1
b a
, .
0
x
,
x
x >
a
a b
b
113
2
a b
2
.12b a
-
b a
2
b
a
График плотности распределения изображен на рис. 13.4.
1
М()=
Р()=
(x)
, D()=
a
X
Рис. 13.4
Непрерывная СВ называется нормально распределенной,
если ее плотность распределения
(x ) =
1
2
e
,+), m, – некоторые постоянные.
x
1
Для нормального распределения
М()=m, )(
D . График функции
=F(x)
2
=(x)
имеет вид (рис. 13.5).
Значение х=m, в котором (х) имеет максимум, называется
модой СВ ).
(x)
1
O x=m X
Рис. 13.5
x -m
2
e
1
2
2
2
х(–
,
2
m-x
2
2
dx,
2
m-x
-
2
2
e
114
2
u
u
2
du
e
0
–
P()=Ф((–m)/)–Ф((–m)/), где
1
=Ф(u)
2
функция Лапласа.
Многомерные случайные величины
Многомерной(n–мерной) случайной величиной
называется =()=(1, 2,...,n), где i= i(), Rn, . СВ i
называются компонентами . В зависимости от компонент
многомерные СВ делятся на дискретные и непрерывные.
Закон распределения дискретной двумерной СВ =(,)
может быть задан в виде таблицы распределения вероятностей:
x1 x2 .... xn
y1 p11 p21 ... pn1
y2 p12 p22 ... pn2
... ... ... ... ...
ym p1m p2m ... pnm
n
m
p
pij=P(=xi, =yj),
j=1
i=1
ij
1.
Закон распределения дискретной и непрерывной СВ
=(, ) можно задать в виде функции распределения. Пусть
Р(<x, <y) – вероятность того, что =(, ) удовлетворяет
неравенствам <x, <y.
115
Функцией распределения вероятностей СВ =(,)
F
x y
P(D)
D
-
-
-
-
называется F(x,y)=P(<x, <y). Плотностью распределения
вероятностей непрерывной СВ =(,) с функцией
распределения F(x,y) называется непрерывная в R2 функция
2
(х,y): (x,y)=
.
Вероятность того, что значения непрерывной двумерной
СВ =(,) с плотностью распределения (х,y) окажутся в
(x y dxdy
области DR2:
=
распределения СВ =(,):
(x y dxdy=1.
, )
, )
F(x,y)= (t t dt dt
, функция
y
x
, ) ,
1 2 1 2
Математическое ожидание двумерной СВ =(,):
M()=(M(), M()), где
M( ) = x (x y dxdy,
, )
M( ) = y (x y dxdy.
, )
Точка (М(),М()) называется центром рассеивания
двумерной СВ .
Дисперсия D()=(D(),D()), где D(), D() определяются
по формулам для одномерной соответствующей СВ.
116
Распределение непрерывной двумерной СВ =(,)
называется нормальным, если плотность распределения
2
y
2
2
2
y
,
выражается формулой
2
x
=y)(x,
1
2
2
x
e
yx
x, y=const, (x,y)R2. Т. О(0,0) – центр рассеивания СВ , x, y
– главные средние квадратические отклонения.
(х,y)
y
x
Рис. 13.6
Независимые СВ. Коэффициент корреляции
СВ , – независимые, если функция (х,у) СВ =(,)
удовлетворяет равенству: (х,у)=(х)(у), где (х), (у) –
плотности распределений СВ и .
Для функции распределения F(x,y) СВ =(,) при
независимых , справедливо F(x,y)=F(x)F(y), где F(x), F(y)
– функции распределения СВ , соответственно.
Для нормального распределения СВ =(,) СВ ,
нормально распределены и независимы.
117
Распределением
1, n
распределение СВ
2
с n степенями свободы называется
n
2
i= 1
2
если СВ i, i=
,
i
, независимы и
распределены по одному и тому же нормальному закону с
параметрами m=0, =1.
Плотность распределения 2 имеет вид
x) =
(
n
1
n
n
2
2
2
n
2
x
!
11
x
при 0х<, n(x)=0 при х<0.
2
e
M()=
xy (x, y)dxdy.
Для независимых СВ ,
справедливо M()=M()M().
Мерой связи между СВ , называется коэффициент
корреляции:
R ( , ) =
M ( ) - M ( ) M ( )
( ) ( )
, где () ,()
– средние квадратические отклонения СВ , соответственно.
Причем, справедливы соотношения:
1) R(,)=0, если СВ , независимы. 2) R(,)|1. 3) если
|R(,)|=1, то между , имеется линейная зависимость.
118
III. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1,
l
... (
a
)
... pl*
Основные понятия математической статистики.
Пусть проведено n независимых экспериментов и
получены значения СВ : х1,х2,...,хn.
Генеральная совокупность – множество всех значений
СВ. Выборка объема n: (х1,х2,...,хn) – множество значений СВ,
полученных в результате n независимых экспериментов.
По выборке делают выводы о СВ, при этом классическую
вероятность заменяют статистической.
Статистический ряд – таблица, в которой записаны
упорядоченные различные элементы выборки хi*(х1,х2,...,хn), i=
, и относительные частоты pi*=mi/n (mi – частота появления
l
хi*).
1=i
P* p1* p2* ... pl*
1*p
i
.
х1* х2* ... хl*
При большом n применяют статистический ряд по
интервалам (вариационный ряд). Интервал значений СВ
разбивают на интервалы (a0,a1), (a1,a2), ..., (a
pi*=mi/n, mi – число значений величины , попавших в (a
), вычисляют
l–1,al
i–1,ai
), и
строят таблицу:
Интервалы (a0,a1) (a1,a2)
Относительные
частоты
p1* p2*
l–1,a l
119
Полигон – графическое изображение статистического ряда.
1,
l
1,
l
p , x< , k=1, ;
a a l
P*
р
2
p
1
Полигон строят из отрезков, соединяющих точки (хi*, рi*),
i=
(для ряда по интервалам хi*– срединное значение
интервала (a
)) (рис.13.7).
i–1,ai
р
3
p
l
–
р
1
х1* х2* х3*... хl* a0 a1 a
рис. 13.7 рис. 13.8
полигон
p
*
p
*
i
l
гистограмма
ai a
i–1
Гистограмма – графическое изображение интервального
статистического ряда.
l–1
a
l
По оси откладывают интервалы (a
полученных отрезках строят прямоугольники с высотами рi*
(рис. 13.8).
Эмпирической функцией распределения СВ , для
которой составлен статистический ряд, называется
k
F*(x)=
1
i
0, x< ;
a
0
*
i k-1 k
1, x ;
a
i–1,ai
), i=
на
l
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]