Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
1
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
О. И. Горбанева
Модели экологии и экономики
Учебное пособие
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2022
2
УДК 519.866(075.8)
ББК 22.18 я73
Г67
Печатается по решению кафедры прикладной математики
и программирования Института математики, механики
и компьютерных наук им. И. И. Воровича
Южного федерального университета (протокол № 7 от 15 апреля 2021 г.)
Рецензенты:
заведующий кафедрой инновационного и международного менеджмента
Южного федерального университета,
доктор экономических наук, профессор Е. И. Лазарева;
доцент кафедры технической кибернетики
Уфимского государственного авиационного технического университета,
кандидат технических наук, доцент Е. Ш. Закиева
Горбанева, О. И.
Г67 Модели экологии и экономики : учебное пособие / О. И. Горбанева ;
Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2022. – 197 с.
ISBN 978-5-9275-3859-1
Учебное пособие содержит полное и систематическое изложение материала,
входящего в учебную программу курса по выбору «Модели экологии и экономики». Пособие состоит из трех модулей: модели экологии, модели экономики, экономические механизмы. В доступной для студентов форме дается обзор основных
моделей экологии и экономики, для части из них приведены достаточно подробное исследование и интерпретация. После каждой главы имеются задания
для закрепления материала.
Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» Института математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.
УДК 519.866(075.8)
ББК 22.18я73
ISBN 978-5-9275-3859-1
© Южный федеральный университет, 2022
© Горбанева О. И., 2022
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2022
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................... 4
МОДУЛЬ 1. МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОЛОГИИ ............. 6
Глава 1. Непрерывные и дискретные модели естественной
динамики численности однородной популяции:
принцип постепенного усложнения ..................................... 6
Глава 2. Непрерывные модели половой структуры и дискретные
модели возрастной структуры популяций ......................... 24
Глава 3. Модели естественной динамики численности
биологических сообществ: хищничество и конкуренция .... 44
Глава 4. Непрерывные и дискретные модели оптимальной
эксплуатации популяций ..................................................... 59
Проектные задания к модулю 1 .......................................................... 70
МОДУЛЬ 2. МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ....... 73
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции.
Свойства производственных функций ............................... 73
Глава 6. Основные типы
и построение производственных функций ........................ 89
Глава 7. Модели систем массового обслуживания ......................... 105
Глава 8. Агрегированная модель экономики Рамсея – Солоу ....... 114
Глава 9. Модели межотраслевого баланса ....................................... 128
Проектные задания к модулю 2 ........................................................ 145
МОДУЛЬ 3. МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ ..... 146
Глава 10. Примеры экономических механизмов
Н. Н. Моисеева и В. И. Опойцева ..................................... 146
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации .... 159
Глава 12. Имитационное моделирование
и прикладной системный анализ ...................................... 177
Проектные задания к модулю 3 ........................................................ 194
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................... 196
4
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие посвящено основным моделям экологических и эко-
номических процессов, в нем также рассмотрены понятие и виды экономических механизмов, даны базовые сведения по математическому мо-
делированию, в том числе имитационному.
Учебное пособие содержит 12 глав, что соответствует 12-недельному
курсу дисциплины, которая проводится в последнем семестре на четвертом курсе бакалавриата. Каждая глава содержит описание изучаемой
проблемы, построение базовой модели, ее исследование, интерпретацию
результатов, описание обзора последовательно усложняемых моделей
на основе базовой модели без их исследования, но с приведением результатов исследования и их интерпретации.
В конце каждой главы приведены задания, выполнение которых по-
могает закрепить усвоение материала, изложенного в данной главе. Эти
задания можно применять в качестве решаемых на практических занятиях примеров как преподавателем, так и студентами. Также их можно
использовать как индивидуальные или командные задания, в том числе
для принятия зачета у студента.
Все главы объединены в три модуля, в конце каждого модуля имеются проектные задания, которые рекомендованы для контроля знания
студентов, в том числе индивидуальных заданий. Количество вариантов, как правило, позволяет это сделать.
Первый модуль «Модели математической экологии» посвящен моделям динамики численности популяций. Представлено достаточное многообразие моделей экологии, начиная с самой простой модели Мальтуса.
Рассмотрены разностные и непрерывные модели, модели однородной популяции, с учетом половой и возрастной структуры популяции,
а также показано взаимодействие двух популяций. Учитываются как
естественное воздействие на численность популяции природных явлений (на рождаемость и смертность), так и антропогенное воздействие
в виде эксплуатации популяции, ее отлова.
Второй модуль «Модели математической экономики» посвящен моделям экономики. Вводится понятие производственных функций, на основе которых ведется построение экономических моделей. Анализу про-
Введение
5
изводственных функций уделено очень много внимания. Подробно
рассматриваются модели агрегированной односекторной экономики
и многоотраслевого баланса. Также в этом модуле описываются системы массового обслуживания.
Третий модуль «Модели экономических механизмов» посвящен исследованию экономических механизмов, применение которых позволяет
привести систему к требуемому состоянию. Описаны виды экономических механизмов, а также влияние информированности участников
модели на результат применения этих механизмов. В этом же модуле
рассмотрены имитационные системы и модели, особенности работы
с ними.
Полученные в рамках данного курса знания помогут студенту провести анализ любой системы, изучаемой в рамках специальности «Прикладная математика», что будет полезно в том числе при написании выпускной квалификационной работы.
Настоящая книга написана как учебное пособие по моделям экологии
и экономики для студентов бакалавриата механико-математического факультета направления 01.03.02 «Прикладная математика и информатика». Вместе с тем книга будет полезна для студентов магистратуры прикладной математики и аспирантов специальности 05.13.10 «Управление
в социальных и экономических системах», 05.13.18 «Математическое
моделирование, численные методы и комплексы программ», а также для
студентов бакалавриата и магистратуры экономической специальности
«Прикладная математика в экономике» и других управленческих специальностей.
6
МОДУЛЬ 1
МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОЛОГИИ
Глава 1. Непрерывные и дискретные модели
естественной динамики численности однородной популяции:
принцип постепенного усложнения
1.1. Определение популяции.
Динамическая модель на основе
закона сохранения энергии
Пусть требуется знать численность населения определенной территориальной принадлежности в течение некоторого длительного времени. В этом могут помочь модели динамики численности популяции
[1; 2; 4; 5; 9; 10].
Группа организмов одного биологического вида, обитающая на определенной территории, называется популяцией. Примерами популяций
являются популяции серых ворон в парке, полевых мышей на лугу, бурых медведей в лесу, население города.
Для построения простейшей динамической модели будем считать,
что отдельные организмы в популяции неразличимы (однородная
популяция). Не будем принимать также во внимание распределение
особей в пространстве. В этих предположениях состояние популяции
в каждый момент времени t можно охарактеризовать единственным
числом x(t) – численностью популяции, а именно количеством особей в популяциях крупных особей или биомассой популяции мелких
особей.
Пусть известна величина x(t) – численность популяции в момент
времени t. Как вычислить новое значение численности в момент времени В основе ответа на этот вопрос лежит закон со-
хранения массы, который можно записать в форме балансового соотношения:
(1.1)
т. е. новое значение численности равно старому x(t) плюс изменение численности x(t) за время .
Глава 1. Непрерывные и дискретные модели естественной динамики численности…
7
Простейшая гипотеза заключается в том, что изменение за время
пропорционально начальной численности с постоянным коэффициентом пропорциональности a:
(1.2)
Коэффициент a называется коэффициентом естественного прироста численности популяции при его положительности или коэффициентом естественной убыли при его отрицательности. Но измене-
ние численности популяции за время есть результат двух биологи-
ческих процессов: рождаемости и смертности, т. е. коэффициент a равен
разности коэффициентов рождаемости b и коэффициента смертности
m, или a = b – m, и модель (1.2), соответственно, переписывается
в виде
где b – доля родившихся за время особей, m – доля умерших за время особей в расчете на одну особь.
1.2. Переход к производной
Подставляя (1.2) в (1.1), получаем
Перенесем x(t) в левую часть, разделим обе части на и перейдем
к пределу при .
Слева записана производная по времени функции x(t):
(1.3)
или
.
Обычно предполагается, что численность популяции в некоторый
начальный момент времени известна:
.
(1.4)
Начальное условие (1.4) вместе с соотношением (1.3) позволяют
определить численность популяции в любой момент времени t.
Полученные соотношения (1.3)–(1.4) составляют модель Мальтуса
[1; 2; 4; 5; 9; 10], которая отвечает простейшей гипотезе о виде функ-
ции
Модуль 1. Модели математической экологии
8
1.3. Устойчивость равновесия
Рассмотрим произвольную динамическую систему:
dx/dt = f(x(t)),
(1.5)
с начальным условием (1.4)
x(t0) = x0.
Что такое равновесие? Равновесие – это неизменяемое состояние системы. Математическое условие равновесия имеет вид
dx/dt = 0;
(1.6)
если производная функции равна нулю, то сама функция не изменяется.
Равновесие x* системы (1.5) удовлетворяет свойству (1.6), если
f(x*) = 0.
Возникает вопрос: в каких случаях популяция может длительное
время оставаться в равновесном состоянии? И в каком именно, если их
несколько?
Ответ на эти вопросы связан с одним из важнейших понятий теории
динамических систем – устойчивостью равновесия [5; 9].
Равновесие называют устойчивым, если для любого ε > 0 существует
δ > 0 такое, что
|x
0
– x*| < δ |x(t) – x*| < ε,
(1.7)
где x(t) – произвольное решение системы (1.5) с начальным условием (1.4).
Если дополнительно выполняется условие
,
(1.8)
то равновесие x* называется устойчивым.
Поясним сказанное. Условие (1.7) означает, что если начальная точка траектории системы x0 отстоит от точки равновесия x* не более чем
на δ, то и в любой момент времени t значение траектории x(t) отстоит от
x* не более чем на ε. Условие асимптотической устойчивости (1.8)
означает дополнительно, что траектория системы не просто находится
в ε-окрестности равновесия, но и неограниченно приближается к нему
со временем. Графическая иллюстрация устойчивости показана на рис. 1.1,
где кривая 1 – характерная траектория в случае устойчивого равновесия,
Глава 1. Непрерывные и дискретные модели естественной динамики численности…
9
2 – характерная траектория в случае асимптотически устойчивого равновесия.
Рис. 1.1
Основной практический смысл приведенных рассуждений состоит
в том, что если выполняется условие устойчивости (тем более асимптотической устойчивости) равновесия x*, то, начиная с некоторого t ≥ T,
можно считать с высокой точностью, что x(t) ≈ x*. Таким образом,
динамическая система фактически становится статической (как говорят, выходит на стационарный режим), и ее исследование значительно упрощается.
Как же установить факт устойчивости или неустойчивости равновесия? Надо найти производную функции f(x) в точке равновесия и сравнить ее значение с нулем: если df(x*)/dx < 0, то x* асимптотически
устойчиво, а если df(x*)/dx > 0, то x* неустойчиво.
1.4. Обзор моделей
Как уже было сказано, модель Мальтуса является простейшей моделью динамики численности однородной популяции, которая учитывает
лишь коэффициенты рождаемости и смертности, которые в этой модели
являются константами. То есть чем больше особей в популяции в дан-
Модуль 1. Модели математической экологии
10
ный момент времени, тем больше рождается новых особей (в количестве bx(t)) и тем больше погибает старых особей (в количестве mx(t)).
Эта модель не учитывает многих факторов. В частности, в модели не
разделяются особи по полу и возрасту, т. е. рассматривается только однородная популяция. Кроме того, в модели Мальтуса особи не испытывают дефицита ресурсов, которые зачастую ограничены в своем количестве, а следовательно, борьбы за ресурсы в популяции не происходит.
К тому же популяция в данной модели не взаимодействует с другими
популяциями, что равносильно тому, что особи данной популяции не
погибают как часть пищевой цепочки для вышестоящих трофических
уровней.
Первым усложнением модели Мальтуса явился учет того, что ресурсы, требуемые для развития популяции, ограничены и за них
происходит борьба между особями популяции. То есть по-прежнему
считается, что рождаемость прямо пропорциональна количеству особей, имеющихся на данный момент времени (в количестве bx(t)),
а смертность пропорциональна количеству попарных встреч между
особями (т. е. γx2(t)). То есть чем чаще особи встречаются, тем больше конкурируют за ресурсы, тем больше мешают друг другу и сами
ограничивают рост своей численности. Это учтено в модели Ферхюльста – Пирла [1; 2; 4; 5; 9; 10], которая выглядит следующим образом:
.
(1.9)
Видно, что в модели (1.9) постоянный в модели Мальтуса коэффициент естественного прироста a теперь стал убывающей функцией чис-
ленности, т. е. , где величина называется коэффициентом
самолимитирования популяции.
Следующим усложнением является учет полового размножения
особей. В этом случае уже количество родившихся особей пропорционально квадрату количества особей в популяции, что интерпретируется
как количество попарных встреч между особями с определенным коэффициентом. То есть количество родившихся считается как βx2(t). Моде-
ли полового размножения усложнялись и далее, некоторые из них мы
рассмотрим в следующей главе.
При этом смертность можно учитывать тоже разными способами,
с учетом или без учета борьбы особей одного вида за ограниченные ре-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]