Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
91
Заметим, что
. Следовательно,
.
Данный результат говорит о том, что характеристика замещения одного ресурса другим задана заранее вне зависимости от желания исследователя. Это один из недостатков степенной производственной функции, в связи с которым часто вместо нее используется близкая к ней, но
отличающаяся от нее возможностями замещения ресурсов.
Производственные функции с постоянной эластичностью замещения ресурса
Рассмотрим функцию следующего вида [7]:
,
(6.1)
где b, , , …
– положительные параметры.
Для облегчения рассмотрения свойств данной функции возьмем
функцию двух переменных при :
.
(6.2)
Пусть y – конечная продукция народного хозяйства,
– количество
основных фондов,
– общее количество трудовых ресурсов в стране,
а .
Проверим выполнение всех предположений, введенных для всех
производственных функций.
Видно, что если какое-то , то функция не определена из-за отрицательной степени, но, переходя к пределу при , получим, что
слагаемое
, следовательно,
, а значит,
отрицательная степень этого выражения стремится к 0, т. е. первое
свойство для рассматриваемой функции выполняется.
Проверим выполнение второго предположения. Для этого найдем
предельную эффективность j-го ресурса:
,
т. е. предположение 2 (см. п. 5.15) выполняется.
Модуль 2. Модели математической экономики
92
Найдем среднюю эффективность j-го ресурса:
.
Заметим, что чем меньше
, тем больше предельная и средняя эф-
фективности. И наоборот, чем больше
, тем меньше предельная и сред-
няя эффективности.
Эластичность выпуска по j-му ресурсу равна
.
Заметим, что эластичность выпуска по i-му ресурсу уже не постоянная, а зависит от конкретных количеств используемых ресурсов.
Проверим выполнение третьего предположения:
,
а также четвертого:
.
То есть эластичность выпуска равна , а значит, свойство
выполняется для данной функции.
Как видно, четвертое свойство выполняется, при этом отдача постоянная.
Все четыре предположения для данной функции выполняются.
Рассмотрим вопрос о замещении ресурсов.
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
93
Изокванта степенной функции определяется соотношением
.
Отсюда можно найти явную зависимость при заданном вы-
пуске продукции
:
.
(6.3)
График изокванты изображен на рис. 6.1. Из графика видно, что как
бы не повышалось использование, допустим, первого ресурса, второй
ресурс необходим не менее, чем в количестве
. Аналогично с по-
вышением второго ресурса. То есть полного замещения ресурсов не
происходит.
Рис. 6.1
Предельные нормы замещения имеют вид
.
Изоклинали данной функции – прямые линии. При пропорциональном росте объемов производственных ресурсов предельная норма замещения не изменяется.
Модуль 2. Модели математической экономики
94
Найдем эластичность замещения по формуле
.
Заметим, что
. Следовательно,
.
Этот результат говорит о том, что хотя эластичность замещения по-
стоянная, но уже не равна только единице и меняется с изменением от
1 (при = 0) до 0 (при ). Именно благодаря этому свойству рас-
сматриваемые функции называются функциями с постоянной эластичностью замещения.
Заметим, что при рассматриваемая функция стремится к сте-
пенной
.
Прологарифмируем выражение под пределом:
.
Так как , получаем неопределенность вида
Тогда
можно воспользоваться правилом Лопиталя:
.
Экспоненцируем полученное:
,
т. е. степенная производственная функция является предельным случаем функции с постоянной эластичностью замещения. Читателю предоставляется возможность проверить, можно ли все характеристики сте-
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
95
пенной функции получить из характеристик функции с постоянной эла-
стичностью путем перехода к пределу при .
А что, если ? Рассмотрим, к чему в этом случае стремится
рассматриваемая функция. Найдем соответствующий предел
Вынесем за скобки меньшую из величин x1, x2. Пусть x
1
> x2. Тогда
.
Величина
при x1 > x2 стремится к бесконечности, следовательно,
, тогда
. Следовательно,
.
В случае же x1 < x2 аналогично выносим за скобку величину x1 и получаем
.
В случае же x1 = x2
.
То есть
.
Так мы подошли к производственным функциям с постоянными
пропорциями [7].
Производственные функции с постоянными пропорциями
Производственные функции с постоянными пропорциями имеют
следующий вид [7]:
,
(6.4)
где b, , … ,
– положительные параметры.
Приведем несложный пример использования этой функции. Допу-
стим, для приготовления 1 кг печенья нам понадобится г масла,
600 г муки, 2 яйца, г сахара. То есть коэффициенты
Модуль 2. Модели математической экономики
96
, … , – затраты ресурсов , … ,
соответственно для производства
условного количества (в данном случае 1 кг) продукта (печенья). Допу-
стим, имеется г масла, г муки, шт. яиц,
г сахара. Сколько кг печенья можно приготовить с заданным
количеством ресурсов?
Масла хватает на приготовление
кг печенья. Муки хва-
тит на приготовление
кг печенья. Яиц хватает на приготов-
ление
кг печенья. Сахара хватает на приготовление
кг печенья. Значит, всех ресурсов нам хватает на приготовление
То есть, несмотря на то что каких-то видов ресурсов нам хватает на
приготовление 5 кг печенья, мы сможем сделать лишь 2 кг. Как видно,
в данном случае дефицитным ресурсом в этих условиях оказалась мука.
Назовем дефицитным тот ресурс, в котором достигается минимум
в функции (6.4).
Проверим выполнение всех предположений, введенных для всех
производственных функций.
Видно, что если какое-то , то
,
т. е. первое свойство выполняется.
Проверим выполнение второго предложения. Для этого найдем предельную эффективность j-го ресурса. Для этого нужно взять производную. Представим функцию (6.4) в виде
Тогда производная функции будет равна
т. е. предположение 2 (см. п. 5.15) выполняется.
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
97
Заметим, что предельная эффективность j-го ресурса не зависит от
количества используемых ресурсов, а зависит только от затрат на единицу продукции дефицитного ресурса.
Найдем среднюю эффективность j-го ресурса:
Заметим, что чем меньше
, тем больше средняя эффективности.
И наоборот, чем больше
, тем меньше средняя эффективности.
Эластичность выпуска по j-му ресурсу равна
То есть для дефицитного ресурса предельная и средняя эффективность оказались равны, в противном же случае эластичность выпуска
по i-му продукту и предельная эффективность равны нулю. Таким образом, увеличение недефицитного ресурса на выпуске продукта не сказывается.
Проверим выполнение третьего предположения:
,
а также четвертого:
.
То есть эластичность выпуска равна . Как видим, свойство
выполняется для данной функции.
Модуль 2. Модели математической экономики
98
Как видно, четвертое свойство выполняется, при этом отдача постоянная.
Итак, все четыре рассматриваемых предположения выполнены для
функции с постоянными пропорциями.
Рассмотрим вопрос о замещении ресурсов.
Изокванта функции с постоянными пропорциями определяется соотношением
.
Рассмотрим график этой функции при двух ресурсах:
.
Найдем зависимость . Если
, или
, то
Если же
, то значение безразлично, но
. Следователь-
но, график изоквант изображен на рис. 6.2.
Рис. 6.2
Предельные нормы замещения можно вычислить только между дефицитным и недефицитным ресурсами. Предельные нормы между недефицитными ресурсами вычислить невозможно, так как получаем неопределенность вида [0/0]. Пусть k – номер дефицитного ресурса. Тогда
,
,
что говорит о том, что заменить дефицитный ресурс недефицитным невозможно, причем дефицитный ресурс не зависим от других.
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
99
Также, в отличие от ранее рассмотренных функций, норма замещения не зависит от пропорционального роста объема ресурсов, но полагают, что она равна нулю (как предел соответствующей характеристики
функции (6.1) при ).
Отметим, наконец, самое важное свойство этой функции. Пусть дефицитного ресурса с номером k хватает на производство количества t
единиц продукта, т. е.
.
Из его дефицитности следует, что для остальных ресурсов j ≠ k выполняется свойство:
.
Но несмотря на излишки недефицитных ресурсов, рационально
можно использовать из них лишь то количество, которое необходимо
для производства t единиц продукта, т. е. для всех ресурсов оптимально
соотношение
Следовательно, на изокванте точка излома соответствует рациональному использованию ресурсов.
В отношении нашего примера, так как дефицитного ресурса – муки –
хватает лишь на приготовление 2 кг печенья, то и остальных ресурсов
нужно взять пропорционально этому количеству, т. е. рационально
взять г масла, г муки, шт. яиц, г
сахара, несмотря на то, что этих ресурсов имеется больше, чем указанные величины.
Для функции выпуска с постоянными пропорциями можно составить функции затрат (конечно, для рационального использования ресур-
сов). Так как y = bt, а
, то
.
Линейные функции
Рассмотрим еще некоторые производственные функции выпуска,
исследовать которые предлагается читателю [7]. При рассмотрении
функции с постоянной эластичностью замещения
Модуль 2. Модели математической экономики
100
мы заметили, что при изменении от 0 до +∞ эластичность замещения
меняется от 0 до 1. Но что изменится, если рассматривать все положительные значения эластичностей замещения? Например, в случае если
эластичность замещения больше единицы, что соответствует измене-
нию от ‒1 до 0.
При получим функцию с бесконечной эластичностью заме-
щения:
(6.5)
При получаем функцию
.
(6.6)
6.2. Функции затрат
Формула
Рассмотрим функцию выпуска f с одним видом продукта y и одним
видом ресурса x [7]:
.
Будем считать, что она непрерывно дифференцируема и удовлетворяет следующим свойствам:
f (0) = 0, f (x) > 0 при x > 0.
В этом случае для функции существует непрерывно дифференцируемая обратная функция
x = h (y),
которая представляет собой функцию затрат.
Свойства затрат
Перейдем к рассмотрению свойств этой функции.
Из f (0) = 0 следует, что h (0) = 0, что соответствует тому, что отсутствие производства не требует затрат.
Из f (x) следует, что
,
(6.7)
что соответствует тому, что чем больше нужно выпустить продукта, тем
больше придется затратить ресурсов.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]