Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
161
,
.
Имеем
,
.
(11.5)
Откуда
.
(11.6)
Подставим полученное в (11.5):
.
Отсюда
,
или
.
Подставим полученное в (11.6), получим
.
(11.7)
Это – точка экстремума. Для определения вида точки экстремума
нужно выписать матрицу вторых производных функции L и убедиться,
что она положительно определена (предоставим читателю в этом убедиться).
Следовательно, полученная точка – точка минимума задачи (11.1)–
(11.3).
Соответствующий ей выпуск продукции:
.
(11.8)
В итоге минимальные затраты ресурсов Центра
.
Посмотрим, как полученное оптимальное распределение ресурсов
отвечает интересам Исполнителя.
Модуль 3. Модели экономических механизмов
162
11.4. Решение Агента
В предыдущей главе мы сформулировали задачу Агента:
,
где
– цена единицы ресурса для i-го Исполнителя.
Решим задачу Агента для производственной функции
.
Итак, решим задачу
,
.
Это – самая легкая задача оптимизации – оптимизация функции одной переменной. Найдем критические точки, для чего производную функции приравняем нулю:
,
откуда
.
Используя условие второго порядка, убеждаемся, что это – точка
максимума. Видно, что она удовлетворяет соотношению .
Заметим, что оптимальное для Исполнителя количество ресурсов,
получаемое от Центра и используемое на производство, зависит от цены
ресурса. Естественно, чем ниже цена, тем больше ресурсов готов купить
Исполнитель, и наоборот.
11.5. Произвольные цены
Итак, оптимальное для Центра количество ресурсов, которое нужно
выделить Исполнителю, равно
.
Оптимальное же для Исполнителя количество ресурсов, которое он
готов купить по цене ci за единицу ресурса, равно
.
Возможны три ситуации [7]:
1. .
В этом случае, по мнению Исполнителя, Центр выделил ему мало
ресурсов. Ресурсы стоят дешево, и Исполнитель был готов купить большее количество ресурсов. Тем не менее все полученные от Центра ре-
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
163
сурсы Исполнитель направляет на производство. Ресурсы расходуются
эффективно. Но Исполнитель получает меньший доход, чем он мог бы
получить, если бы ему позволили купить большее количество ресурсов.
Эта ситуация выгодна Центру, но не выгодна Исполнителю.
2. .
В этом случае, по мнению Исполнителя, ресурсы стоят дорого, и он
не готов купить все ресурсы, предлагаемые ему Центром. Поэтому образуется избыток ресурсов, которые не используются для производства
продукции. Исполнитель получает максимальный возможный доход, но
ресурсы расходуются неэффективно. Центр не получает доход Y, следовательно, нарушается условие (11.1). Эта ситуация выгодна Исполнителю, но не выгодна Центру, так как неиспользуемые данным Исполнителем ресурсы могли быть переданы другим Исполнителям.
3. .
Самая выгодная ситуация и для Центра, и для Исполнителя следующая. Ресурсы стоят столько, что Исполнитель готов купить такое их количество, какое готов предоставить ему Центр. Причем ресурсы расходуются эффективно, все они идут на производство продукции.
11.6. Совпадение интересов Агента и Центра
Понятно, что сама по себе эта ситуация скорее всего не произойдет.
Но Центр может целенаправленно создать такую ситуацию. То есть
Центр может и должен назначить Исполнителю такую цену на ресурсы,
при которой происходит совпадение интересов всех участников системы [7]. Чтобы найти эту равновесную цену, нужно решить уравнение
, т. е.
,
или
.
(11.9)
Это и есть равновесная цена, при которой Исполнитель согласен купить такое количество ресурсов, которое нужно Центру. В данном случае
механизм назначения цены на ресурсы является экономическим механизмом, который побуждает Исполнителя поступить так, как нужно Центру.
Модуль 3. Модели экономических механизмов
164
Центру при этом удается сохранить свой выигрыш:
.
Выигрыш же Исполнителя:
.
Откуда видно, что при оптимальном назначении цен половина дохода Исполнителя тратится на покупку ресурсов.
11.7. Пример
На основе уже рассмотренной модели опишем следующую [7]. Интересы Исполнителей все также состоят в максимизации материального
поощрения, которое на этот раз будет зависеть не только от прибыли
Исполнителя, но и от дополнительных вознаграждений и штрафов,
определяемых Центром и описываемых функцией :
при ограничении
.
Фактически функция описывает систему экономического
стимулирования. Значения этой функции зависят от результатов деятельности Исполнителя. Задача состоит в выборе Центром наилучшего
экономического стимулирования , отвечающего его интересам.
То есть в условиях полной информации, когда Центру известны значе-
ния
всех Исполнителей, Центру нужно подобрать такую функцию
стимулирования, при которой Исполнителю выгодно получить ресурсы
в количестве x* и выпустить продукцию в количестве y*, вычисленные
по формулам (11.7)–(11.8).
Вот одна из допустимых функций, удовлетворяющих этому условию:
Здесь – положительное число.
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
165
При данной функции стимулирования у Исполнителя отнимается
вся прибыль. В случае, если Исполнитель выбирает
и
,
он получает максимальное поощрение в размере , в противном
случае . То есть Исполнитель вынужден принимать решения, в ко-
торых заинтересован Центр. Если Центр к тому же старается сэкономить на затратах на стимулирование, то ему нужно подбирать величину
, равную порогу чувствительности Исполнителя (т. е. будь она меньше,
Исполнитель ее не «почувствует»).
Недостатки данной системы стимулирования:
1. Она требует неукоснительного соблюдения требований Центра.
2. Она не стимулирует дополнительную деятельность Исполнителя
по повышению эффективности производства.
3. Центру необходимо знать, какие действия предприняли Испол-
нители, чтобы в соответствии с этими действиями поощрить или наказать их.
Эти недостатки можно преодолеть, например, следующим обра-
зом. Будем считать, что функции являются не произвольны-
ми, а принадлежащими некоторому классу, допустим, Центр может только назначать цену на ресурсы. Тогда решением поставленной задачи
в данном случае станет назначение цены (11.9) за единицу ресурса.
Заметим, что тем самым удалось преодолеть все три недостатка. Что
касается последнего недостатка, в этом случае Центр назначает цены
заранее и ему уже не нужно знать о конкретных действиях и результатах Исполнителя, так как Исполнителю в таких условиях самому выгодно выбрать решение, нужное Центру. И следовательно, такой механизм можно применять в системах, где нет прямого административного
контроля Центра.
Конечно, это достаточно простой пример, и результаты его рассмотрения не всегда можно перенести на случай более сложных систем.
11.8. Три ситуации
В зависимости от типа стимулирующих функций и уровня информированности Центра, могут сложиться различные ситуации. Но детальный анализ всех возможных случаев показал, что возможны всего
три из них.
Модуль 3. Модели экономических механизмов
166
Разберем эти ситуации в упрощенной постановке, когда Центр взаимодействует с единственным Исполнителем [7].
Примем следующие обозначения. Пусть действия Центра описываются переменными u, значения которых берутся из множества U. Действия же Исполнителя описываются переменными v, значения которых
берутся из множества V. Интересы Центра описываются функцией F (u, v),
которую нужно максимизировать, интересы же Исполнителя описываются функцией f (u, v). Заметим, что и интересы Центра, и интересы Исполнителя зависят от действий друг друга. Так как рассматривается случай полной информации, то будем считать, что Центру известно множество V и функция f (u, v).
Предположим, что Центр произвольным образом, не учитывая интересов Исполнителя, выбрал значение u. Тогда он может гарантировать
себе выигрыш со значением
Но тогда Центру разумно вы-
брать решение u, которое обеспечивает максимальное значение гарантированного результата, т. е.
.
В этом случае Центр предполагает, что Исполнитель выбирает свое
действие случайно. Возможно, Исполнитель не максимизирует свою целевую функцию, либо максимизирует ее, но Центр не знает ее вид. Другими словами, Центр рассматривает исполнителя как природный фактор.
При наличии у Центра информации о целевой функции Исполнителя
разумно использовать эти интересы для достижения лучшего результа-
та, чем получено в
.
Пусть, например, известно, что интересы Исполнителя состоят в том,
что при известном действии Центра его решение v принадлежит
множеству . Тогда Центру разумно принимать решение, кото-
рое обеспечит значение
.
(11.10)
Очевидно, что
. То есть знание целевой функции Исполнителя
уменьшает неопределенность и позволяет увеличить выигрыш Центра.
Рассмотрим частный случай, когда Исполнитель максимизирует свою
целевую функцию f (u, v) и множество V (u) состоит из точек множества V,
в которых при заданном u достигается значение
.
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
167
Заметим, что в предыдущем примере экономного распределения ресурсов такое множество состояло из единственного элемента x*(c). Но
бывают ситуации, когда максимум функции f (u, v) достигается при нескольких действиях Исполнителя при фиксированном действии Центра
u, т. е. множество может состоять более чем из одного элемента.
Тогда при «дружелюбном» отношении Исполнителя к Центру послед-
ний может рассчитывать на то действие Исполнителя из , которое
принесет большее значение выигрыша Центра, т. е.
.
При «недружелюбном» отношении Исполнителя к Центру последний может рассчитывать только на гарантированный выигрыш, определяемый формулой (11.10).
Допустим, что множество V (u) состоит из единственного элемента.
Рассмотрим три следующих типа отношений между Центром и Исполнителем.
Ситуация 1 (называемая игрой Г1). В этом случае Центр назначает
свое управление заранее, до получения информации о действиях Исполнителя. В частности, в предыдущем примере заранее распределялись ресурсы и заранее назначались цены за единицу ресурса. Если
при каждом решении Центра u существует единственное решение
задачи
в виде функции v*(u), то для выбора своего реше-
ния Центр должен решить задачу
.
Ситуация 2 (игра Г2). Центр получает информацию о поведении
производственной единицы и только после этого определяет свое
управление u(v). В этом случае Центр может заранее сообщить Исполнителю план своих дальнейших действий, т. е. задать функцию u(v).
Иначе говоря, Центр сообщает Исполнителям: «Я поступлю так-то и такто, если вы поступите так-то и так-то», «Я вам дам такое-то количество
ресурсов, если вы из него выпустите столько продукции», «Я назначу такую-то цену, если вы купите столько ресурсов». В этом случае Исполнитель уже решает задачу
.
(11.11)
Модуль 3. Модели экономических механизмов
168
Пусть при каждой функции U(v) со значениями в U, существует
единственное решение задачи (11.11) v** (u(∙)), где u(∙) – функция, сообщаемая Центром, для выбора которой он решает следующую задачу:
.
Ситуация 3 (игра Г3). Здесь Центр требует от Исполнителя предо-
ставить ему информацию о законах принятия решения v(u). То есть Исполнитель должен сообщить Центру информацию в виде: «Я поступлю
так-то, если вы поступите так-то», «Я выпущу столько продукции, если
вы мне дадите столько ресурсов», «Я куплю столько-то ресурсов, если
вы назначите за них такую-то цену». При этом Центр заранее сообщает
Исполнителю, как он будет реагировать на различные функции v(u), т. е.
уведомляет Исполнителя о зависимости , где , напри-
мер сообщает о том, какое количество ресурсов он ему выделит в зависимости от эффективности использования ресурса Исполнителем. Ис-
полнитель в этой ситуации ищет такую функцию со значе-
ниями в v, на которой достигается
при заданной функции . Пусть при каждой функции существует единственное решение этой задачи v***(. При выборе функции
Центр решает задачу
.
Несмотря на то что можно построить и более сложные конструкции, было показано, что все они сводятся к ситуациям 1, 2 или 3.
Наиболее выгодной для Центра является ситуация 2, далее – ситуация
3 и затем – ситуация 1. Задачи поиска наилучших механизмов стимулирования сводятся к некоторым задачам математического программирования.
11.9. Неполная информация
Итак, в случае постановки задачи с полной информированностью
Центра предполагается [7], что:
1) Центр обладает полной информацией о производственных воз-
можностях Исполнителей и его интересах;
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
169
2) Исполнители стараются максимизировать свои целевые функции,
отражающие их интересы;
3) Центр выбирает такую систему стимулирования, которая заинте-
ресовывает производственные единицы в выполнении плана, наиболее
рационального с точки зрения Центра.
Но Центр практически никогда не имеет (да и не может иметь) всей
информации о возможностях производства, которая имеется у Исполнителя. Все это приводит к стремлению анализировать проблему построения экономических механизмов в условиях неполной информированности Центра.
Постановка задач с неполной информацией
Рассмотрим задачу экономного распределения ресурсов в случае,
если Центр не обладает полной информацией о производственных возможностях Исполнителя [7]. Будем предполагать, что Центр знает вид
производственных возможностей Исполнителя:
.
Но ему неизвестно точное значение параметра
. Единственное, что
ему известно, – эти параметры удовлетворяют условию
.
(11.12)
Причем и
заранее известны Центру. Центр может использовать
уже найденную нами процедуру использования ресурсов
,
используя вместо параметров некоторые точечные их оценки .
В принципе, оценка может не совпадать с истинным значением
, но
тем не менее она также удовлетворяет условию . Например,
Центр может ориентироваться на «пессимистичные» оценки
,
«оптимистичные» оценки
или какие-то промежуточные оценки, допустим,
.
Модуль 3. Модели экономических механизмов
170
С учетом этого, решение задачи оптимального распределения ресур-
сов при оценках (i = 1, 2, …, n) имеет вид
.
(11.13)
При несовпадении оценок с истинными значениями
эти найденные
величины распределения ресурсов не совпадают с
в общем случае.
Принцип гарантированного результата
Для выбора оценок применим принцип гарантированного резуль-
тата. Условие
должно быть выполнено. Для гарантии его
выполнения переопределим целевую функцию Центра на случай нарушения этого условия:
,
где М – большое положительное число. По смыслу величина M имеет значение штрафа, причем настолько большого, что все остальные выигрыши
становятся неважными на его фоне, например это крах системы, экологическая катастрофа, уголовное наказание, увольнение с должности и т. д.
То есть условие (11.1) выполнить нужно в любом случае. Принцип гарантированного результата состоит в данном случае в выборе такого рас-
пределения ресурсов , при котором достигается
.
Исполнитель расходует ресурсы эффективно, следовательно, он вы-
пускает продукт в количестве
. Значит, гарантированный вы-
пуск продукции i-м Исполнителем равен
. Поэтому гаранти-
рованный выпуск продукции всеми Исполнителями равен
.
Центру необходимо выполнить условие
. При этом зна-
чение критерия его целевой функции будет равно
. Так как
этот критерий нужно минимизировать, то достаточно выполнить упомянутое условие в виде равенства, т. е.
.
Таким образом, задача поиска наилучшего гарантированного ре-
зультата свелась к нахождению распределения ресурсов
(i = 1, …, n),
при котором достигается
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]