Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
101
Функцию h(y) называют предельными затратами ресурса. Как видно, предельные затраты обратно пропорциональны предельной эффективности ресурса.
Если для функции f выполняется условие f (x) < 0, то функция f (x)
убывает, следовательно, функция h(y) возрастает, что следует из (6.7).
Таким образом, для функции (6.7) выполняется условие h(y) > 0.
Средние удельные затраты – отношение затрат к выпуску:
.
Отношение предельных затрат к средним удовлетворяет соотношению
,
где – эластичность выпуска по ресурсу. Обычно предельные затра-
ты больше средних.
Для степенной функции выпуска
функция затрат имеет вид
,
предельные затраты
,
средние затраты
,
вторая производная:
.
Функции затрат с несколькими видами ресурсов
Функции затрат с несколькими видами ресурсов и одним продуктом
выглядят следующим образом [7]:
, i = 1, 2, …, n.
Потребление каждого ресурса задается однозначной функцией количества выпускаемой продукции. Замещение ресурсов здесь невозможно. Нехватка хотя бы одного ресурса не позволит полностью использовать остальные ресурсы.
Модуль 2. Модели математической экономики
102
Относительно функций затрат формулируются следующие предположения. Во-первых, предполагается, что функция затрат дважды непрерывно дифференцируема. Далее, предполагается, что
i = 1, 2, …, n,
(6.8)
т. е. отсутствие производства не требует затрат ресурсов,
i = 1, 2, …, n,
(6.9)
больший выпуск продукции требует больших затрат.
Иногда предполагается, что
i = 1, 2, …, n,
(6.10)
т. е. предельные затраты с ростом производства растут. Предполагается,
что в этом случае темпы технического производства недостаточны. Но
может наблюдаться и обратный эффект:
i =1, 2, …, n.
Предельные затраты с ростом производства падают. Это может
иметь место при концентрации производства. В этом случае предельные
затраты оказываются не больше средних, причем средние затраты тоже
убывают с ростом производства.
Виды функций
1. Линейная однородная функция
Наиболее простая функция затрат – линейная однородная [7], которая имеет вид
i = 1, 2, …, n,
где
– неотрицательные параметры. Похожая функция затрат была вы-
ведена из функции выпуска с постоянными пропорциями.
Предположения (6.8) и (6.9) выполняются, предельные и средние за-
траты равны
.
2. Линейная неоднородная функция
Близкая к линейной однородной функции затрат – линейная неоднородная [7], которая имеет вид
i = 1, 2, …, n,
где
– неотрицательные параметры.
В этом случае предположение (6.8) не выполняется, т. е. затраты сохраняются даже при отсутствии производства. Например, иногда до
начала производства нужно сделать капиталовложения – купить или
арендовать здание, закупить оборудование и т. д.
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
103
Пункт (6.9) по-прежнему выполняется, т. е. предельные затраты равны
.
Средние же затраты равны
,
поэтому средние затраты превышают предельные и стремятся к ним при
стремлении выпуска к бесконечности.
3. Степенная функция
Еще одним примером функции затрат является степенная функция [7]
где ,
– неотрицательные параметры. Для этой функции выполняют-
ся предположения (6.8) и (6.9), т. е.
,
.
При этом
,
что при дает убывающие предельные затраты , а при
выполнении , т. е. предельные затраты возрастают.
При этом средние затраты
т. е. в случае предельные затраты меньше средних, а в случае
предельные затраты больше средних.
6.3. Построение производственных функций
Выделяют два основных направления построения производственных функций F (x, y, a) = 0 [7]. Первое направление состоит в анализе
структуры производственной единицы, в построении ее математической модели, которая и служит основой для построения производственной функции. Модели такого типа называют структурными. Второе
направление состоит в анализе реакции производственной единицы на
внешние воздействия, в частности, на изменение структуры и количества произведенных ресурсов. Модели этого типа называют функциональными.
Модуль 2. Модели математической экономики
104
На основе структурных моделей
Для построения производственной функции данной элементарной
экономической единицы последнюю разбивают на более мелкие элементарные производственные единицы, которые связаны между собой балансовыми соотношениями [7]. Для каждой из более мелких элементарных производственных единиц строят свою производственную функцию,
из которой затем формируется производственная функция для всей элементарной единицы. В свою очередь, каждая из более мелких элементарных единиц может быть разбита на еще более мелкие единицы, и так
далее, пока не останутся те мельчайшие элементарные единицы, для
которых вид производственной функции уже легко определяется из
простейших производственных актов, о которых можно судить по конструкторско-технологическим параметрам оборудования. Конечно, в основном таким способом можно построить только функции затрат.
Недостатки этого метода: он рассчитан на то, что описываемое производство идеально. Во-первых, оно эффективно. То есть выпуск строго
максимален из всех имеющихся возможностей: простои недопустимы,
ресурсов всегда хватает, ресурсов расходуется строго по норме, следовательно, ресурсы всегда одного качества, время обработки изделия
строго совпадает с рациональным. Но для этого все рабочие должны
иметь одинаковую достаточно высокую квалификацию, т. е. адаптация
должно быть проблем с поставками ресурсов, с браком как ресурса, так
и продукта. Для всего этого нужно обеспечивать условия, при которых
само предприятие, его работники и поставщики будут заинтересованы
в производстве, приближенном к идеальному теоретическому. Из-за
этих причин чаще применяется второе направление.
На основе функциональных моделей. Проблемы и недостатки
Построение функциональных моделей основывается на применении
метода «черного ящика», суть которого в том, чтобы определить, как
связаны воздействия на объект с реакцией объекта на них [7].
При построении производственных функций «черным ящиком» является производственная система, внешние воздействия (вход) представляют собой количества используемых ресурсов, а реакцию объекта (выход) – количество продукции.
Глава 7. Модели систем массового обслуживания
105
Параметры функции определяются при помощи аппроксимации результатов наблюдений за моделируемым объектом, например, методом
наименьших квадратов.
Недостатком этого направления является ориентирование на прошлое, так как параметры объекта определяются на основе опыта, который произошел в прошлом. Если данные взяты из периода, когда производство шло рационально, то на выходе мы получим производственную функцию, которая описывает рациональное производство. Если
же в период получения данных производство велось неэффективно, то
и полученная производственная функция будет описывать неэффективное производство.
Задания
1. Рассмотреть свойства функции (6.1) в общем виде.
2. Проверить, можно ли все характеристики степенной функции по-
лучить путем перехода к пределу при в характеристиках функции
с постоянной эластичностью замещения.
3. Исследовать функцию (6.3).
4. Проверить, получаются ли характеристики функции (6.4) из ха-
рактеристик функции (6.1) путем перехода к пределу .
5. Исследовать (6.5): проверить, выполняются ли все предположе-
ния, и найти все характеристики
6. Исследовать (6.6): проверить, выполняются ли все предположе-
ния, и найти все характеристики.
Глава 7. Модели систем массового обслуживания
7.1. Постановка задачи о бензоколонке
В качестве модели массового обслуживания рассмотрим автозаправочную станцию с одной бензоколонкой [5]. Все подобные станции отличаются между собой только мощностью заправки. Автомобили прибывают на АЗС случайным образом и, если бензоколонка уже занята,
становятся в очередь. Следующая заправка далеко, в связи с чем очередь может быть достаточно длинной.
Модуль 2. Модели математической экономики
106
7.2. Обозначения и предположения
Будем предполагать, что вероятность того, что автомобиль прибудет на заправку в малый интервал времени [t, t + τ], пропорциональна
его длине с положительным коэффициентом пропорциональности λ,
которая интерпретируется как среднее количество автомобилей, при-
бывающих на АЗС в единицу времени. Следовательно,
– интервал
времени между прибытиями двух автомобилей. Вероятность того, что
на АЗС за время [t, t + τ] не прибудет ни одного автомобиля, равна
. Вероятность того, что на АЗС за время [t, t + τ] прибудет два
и более автомобиля одновременно, пренебрежительно мала по сравне-
нию с величиной .
7.3. Выбор закона распределения
Промежутки времени между двумя последовательными прибытиями
автомобилей удовлетворяют экспоненциальному распределению с плотностью вероятности
.
Вероятность того, что за любой период времени T прибудет n автомобилей, определяется распределением Пуассона и равна
Время обслуживания одного автомобиля тоже является случайным,
зависящим от количества бензина, сноровки заправляющего и т. д. Будем считать, что вероятность того, что обслуживание автомобиля, находящегося на заправке в некоторый момент t, будет завершено в период
[t, t + τ], и приблизительно равна , где . Вероятность того, что
обслуживание не завершится в этот период времени, равна . Веро-
ятность того, что за указанный период будет обслужено два и более автомобиля, считается пренебрежительно малой величиной. Значит, время
обслуживания также принадлежит экспоненциальному закону распределения с плотностью вероятности
.
Величина имеет смысл среднего количества обслуженных автомобилей в единицу времени, а величина 1/ – среднего времени обслужи-
вания одного автомобиля.
Глава 7. Модели систем массового обслуживания
107
Среднее количество автомобилей , прибывающих в единицу времени, отличается от величины среднего количества автомобилей , обслуженных в единицу времени, тем, что величина не зависит от выбора АЗС, а величина зависит. По факту, это единственная величина
среди рассматриваемых, которой можно управлять.
7.4. Анализ работы АЗС
Рассмотрим такие показатели, как средняя длина очереди, среднее
время простоя автомобиля в очереди, среднее время нахождения автомобиля на АЗС, средняя доля времени простоя оборудования [5]. Есть
смысл рассматривать только те варианты, при которых среднее время
обслуживания автомобиля 1/ меньше среднего интервала между при-
бытиями двух автомобилей, так как в противном случае очередь будет
расти до бесконечности.
Обозначим через P(n) – вероятность того, что на АЗС находится
в данный момент времени n автомобилей. Последовательность {P(0),
P(1), P(2), …} называется распределением длины очереди. На основе ее
мы вычислим все интересующие нас характеристики.
Рассмотрим интервал времени малой длины τ. Если в начале интервала распределение длины очереди имело вид {P0(0), P0(1), P0(2), …}, то
в конце интервала распределение длины очереди {Pτ(0), Pτ(1), Pτ(2), …}
можно рассчитать следующим образом.
Вероятность того, что за указанный интервал времени прибудет еще
один автомобиль, равна λτ, а вероятность того, что будет закончено обслуживание автомобиля, равна μτ. Если в начальный момент времени не
было ни одного автомобиля и ни одного автомобиля не появилось, либо
если в системе был один автомобиль и его обслуживание завершилось,
то в конце интервала ни одного автомобиля в системе не будет (остальные случаи, ведущие к Pτ(0), маловероятны или ими можно пренебречь). Таким образом,
.
Рассмотрим все ситуации, ведущие к В конце интервала мо-
жет быть один автомобиль в случаях: a) если на начало интервала автомобилей на АЗС не было, а в течение интервала один автомобиль подъехал; б) если на начало интервала на АЗС был один автомобиль, и его
Модуль 2. Модели математической экономики
108
еще не успели обслужить; в) если на начало рассматриваемого промежутка времени на АЗС находилось два автомобиля, один из которых
уже обслужили, и он покинул АЗС, т. е.
.
Так как слагаемыми
можно пренебречь, получим:
,
.
Рассмотрим стационарный режим работы АЗС, при котором распределение очереди не изменяется со временем:
Используя этот факт, получим уравнения для интересующих нас вероятностей:
,
.
Или
,
(7.1)
.
(7.2)
Аналогично, при любом n = 1, 2, …,
.
Из (7.1) получим, что
,
Из (7.2) получим
.
И так далее, при любом n = 2, 3, …
.
Обозначая
, получим
.
(7.3)
Отсюда видно, что не зря мы рассматриваем только случай или
. То есть только этот случай дает в (7.3) конечную сумму. Применим
формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
,
в связи с чем
Глава 7. Модели систем массового обслуживания
109
,
,
,
…………………………
.
Таким образом, распределение длины очереди имеет вид
Величину называют нагруз-
кой системы.
7.5. Существенные характеристики
Теперь найдем интересующие нас существенные характеристики
системы [5].
Доля времени простоя равна ожидаемой вероятности того, что на
заправку не приедет ни одного автомобиля, т. е.
.
Из этого ясен смысл нагрузки – это доля времени, в течение кото-
рого система не простаивает.
Среднее число автомобилей – это математическое ожидание, которое рассчитывается по формуле
.
Представим это выражение в виде
.
Далее, заметим, что
, поэтому в данном случае
.
Следовательно,
.
Длина очереди равна нулю, если в системе нет ни одного автомобиля, и равна n – 1 при n автомобилях в системе, значит, средняя длина
очереди равна
.
Модуль 2. Модели математической экономики
110
Среднее время пребывания автомобиля на АЗС для вновь прибывшей машины равно времени обслуживания всех машин, имеющихся на
заправке, плюс время обслуживания этой машины:
.
Среднее время пребывания автомобиля в очереди:
.
7.6. Таблица
Оценим различные варианты работы АЗС. Пусть средний интервал
между прибытием автомобилей равен 4 минутам, а варианты АЗС
имеют следующие средние времена обслуживания автомобилей (в минутах):
.
Результаты исследования различных вариантов АЗС по модели представлены в следующей таблице:
№
п/п
1/μ,
мин
ρ
E1
E2
E3
E4,
мин
E5,
мин
1 5 1,25 – – – – – 2
3,5
0,875
0,125
7
6,13
27,8
24,3 3 2
0,5
0,5 1 0,5 4 2 4 1
0,25
0,75
0,33
0,083
1,333
0,333 5 0,5
0,125
0,875
0,143
0,018
0,567
0,067
7.7. Анализ и выводы
Оценим предложенные варианты. Первый вариант не годится, так
как очередь в этом случае разрастается до бесконечности.
Второй вариант характеризуется хорошей загруженностью системы
ρ = 0,875. То есть доля простоя всего 0,125. Но при его применении возникает большая очередь в 6 автомобилей, в связи с чем автомобилисты
теряют около 28 минут времени.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]