Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
131
Основное соотношение межотраслевого баланса (9.1) позволяет
построить многоотраслевую модель национальной экономики. Для
этого функционирование каждой отрасли нужно описать производственной функцией, которая здесь берется в форме функции затрат,
т. е. зависимости производственных затрат от количества выпускаемой продукции.
9.6. Коэффициенты прямых затрат
Для j-й отрасли функция затрат имеет вид
,
(9.2)
где
– постоянные параметры, называемые коэффициентами прямых
затрат. Они показывают, какое количество продукции i-й отрасли необходимо истратить на текущее производственное потребление в j-й отрасли при выпуске последней единицы продукции.
9.7. Получение валовых выпусков
Подставляя (9.2) в (9.1), получим
.
Это соотношение удобнее записать в матричной форме
,
(9.3)
где , ,
– матрица прямых
затрат.
Преобразуем (9.3):
,
или
.
(9.4)
Таким образом, зная коэффициенты прямых затрат
, можно по
желаемому конечному продукту определить требуемые валовые выпуски отраслей. В этом состоит основная идея использования межотраслевых моделей для планирования производства.
Для использования отношения (9.4) необходимо убедиться, что фи-
гурирующая там обратная матрица существует и что ее умножение на
вектор конечного продукта не приводит к отрицательным валовым выпускам отраслей.
Модуль 2. Модели математической экономики
132
9.8. Получение некоторых свойств матрицы прямых затрат
Установим некоторые свойства коэффициентов прямых затрат
.
1. Поскольку и , то в силу определения функции затрат,
.
2. По определению условно-чистой продукции
,
откуда в силу предыдущего свойства
,
или
.
Свойства 1 и 2 позволяют доказать существование обратной матри-
цы
.
Обозначим
.
Тогда для каждого столбца матрицы , элементы которой
обозначим
, имеем
.
А так как из свойства 1 следует
, то
(i, j = 1, …, n).
Аналогичным образом показывается, что для любой матрицы
ее
элементы
удовлетворяет условию
. Поэтому
и бесконечный ряд сходится, т. е. существует
матрица B такая, что
.
(9.5)
Сходящиеся ряды из матриц можно складывать и умножать на мат-
рицу. Умножим обе части (9.5) слева на (E – A), получим
.
Таким образом,
, т. е.
. Значит, обратная
матрица
существует и представима в виде (9.5).
Из (9.5) следует, что все элементы B неотрицательны и для неотрицательного вектора конечного продукта y существует неотрицательный
вектор валовых выпусков x, удовлетворяющий (9.3). В этом случае матрицу A называют продуктивной.
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
133
Матрица
называется матрицей полных затрат, а ее
коэффициенты – коэффициентами полных затрат. Коэффициент
показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для обеспечения единицы выпуска продукции j-й отрасли.
9.9. Выбор планового задания
Для использования межотраслевого баланса для выбора планового
задания на конкретный год модель (9.3) необходимо дополнить соотношениями, описывающими ограниченность производственных ресурсов
в этом году. Для этого можно применить так называемую производственную функцию с постоянными пропорциями
,
где – количество основных фондов в i-й отрасли;
– коэффициент
фондоемкости в i-й отрасли; – число работающих в i-й отрасли;
–
коэффициент трудоемкости для i-й отрасли.
9.10. Ограничение по основным фондам
Ограничение по основным фондам часто записывают в виде
,
где
– мощность i-й отрасли, т. е. максимальное количество
продукции, которое отрасль может выпустить при имеющемся в наличии количестве основных фондов и постоянной фондоотдаче.
9.11. Ограничение по трудовым ресурсам
Если передача мощностей из отрасли в отрасль практически не происходит, то переход рабочих с предприятий одной отрасли на предприятия другой – обычное явление. Поэтому ограничения по трудовым ресурсам формулируются для всех отраслей сразу:
,
где L – общее число рабочих. Следовательно,
.
Модуль 2. Модели математической экономики
134
То есть ограничение по трудовым ресурсам будет выглядеть следующим образом:
.
9.12. Целевая функция
Обозначая ,
и учитывая
неотрицательность конечного продукта, получаем статическую многоотраслевую модель в форме
, , .
(9.6)
Если добавить к модели (9.6) условия максимизации целевой функции
,
где – вектор оценок конечного продукта, то получим
задачу линейного программирования, которая может быть решена для
большого числа отраслей.
9.13. Примеры
Пример 1. Выяснить, является ли продуктивной матрица
.
Данная матрица не является продуктивной, так как сумма элементов
в третьем столбце не меньше единицы.
Пример 2. Имеются данные о работе системы двух отраслей в про-
шлом периоде и план выпуска конечной продукции в будущем перио-
де (усл. ден. ед.):
Отрасль
Потребление
Чистая
продукция
План y
Промышленность
Сельское
хозяйство
Промышленность
80
120
350
350
Сельское
хозяйство
70
30
150
300
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
135
1. Найти матрицы прямых и полных затрат, а также выпуск валовой
продукции в плановом периоде, обеспечивающей выпуск конечной
продукции Y.
Для начала составим матрицу межотраслевого баланса в текущем
периоде, заполнив ее имеющимися данными.
Отрасль
Потребление
Конечный
продукт
Валовый
продукт
Промышленность
Сельское
хозяйство
Промышленность
80
120
Сельское
хозяйство
70
30
Условно-чистая
продукция
350
150
Валовый продукт
Найдем валовый продукт по формуле
:
,
.
Впишем в таблицу полученные сведения:
Отрасль
Потребление
Конечный
продукт
Валовый
продукт
Промышлен-
ность
Сельское
хозяйство
Промышленность
80
120
500
Сельское
хозяйство
70
30
300
Условно-чистая
продукция
350
150
Валовый продукт
500
300
Модуль 2. Модели математической экономики
136
Получим элементы матрица прямых затрат по формуле
:
,
,
,
.
То есть матрица прямых затрат имеет вид
.
Убеждаемся, что она продуктивная.
Теперь найдем матрицу полных затрат Заметим, что
.
Воспользуемся методом алгебраических дополнений:
.
Следовательно, с точностью до двух знаков после запятой, матрица
полных затрат:
.
Определим выпуск валовой продукции, обеспечивающий выпуск
конечной продукции y:
.
2. Найти оптимальный конечный и валовый продукт, соответствую-
щий максимизации взвешенного конечного продукта с весами (0,5; 0,5)
(одинаковая важность для государства промышленного и сельскохозяйственного производства), если численность трудового населения страны –
8 000 000 человек, промышленных основных фондов – 100 000 условных единиц, сельскохозяйственных основных фондов – 120 000 условных единиц, количество трудового населения, требуемое для выпуска
единицы промышленной продукции – 10 000 человек, а для выпуска
сельскохозяйственной продукции – 16 000 человек. Количество промышленных основных фондов, требуемых для производства единицы соответствующей продукции, – 200 условных единиц, а количество сельскохозяйственных основных фондов, требуемых для производства единицы
соответствующей продукции, – 300 условных единиц.
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
137
Выпишем целевую функцию:
.
Подставим вместо yi их зависимость от вектора выпуска валовой
продукции, которую сформируем из соотношения , т. е.
.
Откуда
,
.
Следовательно,
или
.
Сформулируем ограничения на основные фонды:
,
,
и на трудовое население
.
Итак, сформулирована задача линейного программирования с двумя
переменными, где целевая функция
и ограничения
,
,
,
,
,
,
.
Наиболее распространенные методы решения задач линейного программирования – симплекс-метод и графический. Воспользуемся графическим методом решения. Для этого начертим систему ограничений
(рис. 9.1).
Модуль 2. Модели математической экономики
138
Рис. 9.1
На рисунке заштрихована область допустимых решений. Выясним, какая из точек заштрихованной области даст оптимальное решение задачи
линейного программирования. Для этого начертим вектор-градиент целевой функции (0,35; 0,25). Без потери точности можно вместо этого вектора
начертить коллинеарный сонаправленный ему вектор другой длины, допустим (700; 500), после чего начертим проходящие через область допустимых решений перпендикулярные ему линии уровня (штриховка, рис. 9.2).
Последняя линия уровня по направлению вектора-градиента, пересекающая область допустимых решений, проходит через точку D, которая и будет оптимальным выпуском валовой продукции. Ее значения:
,
.
Рис. 9.2
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
139
Соответствующий ему выпуск конечного продукта –
,
.
И оптимальное значение выбранного критерия
.
Пример 3. Дана матрица прямых затрат для народного хозяйства,
состоящего из трех отраслей: 1 – тяжелая промышленность; 2 – легкая
промышленность; 3 – сельское хозяйство:
.
1. Выяснить, является ли матрица прямых затрат продуктивной.
Найти матрицу полных затрат. Найти выпуск валовой продукции, обеспечивающий выпуск конечной продукции y = (1000; 500; 400).
Так как в каждом столбце матрицы А сумма элементов меньше единицы, матрица А является продуктивной.
Теперь найдем матрицу полных затрат Заметим, что
.
Воспользуемся методом алгебраических дополнений:
.
Первые алгебраические дополнения:
,
.
Остальные считаем по аналогии и, с точностью до двух знаков после
запятой, получаем матрицу полных затрат (предварительно транспонируя элементы присоединенной матрицы):
.
Модуль 2. Модели математической экономики
140
Определим выпуск валовой продукции, обеспечивающий выпуск конечной продукции y:
.
2. Найти оптимальный конечный и валовый продукт, соответствующий максимизации взвешенного конечного продукта с весами (0,3; 0,2; 0,5),
если численность трудового населения страны – 10 000 000 человек,
тяжелопромышленных основных фондов – 300 000, легкопромышленных
основных фондов – 50 000, сельскохозяйственных основных фондов –
300 000, количество трудового населения, требуемое для выпуска единицы тяжелопромышленной продукции, – 15 000, для легкопромышленной
продукции – 10 000, а для выпуска сельскохозяйственной продукции –
20 000. Количество тяжелопромышленных основных фондов, требуемых
для производства единицы соответствующей продукции, – 150 усл. ед.,
количество легкопромышленных основных фондов, требуемых для производства единицы соответствующей продукции, – 50 усл. ед., а количество сельскохозяйственных основных фондов, требуемых для производства соответствующей продукции, – 200 усл. ед.
Выпишем целевую функцию:
.
Подставим вместо yi их зависимость от вектора выпуска валовой
продукции, которую сформируем из соотношения , т. е.
,
откуда
,
,
.
Следовательно,
или
.
Сформулируем ограничения на основные фонды:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]