Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 10. Примеры экономических механизмов Н. Н. Моисеева и В. И. Опойцева
151
Игра и ее отличие от оптимизации
Таким образом, углубленный анализ ситуации побуждает перейти от
оптимизационной постановки к теоретико-игровой, учитывающей интересы не только Центра, но и всех остальных элементов системы.
Построим бескоалиционную игру (n + 1)-го лица в нормальной форме [5]:
(10.9)
Здесь – множестово игроков (Центр
и Исполнители
);
, {, i = 1, …, n – множества стратегий Центра;
, i = 1, …, n – множество стратегий Исполнителей;
, i = 0, …, n – критерии (целевые функции игроков).
Целевые функции в игре (10.9) определяются формулами (10.1),
(10.8) и формализуют интересы игроков: Центр стремится максимизи-
ровать суммарный выпуск продукции, а каждый Исполнитель – свою
прибыль. Возможности игроков по достижению своих целей характеризуются множествами их стратегий, т. е. действий, числовые параметры
которых определяют значения целевой функции (критерия оптимальности). В нашем примере множество действий Центра включает величины
выделяемых ресурсов и цены на ресурсы
, а множество стратегий
каждого Исполнителя – возможные значения реальных параметров
,
сообщаемые Исполнителем Центру.
Принципиальное отличие теоретико-игровой постановки задачи от оптимизационной состоит в том, что в ней отсутствует единый критерий оптимальности [5]. Действительно, в задаче (10.1)–(10.3) с этой точки зрения
все ясно: рассматривается один действующий субъект (Центр), который
стремится максимизировать функцию
при заданных ограничениях.
В игре (10.9) действующих субъектов несколько (Центр и n исполни-
телей), и каждый стремится максимизировать свою целевую функцию
.
Ясно, что ситуация, допускающая одновременную максимизацию нескольких целевых функций, является исключением. Поэтому возникает
вопрос: что считать решением игры (проблема принципа оптимальности)?
Одним из наиболее широко применяемых принципов оптимальности
в бескоалиционных играх является равновесие по Нэшу. Поэтому задачу Центра в игре (10.9) можно сформулировать так: найти равновесие
по Нэшу, при котором максимизируется значение функции
.
Модуль 3. Модели экономических механизмов
152
10.2. Пример Н. Н. Моисеева
Для рассмотрения следующего примера вернемся к системе, показанной на рис. 10.1, но интерпретируем ее элементы и связи между ними по-другому.
Другая интерпретация схемы
Пусть Центр – орган территориального управления (скажем, администрация области), который заботится о развитии экономического потенциала территории и условиях ее экологического равновесия. В роли
Исполнителей теперь выступают предприятия, расположенные на территории области. Они производят некоторую полезную продукцию и при
этом загрязняют природную среду. Центр может налагать на предприятия штрафы за превышение норм загрязнения [5; 6].
Гипотезы и обозначения
Для построения модели примем следующие гипотезы и обозначения.
Величину производственных фондов i-го предприятия обозначим за
Фi, а ее динамику опишем уравнением
,
(10.10)
где – инвестиции в развитие i-го предприятия;
– коэффициент вы-
бытия производственных фондов.
Выпуск продукции i-м предприятием опишем с помощью производственной функции, которую в иллюстративных целях можно считать
линейной:
,
где
– параметр, характеризующий эффективность использования i-м
предприятием своих производственных мощностей.
Выброс загрязнений i-м предприятием описывается функцией
,
где – объем выпускаемой продукции,
– величина средств, ассигну-
емых на борьбу с загрязнением.
Примем следующую гипотезу о виде функции
:
,
где li, a
i
– параметры, характеризующие выброс загрязнений
i-м пред-
приятием.
Глава 10. Примеры экономических механизмов Н. Н. Моисеева и В. И. Опойцева
153
Величину штрафа за загрязнение определим формулой
,
(10.11)
где c – «цена» единицы загрязнения (управляющее воздействие Центра
на предприятия).
Материальный баланс i-го предприятия можно записать в виде
,
(10.12)
предполагая тем самым, что производственная продукция (в денежном
выражении) расходуется на развитие производства, предотвращение загрязнения и уплату штрафов.
Целевая функция предприятия
Рассмотрение предыдущего примера демонстрирует необходимость
учета интересов предприятий. Допустим, что каждое предприятие стремится минимизировать свои затраты
(10.13)
при условии (10.12). Необходимое условие минимума имеет вид:
,
откуда
.
(10.14)
Легко проверить, что значение
действительно является точкой миниму-
ма функции (10.13), после чего с учетом (10.14) найти оптимальные значения
,
(10.15)
.
(10.16)
Целевая функция Центра
Теперь формализуем интересы Центра. Начнем с требований экологического равновесия. Пусть распространение загрязнений в окружающей среде описывается формулой
,
где x(t) – количество загрязнений в окружающей среде в момент t;
W – функция очистки окружающей среды от загрязнения, зависящая
от суммы собранных Центром штрафов.
Модуль 3. Модели экономических механизмов
154
Считая функцию очистки линейной с коэффициентом μ, получаем
с учетом (10.11)
.
Тогда «экологические» интересы Центра можно описать условием
(загрязнение должно уменьшаться) или, если это затруднительно, то
(10.17)
(минимальный рост загрязнения).
Однако Центр должен заботиться не только об охране окружающей
среды, но и о росте экономического потенциала территории, что естественно формализовать в виде условий:
или более слабого
.
(10.18)
Информационный регламент игры
Теперь обратим внимание на следующую тонкость. Центру известно, что каждое предприятие стремится максимизировать функцию (10.13). Чтобы решить оптимизационную задачу и найти значение (10.14), предприятие должно знать величину c – управляющий параметр Центра.
Поэтому естественно считать, что Центр заранее сообщает предприятиям значение c (так и происходит). Но тогда Центр, считая предприятия «экономически разумными», может быть уверен в том, что они выберут в качестве Vi значение (10.14).
Два критерия Центра
Тогда значения критериев охраны окружающей среды
и роста
экономического потенциала
согласно (10.16) и (10.18) с учетом
(10.10), (10.12), (10.15)–(10.16) принимают вид
Глава 10. Примеры экономических механизмов Н. Н. Моисеева и В. И. Опойцева
155
,
где
;
,
где
.
Таким образом, для Центра возникает двухкритериальная задача оптимизации
,
(10.19)
.
(10.20)
Многокритериальная задача
Вспомним задачу многокритериальной оптимизации. Обычная задача оптимизации имеет вид
,
(10.21)
(10.22)
и имеет строгий и вполне однозначный математический смысл: надо
найти точку максимума функции f на заданном множестве X, т. е. та-
кую точку x*, для которой f (x*) ≥ f (x), . Другое дело, что дале-
ко не для всяких f и X поставленную задачу можно решить аналитически, но это уже вопрос технический. А вот как быть, если критериев
оптимальности несколько, как в задаче (10.10)–(10.20)? Или, в общем
виде,
,
(10.23)
.
(10.24)
Сравним многокритериальную задачу (10.23)–(10.24) с бескоалиционной игрой (10.9). В отличие от игры, где каждый критерий Ji ассоциируется с отдельным действующим субъектом-игроком, здесь действующий субъект один, как и в обычной задаче (10.21)–(10.22), но зато кри-
Модуль 3. Модели экономических механизмов
156
териев fi у него много. Субъект многокритериальной задачи как бы «гонится за многими зайцами».
Что же считать решением задачи (10.23)–(10.24)? Как мы уже отметили при анализе теоретико-игровой постановки, ситуация, при которой
одна и та же точка x* доставляет максимум сразу всем целевым функциям fi, является редким исключением. Поэтому строгого определения
решения многокритериальной задачи не существует.
Однако имеются различные подходы к ее решению, в той или иной
степени пригодные для практики.
Переход к взвешенному критерию
Например, можно попытаться приписать критериям веса a1, a2, …, am,
удовлетворяющие условиям , a
1
+ a2 +…+ am = 1, т. е. опреде-
лить относительную значимость критериев fi. Если удается это сделать,
то вместо многокритериальной задачи (10.23)–(10.24) можно рассматривать обычную оптимизационную задачу
,
т. е. искать максимум взвешенной суммы исходных целевых функций
(так называемой линейной свертки).
Переход к главному критерию и побочному
Другой возможный подход заключается в том, чтобы один из критериев (скажем, первый) считать главным и его максимизировать, а для
остальных назначить пороговые значения, ниже которых величина критерия не должна опускаться. Это вновь сводит многокритериальную задачу к обычной задаче оптимизации
,
(10.25)
.
(10.26)
Множество Парето
Еще одним очень важным понятием, связанным с многокритериальностью, является оптимальность по Парето. Вернемся к задаче (10.19)–
(10.20). Найдем корни уравнений
и
: это точки
и
соответственно. Пусть
, тогда графики функций
Глава 10. Примеры экономических механизмов Н. Н. Моисеева и В. И. Опойцева
157
и
взаимно расположены так, как показано на рис. 10.3.
В этом случае для любой точки из интервала (с1, с2) имеем
,
, т. е. удовлетворяются оба условия. Иначе говоря, Цен-
тру удается выбором управляющего параметра обеспечить
и рост экономического потенциала, и выполнение экологических требований.
Рис. 10.3
Для выбора конкретной точки из интервала (с1, с2) удобно построить
множество Парето в пространстве критериев. Для этого выразим
че-
рез
. Для этого из
выразим
:
,
и подставим в
:
.
Теперь, задавая значения c, c из интервала (с
1
, с2), легко видеть, за
счет какой уступки
можно получить выигрыш
, и т. д.
Если же имеет место соотношение
, то удовлетворить обоим
критериям Центра не удается (это наиболее вероятная на практике ситуация), и приходится отдавать приоритет какому-то одному из критериев.
Модуль 3. Модели экономических механизмов
158
Выход
Один из возможных подходов здесь следующий. Заметим, что вели-
чина
не зависит от объемов фондов, в то время как величина
зависит от основных фондов. По-
этому если первоначально
(промышленный потенциал низок), то
следует прежде всего увеличивать фонды, не заботясь об окружающей
среде (так поступают прежде всего развивающиеся страны). Начиная же
с момента
, нужно штрафовать за загрязнение, причем величина
штрафа должна расти по мере увеличения экономического потенциала.
Переход к иерархической игре
Таким образом, модель регионального управления также можно представить в виде игры в нормальной форме
.
Здесь – множество игроков; c – множество стратегий
Центра B
0
, состоящее из единственного параметра c;
– множество
стратегий i-го предприятия;
– критерии Центра;
– критерий i-го
предприятия, i = 1, …, n.
Эта игра является иерархической: Центр первым делает ход, выбирая и сообщая предприятиям значение «цены штрафа» c. Как видно из
рассмотрения, право первого хода дает Центру преимущество, так как
в предположении об экономической разумности предприятий он может
предвидеть их реакцию Vi*(c) и выбрать управление c наиболее выгодным для себя образом.
Задания
1. Решить задачу Подчиненного при
.
2. Провести исследование функций
и
и построить их графики.
3. Провести исследование модели из примера Моисеева при
.
4. Провести исследование модели из примера Моисеева при
.
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
159
Глава 11. Классический подход.
Случай неполной информации
11.1. Определение экономического механизма
Под экономическим механизмом [5] понимают совокупность:
– процедур формирования воздействий (планов, цен, нормативов
и т. д.) со стороны управляющих организаций на отдельные экономические единицы;
– процедур доведения этих воздействий до экономических единиц;
– процедур формирования исходной информации для выбора таких
воздействий;
– систем финансового управления и экономического стимулирования;
– организационных ограничений на деятельность экономических единиц;
– методов оперативного управления и т. д.
Экономический механизм предназначен для того, чтобы направлять
деятельность отдельных лиц и организаций на достижение общенародных целей, преодолевая тем самым стихийность, вызванную как случайностями в течении природных процессов, так и наличием собственных интересов у производственных и других экономических единиц [5].
11.2. Необходимые действия для моделирования экономического
механизма
При построении математической модели экономического механизма
прежде всего необходимо математически описать систему организационных, правовых, экономических и финансовых процедур и правил, использующихся в экономической практике, а также не использовавшихся
до настоящего времени, но представляющих интерес для исследования.
Далее, надо уметь математически описать реакцию отдельных людей
и целых коллективов на различные аспекты экономического механизма.
11.3. Экономия ресурсов
На основе схемы, приведенной в предыдущей главе, составим задачу
экономии ресурсов, двойственную к задаче распределения ресурсов для
максимизации конечного продукта [7].
Модуль 3. Модели экономических механизмов
160
Центр располагает некоторым ресурсом в количестве R и распределяет его между Исполнителями, каждому из которых достается xi
единиц ресурса (i = 1, …, n, где n – число Исполнителей). Получив
свою долю ресурса xi, i-й Исполнитель производит продукцию в ко-
личестве , где
– уже известная нам производственная функ-
ция, связывающая величины затрачиваемых ресурсов и выпускаемой
продукции. Отметим, что конечный продукт производится Исполнителем в количестве, удовлетворяющем множеству производственных
возможностей
.
Центр же будет распределять ресурсы, исходя из того, что Исполни-
тели расходуют ресурсы эффективно, т. е. .
Также, как и в предыдущем параграфе, в качестве производственной
функции возьмем
,
где – параметр, характеризующий производственные возможно-
сти i-го предприятия.
Пусть требование выполнения плана по производству суммарного
количества продукта имеет вид
,
(11.1)
где Y – задано.
Требование экономии ресурсов приводит к следующей формулировке целевой функции Центра:
(11.2)
при очевидных ограничениях
.
(11.3)
Задача (11.1)–(11.3) представляет собой нелинейную задачу условной
оптимизации и может быть решена методом множителей Лагранжа.
Построим функцию Лагранжа:
(11.4)
Выпишем необходимые условия экстремума (11.4):
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]