Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 8. Агрегированная модель экономики Рамсея – Солоу
121
8.8. Точка максимума
Используя соотношение (8.21), сформулируем и решим оптимизационную задачу для модели (8.18)–(8.20). Запишем целевую функцию
в виде
при условии
,
т. е. будем максимизировать удельное потребление в равновесном режиме.
Выпишем необходимое условие максимума
,
откуда s* = 0,5.
Находя значения c(0) = c(1) = 0, c(s*) = 0,25/ , убеждаемся,
что максимальное удельное потребление c* = 0,25/
достигается
при выборе управления s* = 0,5, т. е. конечный продукт следует делить
поровну между потреблением и капиталовложениями.
8.9. Аналитическое исследование модели
Найдем решение уравнения:
.
(8.22)
Это – уравнение с разделяющимися переменными:
.
Проинтегрируем обе части:
.
Найдем интеграл
методом замены переменных z,
:
.
Модуль 2. Модели математической экономики
122
Вспоминая про замену, получим
.
Следовательно, решение уравнения (8.22):
.
Выразив k, получим
.
Подставив начальное условие k(0) = k0, получим
.
Значит, решение задачи Коши:
.
8.10. Точка равновесия
Заметим, что при переходе к пределу при , при полу-
чим точку равновесия
. В случае же при k,
интерпретация которого следующая: при сокращении населения фондовооруженность неограниченно растет.
8.11. Построение графика
Рассмотрим три случая: a) (когда население сокращается
быстрее, чем выбывают ресурсы); б) ,
(население
растет или очень медленно сокращается, при этом начальная фондово-
оруженность больше равновесной); в) ,
(население
растет или очень медленно сокращается, при этом начальная фондовооруженность меньше равновесной).
Начнем со случая, возможного теоретически, но не встречавшегося
пока на практике: . В этом случае график изображен на рис. 8.3.
Можно заметить, что он достаточно простой в силу положительности
первой и второй производной и отсутствия асимптот.
Глава 8. Агрегированная модель экономики Рамсея – Солоу
123
Рис. 8.3
Из графика видно, что фондовооруженность со временем неограни-
ченно возрастает.
Теперь рассмотрим случай , в котором имеется горизон-
тальная асимптота
Если
, то кроме наличия
асимптоты получаем, что функция убывает (к асимптоте) и вогнута.
В этом случае фондовооруженность постепенно приходит к равновесной (рис. 8.4).
Рис. 8.4
Если же
, то анализ первых двух производных показыва-
ет, что график возрастает от точки k0 до асимптоты, но и здесь есть два
подслучая.
Модуль 2. Модели математической экономики
124
Подслучай 1. Если при этом
, то функция вогнута при
t > 0 (рис. 8.5).
Рис. 8.5
В этом случае начальная фондовооруженность достаточно большая,
хоть еще и не достигает равновесной. В этом случае происходит постепенное приближение фондовооруженности к равновесной.
Подслучай 2. Если при этом
, то функция сначала вы-
пукла, затем при переходе через точку перегиба становится вогнутой,
что соответствует случаю, когда начальная фондовооруженность слишком маленькая (рис. 8.6).
Сначала идет рост фондовооруженности, который замедляется при
приближении ее к равновесной.
Глава 8. Агрегированная модель экономики Рамсея – Солоу
125
8.12. Обзор дальнейших результатов
Мы рассмотрели самую простую модель народного хозяйства – мо-
дель Солоу. Рассмотрим пути дальнейшего усложнения модели.
В рассмотренной модели удельное потребление считается как доля
от производства, при котором удельное потребление растет с ростом
производства. Такое удельное потребление называют гибким. Усложнением модели является задание жесткого удельного потребления c в абсолютной величине [6–7]. При этом модель имеет вид:
,
(8.23)
.
Результаты исследования модели следующие. Есть критическая величина жесткого удельного потребления, случайное превышение которой
на малейшее значение приводит к выбытию основных фондов и производства. То есть в этом случае есть неустойчивое равновесие в системе.
Напомним, что похожий результат был получен в модели динамики численности популяции с учетом эксплуатации (глава 4), когда сравнивались
два режима отлова: отлов постоянной численности и отлов постоянной доли.
Иногда жесткое потребление задается в виде функции от времени
c(t), которая обладает некоторыми свойствами, например неубывания.
Следующим усложнением модели является переход к двухсекторной
экономике [6]. Считается, что в одном секторе производятся средства
производства, а в другом – предметы потребления.
Введем следующие обозначения:
Ki – основные производственные фонды i-го сектора;
Li – трудовое население, занятое в i-м секторе;
L – общая численность трудового населения, т. е. L = L1 + L2;
μi, ri – соответствующие коэффициенты выбытия и фондоотдачи;
Yi – конечный продукт i-го сектора;
Ii – капиталовложения в i-й сектор;
s – доля капиталовложений в первый сектор.
Для основных фондов характерны следующие соотношения:
с начальными условиями
,
.
Модуль 2. Модели математической экономики
126
Далее, производство в каждом секторе описывается все теми же производственными функциями:
.
Так как вся продукция первого сектора идет на развитие производства, то
.
И наконец, закон описания естественной динамики населения
,
.
Результаты исследования модели позволили сформулировать «золотое правило накопления» [7]: доля инвестиций в первый сектор равна коэффициенту эластичности по основным фондам производственной функции первого сектора, а доля трудовых ресурсов второго сектора равна их
коэффициенту эластичности производственной функции второго сектора. В качестве вспомогательных результатов получено, что с течением
времени темпы прироста второго сектора неограниченно близко приближаются к темпам прироста первого. Поэтому развитие первого подразделения имеет определяющее значение для всей экономики. Для слабой
экономики увеличение производства предметов потребления возможно
только после прохождения некоторого спада их производства.
Еще одним усложнением модели является учет технического прогресса. В экономико-математических моделях под техническим прогрессом
понимают совокупность всех явлений, которые приводят к увеличению
количества продукции без увеличения объемов используемых ресурсов.
Выделяется четыре основных направления описания технического
прогресса в моделях народного хозяйства.
Во-первых, это подход на основе так называемого «автономного»
технического прогресса, который не зависит ни от объема основных
средств, ни от динамики рабочей силы, т. е. привносится извне:
где A(t), B(t) – заданные функции времени, причем A(t) характеризует
повышение эффективности использования основных фондов, а B(t) –
повышение эффективности использования трудовых ресурсов. Недостатком этого подхода является независимость от объемов основных
фондов функции A(t). Этот недостаток преодолевается при применении
подхода следующего направления.
Во-вторых, это подход на основе «овеществления» технического про-
гресса. Здесь предполагается, что прогресс вносится вместе с новым, бо-
Глава 8. Агрегированная модель экономики Рамсея – Солоу
127
лее совершенным оборудованием и новой, более квалифицированной рабочей силой, причем улучшение оборудования и повышение квалификации опять же задаются извне как функции времени. Наиболее популярна
модель технического прогресса, «овеществленного» в основных фондах.
Предполагается, что более эффективными с течением времени становятся не все фонды, а только вводящиеся в данный момент времени:
,
где – постоянная, K – количество основных фондов, введенных в году v.
Недостатком этого подхода является то, что не ясна причина прогресса.
В-третьих, подход на основе «индуцированного» технического прогресса, в котором прогресс связывается с предыдущим развитием экономики и как бы является следствием этого развития. В одной из этих моделей предполагается, что технический прогресс зависит от того, сколько
капиталовложений (а следовательно, и открытий с достижениями, способствующих развитию технического прогресса) было сделано в стране
за всю ее историю. Обозначим эту величину к моменту времени v за G(v).
Тогда
.
Против рассматриваемого подхода есть одно возражение: если прогресс зависит только от капиталовложений, то зачем нужны затраты на развитие науки.
В-четвертых, подход на основе выделения отрасли в экономической си-
стеме: продуктом этой области является технический прогресс. В этом случае
,
где , V – затраты на развитие науки. Но методы построения
функции исследованы слабо.
Задания
1. Исследовать модель (8.18)–(8.20) в случае, если функция линей-
на. Найти траекторию развития фондовооруженности, начертить график,
найти точки равновесия, исследовать их на устойчивость и найти ту равновесную долю инвестиций, при которой удельное потребление максимально.
2. Исследовать модель (8.18)–(8.20) в случае, если функция –
степенная с показателем, меньшим единицы. Найти траекторию развития фондовооруженности, начертить график, найти точки равновесия,
исследовать их на устойчивость и найти ту равновесную долю инвестиций, при которой удельное потребление максимально.
Модуль 2. Модели математической экономики
128
3. Провести исследование модели (8.23) в случае, если функция
линейна. Найти траекторию системы, построить ее график и найти
точки равновесия, исследовать их на устойчивость.
4. Провести исследование модели (8.23) в случае, если функция
– степенная с показателем, меньшим единицы. Найти траекторию
системы, построить ее график и найти точки равновесия, исследовать их
на устойчивость.
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
9.1. Описание матрицы межотраслевого баланса
В главе 8 описана модель народного хозяйства, которая является односекторной. В этой главе мы разберем взаимодействие нескольких отраслей хозяйства [5–7]. Для этого воспользуемся следующей матрицей:
Отрасли
1 2 … N Итоги
Конечная
продук-
ция
Валовая
продук-
ция
1
…
2
…
…
…
…
…
N
Итого
…
Условно
чистая
продукция
…
–
–
Всего
…
–
–
Пусть национальная экономика состоит из n отраслей. Каждой отрасли экономики в таблице соответствует одна строка и один столбец.
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
129
9.2. Первый раздел
Первые n строк и n столбцов образуют первый раздел матрицы
межотраслевого баланса. На пересечении i-й строки и j-го столбца
находится величина
, показывающая текущие производственные за-
траты продукции i-й отрасли в j-ю отрасль за год. Пусть, например,
вторая отрасль баланса – электроэнергетика, а восьмая – угольная про-
мышленность. Тогда
– годовые затраты электроэнергии на добычу
угля, а
– затраты угля на производство электроэнергии в стоимост-
ном отношении. Таким образом, величины
описывают межотрасле-
вые взаимосвязи.
Стоящие в i-й строке величины , , …,
описывают распреде-
ление продукции i-й отрасли на текущее производственное потребление
других отраслей. В частности,
– затраты на внутреннее потребление
отрасли. Их сумма
показывает общее производственное по-
требление продукции i-й отрасли.
Соответственно, элементы j-го столбца , , …,
описывают
потребление j-й отраслью продукции всех прочих отраслей (в частно-
сти,
– внутриотраслевое потребление), а их сумма
– общее
потребление j-й отраслью продукции национальной экономики.
Наконец, на пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца стоит величина
, равная сумме текущих производственных затрат
всех отраслей (или, что то же самое, текущего производственного потребления продукции всех отраслей). Она называется промежуточным
продуктом экономики.
9.3. Второй раздел
Второй раздел межотраслевого баланса расположен правее первого
и посвящен конечному продукту экономики. Под конечным продуктом
экономики понимают потребление, не связанное с текущим производством. Сюда включается потребление и возмещение выбытия основных
фондов, личное потребление населения, государственные расходы, затраты на обслуживание граждан, а также сальдо экспорта и импорта
продукции. В таблице конечный продукт i-й отрасли обозначен через yi.
Модуль 2. Модели математической экономики
130
Ко второму разделу баланса относится также столбец валовых выпусков отраслей:
.
(9.1)
Это соотношение описывает балансовое распределение валовой
(суммарной) продукции в i-й отрасли между производственным и непроизводственным потреблением.
В (n + 1)-й строке второго раздела находятся суммы
и
,
равные соответственно суммарному конечному продукту экономики
и суммарному валовому продукту.
9.4. Третий раздел
Третий раздел межотраслевого баланса расположен под первым
и отражает стоимостную структуру валового продукта отраслей. Он состоит из двух строк. В первой из них стоят величины vj – условно-чистая
продукция отраслей, определяемая формулой
.
По экономическому содержанию условно-чистая продукция делится
на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли (заработная плата, прибыль и т. д.). Важно отметить, что
.
Вторая строка третьего раздела содержит те же величины валовых
выпусков отраслей, которые рассматривались во втором разделе.
Четвертый раздел межотраслевого баланса характеризует перераспределительные экономические отношения, осуществляемые через финансово-кредитную систему, и здесь не рассматривается.
9.5. Значение и построение многоотраслевой модели
национальной экономики
Рассмотренная матрица межотраслевого баланса является спосо-
бом представления статистической информации об экономике страны.
Он строится на основе агрегирования итогов деятельности отдельных
предприятий и называется отчетным. Заметим, что аналогичная методика может применяться и на региональном уровне [5].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]