Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
171
Так как выражение в скобках не зависит от
, последнее выражение
сводится к
,
что повторяет задачу (11.1)–(11.3), с той лишь разницей, что коэффи-
циенты заменены их «пессимистичными» оценками
. Следова-
тельно, можно воспользоваться оптимальным распределением для задачи (11.1)–(11.3):
.
Суммарные затраты ресурсов при этом равны
.
Заметим, что в случае, когда
, максимальный гарантированный результат может отличаться от такого же результата в условиях
полной информированности Центра. В частности, если Центр ошибся
в своих оценках в два раза, т. е.
, то
.
То есть в этом случае Центр, ошибаясь в два раза, увеличивает рас-
ходы ресурсов в 4 раза, что не способствует экономии ресурсов. Видно,
что недостаточная информированность Центра приводит к значительному перерасходу ресурсов.
Использование информации, полученной от Исполнителей
Для того чтобы снизить неопределенность, Центр может запросить
у Исполнителя информацию о значении параметра . Если величины ,
сообщаемые Исполнителем Центру, совпадают с истинным их значени-
ем
, то Центр находит оптимальное распределение ресурсов (11.7), как
если бы он действовал в условиях полной информации.
Но не воспользуются ли Исполнители неполной информированностью Центра для достижения своих личных интересов? Если цена на ресурсы задана заранее, то Исполнителю выгодно получить от Центра ко-
личество ресурсов в размере
. В таком случае, Исполнителю
выгодно добиться того, чтобы количество ресурсов
, выделенных ему
Модуль 3. Модели экономических механизмов
172
Центром по формуле (11.13), совпало с
. Посмотрим, при каких зна-
чениях выполнится соотношение
, i = 1, …, n.
(11.14)
Решим каждое из этих уравнений
, i = 1, …, n.
(11.15)
Отсюда
.
Просуммировав это выражение по всем Исполнителям, получим
.
Откуда
.
С учетом этого, Исполнителю выгодно сообщить Центру следующее
значение параметра, характеризующего его производственную мощность:
.
(11.16)
Таким образом, существует единственное решение системы (11.14),
а тем самым единственный вариант действий Исполнителя, приводящий
к его максимальной прибыли. Но при осуществлении этого действия
могут возникнуть две проблемы.
Первая проблема связана с Центром [7]. Дело в том, что значения
,
вычисленные по формуле (11.16), могут не входить в интервал (11.12),
и тогда Центр может уличить Исполнителя в обмане.
Вторая проблема связана с другими Исполнителями. Как видим, ве-
личина искажения коэффициента
зависит не только от цены на ресурс
c, но и от суммарного требуемого объема выпуска Y и, что немаловаж-
но, от производственных мощностей всех остальных участников, а точнее сказать, от их суммарного эффекта
. Но дело в том, что
Центр, считая величину
по формуле (11.13), смотрит на сообщенные
значения
всех Исполнителей, а не только конкретного Исполнителя.
Значит, Исполнителю выгодно, чтобы другие Исполнители искажали
свои производственные мощности по этому же правилу. Но как можно
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
173
быть уверенным в том, что другие Исполнители согласованно выберут
значения
?
Но здесь можно отметить следующий интересный факт: как только
вектор
найден и известен всем Исполнителям, каждому
Исполнителю в отдельности невыгодно отступать от него, т. е. данный
вектор является равновесием по Нэшу.
Докажем это. Пусть i-й Исполнитель знает о том, что все оставшиеся
участники собираются осуществить действие
, . Тогда найдем
действие данного Исполнителя , при котором значение его целевой
функции максимально.
Выпишем условие первого порядка, заметив при этом, что величина
является функцией от :
.
То есть либо
, либо
.
Заметим, что
.
Следовательно,
при
, что маловероятно. Значит,
максимум целевой функции может достигаться только при
.
Это возможно, если
решение которого и есть
.Таким образом, если все Исполнители, кро-
ме i-го, выбрали действие , , то и
-му Исполнителю выгод-
но выбрать
.
В этом случае суммарное потребление
.
Суммарный же выпуск продукции
в общем слу-
чае может не совпадать с планом Центра Y. Здесь может быть как недовыполнение, так и перевыполнение плана. Исполнители, конечно,
найдут «объективные» причины, которые привели к отклонению коэффициентов эффективности от обещанных значений; аналогичные дово-
Модуль 3. Модели экономических механизмов
174
ды будет приводить и Центр, отчитываясь перед вышестоящей организацией. Действительная причина состоит в том, что задача Центра не
согласована с системой стимулирования, основывающейся на прибыли
Исполнителей при заранее заданных ценах c.
Принцип открытого управления
Согласовать цели Центра и Исполнителей мы уже пробовали на основе изменения цен. В частности, мы выяснили, что при установке цены
(11.9) суммарный выпуск продукции станет равным Y. При этом затра-
ты ресурса будут равны оптимальным
.
То есть Центру целесообразно воспользоваться механизмом изменения цены (11.9), так как это может привести к преследуемым им целям:
обеспечению требуемого выпуска продукции и минимизации расходов
ресурсов.
Но чтобы использовать механизм (11.9), Центр должен знать значе-
ния коэффициентов
[7]. Но он знает только их возможно искаженные
значения , на основе которых он может назначить цены
.
Найдем равновесие по Нэшу. В этом случае выигрыш Исполнителя:
(11.17)
Необходимое условие равновесия по Нэшу:
, i = 1, 2, …, n.
Если количество Исполнителей очень большое, то слагаемое
, со-
ответствующее конкретному Исполнителю, незначительно влияет на
значение суммы
(а следовательно, и на цену товара). Поэтому
в данном случае необходимое условие можно выписать в виде
,
Глава 11. Классический подход. Случай неполной информации
175
откуда следует, что
, т. е. при слабом влиянии Исполнителя неза-
висимо от того, какое действие выберут другие Исполнители, ему выгодно сообщить истинное значение коэффициента своей производственной мощности. При этом значение его целевой функции будет
.
Все существенным образом меняется, если число исполнителей
мало или если в системе имеется достаточно сильный Исполнитель
с большой производственной мощностью. В этом случае имеется
большое влияние производственной мощности
на
, и произ-
водная в необходимом условии уже считается по правилу частного.
Предоставим поиск оптимальной стратегии Исполнителя в данном случае читателю.
Поиск экономических механизмов стимулирования, при которых
Агентам выгодно сообщать истинную информацию о своих возможностях, отвечает так называемому «принципу открытого управления»,
который развивается в рамках информационной теории иерархических
систем.
Применение информационной теории иерархических систем
Рассмотрим исходную задачу стимулирования Исполнителей [7]
с множеством производственных возможностей
и информированностью Центра
,
который должен выпустить продукцию в количестве Y с минимальными
затратами ресурсов. Информационная теория иерархических систем для
решения подобной задачи предлагает следующую игру Г2:
1. Центр сообщает Исполнителям функцию поощрения
(11.18)
Здесь прибыль полностью отбирается, а вместо нее Исполнитель по-
лучает поощрение , равное «порогу чувствительности» производствен-
Модуль 3. Модели экономических механизмов
176
ных единиц, в случае полного использования возможностей при эффек-
тивности .
2. Исполнитель сообщает оценку коэффициента
.
3. Центр распределяет ресурс согласно
.
4. Исполнитель выпускает продукцию в объеме
.
5. Центр поощряет Исполнителей в размере (11.18).
Отметим, что если Исполнитель уже получил ресурсы в объеме
,
то ему самому выгодно выпустить конечный продукт в объеме
. Поэтому выигрыш Исполнителя принимает вид
максимизация которого происходит при
.
Смысл данной системы стимулирования заключается в следующем: стимулируется принятие эффективного использования ресурсов,
в результате использования которых получается объем суммарного
выпуска продукции в количестве, не меньшем Y, причем поощрение
происходит после осуществления выпуска продукции. Недостатки
данной системы стимулирования: 1) она зависит от субъективной ин-
формации Центра ; 2) стимулирование зависит от неэкономических
причин.
Поэтому сейчас разрабатываются более сложные системы стимулирования, преодолевающие эти недостатки, останавливаться на которых
мы не будем.
Задания
1. Применить принцип гарантированного результата к модели Мои-
сеева, описанной в главе 10.
2. Провести анализ поведения Исполнителя в случае, если его коэф-
фициент производственной мощности оказывает существенное влияние
на суммарную производительность системы, т. е. в случаях, когда число
Исполнителей невелико или когда Исполнитель выделяется в лучшую
сторону по своей эффективности по сравнению с остальными Исполнителями (см. формулу (11.17)).
Глава 12. Имитационное моделирование и прикладной системный анализ
177
Глава 12. Имитационное моделирование
и прикладной системный анализ
12.1. Имитационная модель
Пусть имеется система и Агент, воздействующий на систему в своих
целях. Примерами рассматриваемых систем могут быть речная система,
предприятие, общество, состояние здоровья человека и т. д. Примерами
Агентов соответственно служат жители региона, на котором стоит река,
руководитель предприятия, президент страны, врач и т. д.
Имитационную модель в общем случае можно записать следующим
образом [5; 11]:
,
(12.1)
.
(12.2)
Здесь
– вектор состояния рассматриваемой
системы, т. е. набор значений характеризующих ее переменных в момент
времени t;
– вектор управляемых воздействий,
т. е. набор значений воздействующих на x(t) величин, задаваемых иссле-
дователем в момент t по своему усмотрению;
–
вектор неуправляемых воздействий, т. е. набор значений воздействую-
щих на x(t) факторов, не зависящих от воли исследователя;
– зависи-
мость изменения величины x за время [t, t + от значений x(t), u(t), ξ(t);
х
0
– известное начальное значение х; T – период прогноза; – шаг моде-
лирования. Для работы с имитационной моделью нужно задать сценарий,
т. е. набор значений величин u(t), ξ(t) при t = 0, При этом
значения u(t) выбираются произвольно, а v(t) некоторым образом оцениваются. Тогда, исходя из начального условия и используя уравнение,
можно вычислить значение x(t) в любой момент периода прогноза [0, T].
Соотношения (12.1)–(12.2) задают вычислительную схему, допускающую реализацию в виде программы для ЭВМ. Но для использования
имитационной модели в виде вычислительной схемы нужно правильно
организовать вычисления.
12.2. Суть метода
Имитационная модель позволяет ответить на вопрос: что будет с изучаемой системой, если внешние переменные в течение периода прогноза примут определенные значения, а именно: 1) если значения управля-
Модуль 3. Модели экономических механизмов
178
ющих переменных выбраны таким-то образом при ;
2) если неконтролируемые переменные принимают такие-то определен-
ные значения при . С технической точки зрения
эти пункты кажутся одинаковыми: взять и подставить в вычислительную схему значения этих переменных. Но с содержательной точки зрения эти пункты отличаются. Управляющие воздействия u(t) могут вы-
бираться лицом, принимающим решение (ЛПР), из заданного множества
U(t) произвольно, исходя из его целей. Выбором же неконтролируемых
переменных ξ(t) ЛПР распоряжаться не может; про них в общем случае
известно лишь то, что они принадлежат множеству Ω(t).
После того как значения u(t) и ξ(t) при опре-
делены каким-то образом, соотношения (12.1) задают алгоритм перехода рассматриваемой системы из начального состояния (12.2) в некоторое конечное состояние x(T). В имитационной модели необязательно
явно задавать функцию f: вместо этого можно просто указать правило
перехода от x(t) к x(t +).
Основной причиной, обусловливающей использование модели (12.1)–
(12.2) в «имитационном режиме», является сложность рассматриваемой
системы, ограничивающая возможности традиционных аналитических
методов исследования математических моделей. Имитационное моделирование не является заменой математическому моделированию, но
имитационное моделирование (а большей частью компьютерное, за
счет ЭВМ) развивает и усиливает математическое моделирование. Немаловажную роль в этом играет и человек-эксперт в диалоге ЭВМ.
12.3. Имитационное моделирование по Р. Шеннону
Приведем определение Р. Шеннона: «Имитационное моделирование
есть процесс конструирования модели реальной системы и постановки
экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы,
либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы. Таким образом, процесс имитационного моделирования мы понимаем как процесс, включающий
и конструирование модели, и аналитическое применение модели для
изучения некоторой проблемы» [12].
Глава 12. Имитационное моделирование и прикладной системный анализ
179
Это определение позволяет трактовать имитационное моделирование в широком смысле как процесс прикладного системного анализа,
т. е. комплексного использования математического моделирования,
компьютерной имитации и неформальных процедур для решения сложных практических задач управления динамическими системами.
12.4. Модель использования водохранилища
Постановка задачи
Предположим, что для различных хозяйственных нужд требуется
образовать запас пресной воды и управлять им так, чтобы в течение пяти лет наилучшим образом удовлетворить возникающие потребности
в пресной воде [5; 11]. Наиболее распространенный подход к решению
этой задачи – создание водохранилища. Для этого нужно знать, какой
запас воды имеется в водохранилище в данный момент и как он будет
изменяться на протяжении пяти лет под влиянием различных факторов.
Параметры
Введем для этого величину Xt – запас воды в водохранилище в момент времени t и ее изменение со временем. Факторы, влияющие на изменение Xt, можно разделить на две большие группы: природные и антропогенные (связанные с деятельностью человека) (рис. 12.1).
К природным факторам относятся:
‒ приток воды по реке, на которой расположено водохранилище (PRt);
‒ пополнение воды за счет боковой приточности PBt;
‒ выпадение осадков POt;
‒ испарение воды с поверхности водохранилища PUt;
‒ фильтрация воды в нижнем створе водохранилища PFt.
Заметим, что список факторов очень трудно (да и не нужно) сделать
исчерпывающим. В список следует включить лишь самые существенные факторы, без рассмотрения которых обойтись невозможно; менее
существенными факторами рекомендуется пренебрегать, иначе картина
станет необозримой.
К антропогенным факторам можно отнести:
‒ спуск воды через плотину PPt;
‒ расход воды на нужды потребителей (будем считать, что основных потребителей два – сельское хозяйство ZA
t
и коммунальное водоснабжение ZCt).
Модуль 3. Модели экономических механизмов
180
Концептуальная модель
Рис. 12.1
Основной вопрос: как находить значения указанных факторов в настоящем и особенно в будущем?
Формализация:
1. Природных параметров через временной ряд
Факторы PRt, POt, PBt доступны непосредственному наблюдению
и измерению. Гидрометеорологи собирают соответствующие данные
и систематизируют их в специальных справочных изданиях. Имеются таблицы, содержащие значения указанных факторов за длительные периоды времени в прошлом (временные ряды). Но как использовать эту информацию для прогноза будущих значений указанных
величин?
Предположим, что в каждый момент времени t = 1, …, 5 значения
этих величин равны среднему арифметическому значению этих величин
за предшествующие, скажем, 20 лет, например:
, t = 1, …, 5.
Можно считать эти величины детерминированными и однозначно
определить законы их изменения в будущем на основании имеющихся
временных рядов.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]