Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 7. Модели систем массового обслуживания
111
В третьем варианте оборудование половину времени простаивает, но
на заправке в среднем бывает только один автомобиль и временные затраты автомобилиста составляют всего 4 минуты при простое в очереди
2 минуты.
Остальные варианты приводят к значительному простою оборудования, но отсутствию очереди.
Анализ этих вариантов дает возможность владельцу АЗС оценить их
и выбрать с точки зрения его ценностей и приоритетов самый оптимальный вариант.
7.8. Обзор других моделей
В данном примере был рассмотрен самый простой случай: пуассоновский входной поток, экспоненциальное время обслуживания, одна
обслуживающая установка. В действительности и распределения бывают значительно сложнее, и АЗС включает в себя большее число бензоколонок. Рассмотрим понятие системы массового обслуживания в общем случае [5].
Основным признаком системы массового обслуживания является
наличие некоторой системы, предназначенной для осуществления действий, совершаемых согласно требованиям (или заявкам), которые поступают нерегулярным, случайным образом. Поскольку обслуживающая система обычно имеет некоторую пропускную способность, а заявки поступают нерегулярно, то время от времени создается очередь
заявок в ожидании обслуживания, иногда же оборудование простаивает
в ожидании заявок. Наиболее часто предполагается, что известен вероятностный закон, управляющий поступлением заявок.
Системы массового обслуживания встречаются везде, где может
возникнуть очередь. Поскольку очередь – явление нежелательное, то
для ее ликвидации естественно предложить увеличить мощность
(пропускную способность) обслуживающих устройств. Однако поскольку заявки поступают нерегулярно, то с увеличением мощности
оборудование все большую долю времени будет простаивать, что
также плохо.
Таким образом, с экономической точки зрения проблема массового
обслуживания сводится к нахождению компромисса между двумя про-
Модуль 2. Модели математической экономики
112
тиворечивыми требованиями: ликвидации очереди и полной загрузки
оборудования. Убытки от возникновения очереди связаны с потерей
времени и моральными издержками, которые могут привести к потере
клиентов в будущем. Простой оборудования означает непродуктивное
использование инвестиций, которые в другом месте могли бы приносить больший доход. Поэтому оптимальным является такой выбор характеристик блока обслуживания, который сводил бы к нулю оба вида
убытков. Как было видно из примера с бензоколонкой, этот идеал на
практике вряд ли достижим, и приходится минимизировать какой-то
один, главный в данный момент вид убытков при условии не слишком
больших потерь от убытков другого вида.
Итак, система массового обслуживания состоит из блока обслуживания, на который поступают заявки, потока заявок и очереди в ожидании обслуживания.
Блоки обслуживания различаются между собой по многим показателям. Во-первых, блок обслуживания может состоять из одного или нескольких «приборов», т. е. устройств или людей, обслуживающих заявки. Например, в супермаркете покупатели могут оплачивать товар в одной или нескольких кассах. В первом случае блок обслуживания называют
одноканальным, во втором – многоканальным. Заправка с единственной
бензоколонкой служит примером одноканального блока; другими примерами являются речной вокзал с одним причалом, аэродром с одной посадочной полосой, киоск с одним продавцом и т. п.
Многоканальные системы обслуживания встречаются еще чаще:
турникеты в метро, морской порт с большим числом причалов, парикмахерская с несколькими мастерами и т. п. В свою очередь, каждый
прибор (канал) может обслуживать одновременно одну или несколько
заявок. Например, лифт обслуживает сразу несколько человек, а кассир –
одного.
Во-вторых, системы массового обслуживания могут быть однофаз-
ными и многофазными. В первом случае заявка обслуживается только
одним прибором, после чего покидает систему, как в случае бензозаправки или покупки билета. Во втором случае заявка должна пройти некоторую последовательность приборов, например, клиент банка (операционист, затем кассир) или деталь на конвейере.
Глава 7. Модели систем массового обслуживания
113
В-третьих, каждый прибор обслуживает заявку в течение некоторого промежутка времени. Иногда продолжительность этого промежутка
является заданной, иногда считается случайной величиной с заданным
распределением. В некоторых моделях продолжительность обслуживания считается зависящей от длины очереди (например, кассир в магазине в случае роста очереди начинает работать быстрее), а в некоторых случаях учитывается возможность выхода обслуживающего прибора из строя.
Для описания входного потока заявок обычно задается вероятностный закон, которому удовлетворяют длительности интервалов
между двумя последовательно поступающими заявками. Эти длительности часто являются статистически независимыми, и их распределение не изменяется в течение достаточно продолжительного
интервала времени. Иногда встречаются системы, в которых заявки
могут поступать группами (например, появление посетителей в ресторане). Обычно предполагается, что источник поступления заявок
практически не ограничен (как в случае АЗС на оживленной магистрали); в некоторых случаях ограниченность этого источника приходится учитывать в явном виде (например, при обслуживании станков на предприятии). В ряде случаев при достаточно большом размере очереди заявке отказывается в обслуживании. Иногда заявка
вообще не ставится в очередь, если сразу не попадает на обслуживание (как в модели телефонной станции). Таким образом, поток за-
явок также может зависеть от состояния системы массового обслуживания.
Наконец, о дисциплине очереди. Эта характеристика описывает порядок обслуживания требований, поступающих на вход системы. Чаще
всего используется естественная дисциплина «первым пришел – первым
обслуживаешься». Возможны, однако, и другие дисциплины, например,
«последним пришел – первым обслуживаешься». Такая дисциплина может использоваться в случае «безразличных» объектов обслуживания –
вагонов, автомобилей без водителей, документов в пачке. Иногда используется случайный порядок обслуживания. Хорошо известны очереди с приоритетами (пенсионеры, инвалиды и т. д.). Наконец, бывают
очереди с ограниченным временем ожидания, в которых заявка, просто-
Модуль 2. Модели математической экономики
114
яв в очереди определенное заданное время и не дождавшись обслуживания, покидает систему (как при заказе междугороднего разговора по
стационарному телефону).
Задания
1. Оценить различные варианты работы АЗС при
мин.
2. Оценить различные варианты работы АЗС при
мин.
3. Оценить различные варианты работы АЗС при
мин.
4. Оценить различные варианты работы АЗС при
мин.
Глава 8. Агрегированная модель экономики
Рамсея – Солоу
8.1. Имитационные модели
В главе 7 мы рассмотрели простую систему массового обслуживания, характеристики которой можно было получить аналитически.
К сожалению, более сложные системы можно исследовать только имитационным образом.
Имитационную модель в общем случае можно записать в следующем виде [11]:
,
(8.1)
.
(8.2)
Здесь
– вектор состояния рассматриваемой
системы, т. е. набор значений характеризующих ее переменных в мо-
мент времени t;
– вектор управляемых воз-
действий, т. е. набор значений воздействующих на x(t) величин, зада-
ваемых исследователем в момент t по своему усмотрению;
– вектор неуправляемых воздействий, т. е. набор
значений воздействующих на x (t) факторов, не зависящих от воли ис-
следователя; – зависимость изменения величины x за время [t, t +
от значений x(t), u(t), v(t);
– известное начальное значение х; T – пе-
риод прогноза; – шаг моделирования.
Глава 8. Агрегированная модель экономики Рамсея – Солоу
115
Для работы с имитационной моделью нужно задать сценарий, т. е. набор
значений величин u(t), v(t) при t = 0, При этом значения
u(t) выбираются произвольно, а v(t) некоторым образом оцениваются.
Тогда, исходя из начального условия и используя уравнение, можно вычислить значение x(t) в любой момент периода прогноза [0, T].
То есть имитационная модель позволяет ответить на вопрос: что будет с изучаемой системой, если внешние переменные в течение периода
прогноза примут определенные значения.
Соотношения (8.1)‒(8.2) задают вычислительную схему, допускающую реализацию в виде программы для ЭВМ. Это особенно важно потому, что в практических задачах размерность векторов x, u, v велика
(порядка нескольких десятков или даже сотен), и проводить вычисления
вручную не представляется возможным.
8.2. Модель односекторной экономики концептуальная
Рассмотрим агрегированную модель национальной экономики [5‒7],
которая предназначена для изучения долгосрочных качественных тенденций экономического развития. При этом исследуются общие закономерности процесса расширенного воспроизводства, роста национального дохода, соотношения фонда потребления и накопления, фондовооруженности и производительности труда.
Для построения простой агрегированной модели примем следующие
гипотезы:
1. Продукция экономики состоит из единственного продукта (одно-
продуктовая модель).
2. Все предприятия составляют единственную единицу (односектор-
ная модель).
Концептуальная модель представляет собой ориентированный граф,
вершины которого соответствуют элементам системы, а дуги – связям
между ними. Знак дуги отражает положительное или отрицательное
влияние одного элемента на другой: если дуга имеет знак плюс,
то увеличение значения элемента
означает увеличение значения эле-
мента а если минус, то уменьшает.
Конечным продуктом называется совокупность материальных ценностей, произведенных в стране за год, за вычетом всех текущих материальных затрат.
Модуль 2. Модели математической экономики
116
Концептуальная модель рассматриваемой системы изображена на
рис. 8.1.
Рис. 8.1
8.3 Модель разностная прогностическая
Обозначим через Yt конечный продукт национальной экономики
в году t. В конце каждого года полученный конечный продукт распределяется между капиталовложениями It и потреблением Ct. Это распределение подчиняется закону сохранения, который можно выразить в виде
.
(8.3)
Для получения количественной оценки распределения введем величину s
t
, – долю капиталовложений в конечном продукте. Эта перемен-
ная является управляемой: ее значения могут выбираться руководством
страны на отрезке
.
(8.4)
Используя управляемую переменную st, можно с учетом (8.3) получить соотношения
,
(8.5)
.
(8.6)
Смысл этих соотношений в том, что в каждом году t доля st конечного продукта идет на капиталовложения, а остальная доля (1 ‒ st) – на
потребление.
Глава 8. Агрегированная модель экономики Рамсея – Солоу
117
Чтобы получить конечный продукт Y
t
, нужно затратить определен-
ное количество ресурсов.
В качестве ресурсов экономисты рассматривают основные фонды Kt
и трудовые ресурсы Lt. Зависимость производимой продукции от затрачиваемых ресурсов называется производственной функцией:
.
В качестве производственной функции, обладающей всеми требуемыми свойствами, можно взять функцию Кобба ‒ Дугласа
, (0 < α < 1),
(8.7)
где параметр A отражает влияние научно-технического прогресса. Теперь остается сформулировать гипотезы изменения величин ресурсов во
времени. Естественно предположить, что
,
(8.8)
,
(8.9)
где μ – коэффициент выбытия основных фондов, η – коэффициент естественного прироста населения.
Эти два уравнения представляют собой балансовые соотношения.
Первое из них означает, что новое значение фондов равно старому плюс
капиталовложения минус выбывшие за время [t, t + 1] фонды, величина
которых предполагается пропорциональной первоначальному значению
Kt с постоянным коэффициентом μ. Второе уравнение – модель Мальтуса динамики популяции человека, записанная в разностной форме.
Соотношения (8.3)‒(8.9) вместе с начальными условиями K0, L0 задают математическую модель агрегированной национальной экономики, представляющую собой формализацию схемы. Эта модель позволяет для известных μ, η и A однозначно вычислить значения переменных
Yt, Kt, Lt для любого года t = 1, 2, … при заданном наборе управлений
{st}, т. е. решить задачу прогноза.
8.4. Перейти к оптимизационной модели
Для модели (8.3)–(8.9) можно сформулировать различные критерии
оптимальности. Например, можно потребовать максимизации суммарного за время T потребления:
(8.10)
Модуль 2. Модели математической экономики
118
Критерий (8.10) вместе с ограничениями (8.3)–(8.9) образует оптимизационную задачу, решение которой есть некоторый набор управлений
{st}, t = 1, …, T.
8.5. Переход к дифференциальной модели
Но, как мы уже замечали, разностная модель удобна только для вычислений, аналитически ее исследовать очень сложно. Исследование полученной модели национальной экономики удобнее проводить для непрерывных переменных, т. е. считать время изменяющимся не дискретно
с шагом в год, а непрерывно на отрезке [0, T].
Соотношения (8.3)–(8.7) модели меняются очевидным образом:
, ,
,
где все переменные являются функциями непрерывного времени на отрезке [0, T], а связь между дискретной переменной st и непрерывной переменной s(t) можно задать соотношением
.
Для преобразования соотношений (8.8)–(8.9) заметим, что при Δt = 1
.
Поэтому получаем
.
Теперь можно выписать агрегированную модель национальной экономики [5–7] в виде
,
(8.11)
,
(8.12)
(8.13)
,
(8.14)
,
(8.15)
(8.16)
.
(8.17)
Глава 8. Агрегированная модель экономики Рамсея – Солоу
119
8.6. Упрощение модели
Упростим модель (8.11)–(8.17), перейдя к новым переменным k = K/L
(фондовооруженность) и c = C/L (удельное потребление). Для повышения наглядности выкладок будем опускать зависимость от времени,
например K вместо K(t). Имеем
.
Теперь используем четвертое свойство однородности (см. раздел 5.18),
для чего разделим обе части соотношения (8.11) на L:
.
Обозначая y = Y/L (удельный конечный продукт), получим
.
Окончательно имеем
.
Для удельного потребления в силу (8.11) и (8.13) имеем
.
Итак, получена упрощенная модель национальной экономики в виде
,
(8.18)
,
(8.19)
.
(8.20)
8.7. Точки устойчивости
Пусть . Тогда для исследования модели (8.18)–(8.20) на
устойчивость нужно принять некоторую гипотезу о виде производственной
функции
. Возьмем в качестве примера производственную функцию
,
обладающую четырьмя свойствами (см. гл. 5). Найдем точки равновесия уравнения
Модуль 2. Модели математической экономики
120
и исследуем их на устойчивость. Для нахождения равновесия нужно
решить алгебраическое уравнение:
,
откуда
.
В случае (а в случае прироста населения так и есть) графиче-
ская интерпретация представлена на рис. 8.2.
Рис. 8.2
В случае же (а это возможно в случае, если население убыва-
ет быстрее, чем выбывают основные фонды, стоит отметит, что на практике еще такого не отмечалось), точка равновесия одна: k = 0.
Для выяснения вопроса об устойчивости заметим, что производная
правой части равна
, а при
и при k = k* имеем
. Поэтому точка равновесия k
1
неустойчива, а точка равновесия k* асимптотически устойчива.
Таким образом, с течением времени траектории модели (8.18) сходятся к траекторной модели k*. Поэтому можно считать, что, начиная
с некоторого t*,
.
(8.21)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]