Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
141
,
,
и на трудовое население
.
Итак, сформулирована задача линейного программирования с двумя
переменными, где целевая функция
и ограничения
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Для решения этой задачи линейного программирования воспользу-
емся симплекс-методом. Для этого приведем задачу к каноническому
виду, введя неотрицательные переменные x4, x5, x6, x7, x8, x9 и x10:
и ограничения (четвертое ограничение сократим для удобства на 10 000):
,
,
,
,
,
,
,
, ,
, , ,
, .
Модуль 2. Модели математической экономики
142
Переменные x4, x5, x6 и x7 являются базисными. Построим первую
симплексную таблицу:
xi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
bi
bi/ aij
x4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
2000 x5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
1000 x6 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
1500
1500
x7
1,5 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1000
500
x8
-0,8
0,1
0,1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x9 0 -0,7
0,1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 x10
0,4
0,1
-0,8 0 0 0 0 0 0 1 0 -F
-0,04
-0,06
-0,35 0 0 0 0 0 0 0
В последней строке выбираем элемент -0,35, в котором находится
отрицательный элемент, максимальный по модулю. В данном случае
переменная x3 включается в базис. Для этого нужно одну переменную
исключить из базиса.
Заполним последний столбец среди положительных элементов столб-
ца, соответствующих переменной x3, и выберем среди получившихся
элементов минимальный. Он находится в строках, соответствующих переменным x8 и x9. В таблице эти переменные также выделены жирным
шрифтом.
Одну из этих переменных выведем из базиса. Например, перемен-
ную x8.
Путем элементарных гауссовских преобразований (приводящих к по-
лучению всех нулей в столбце x3, за исключением элемента, соответствующего этой же строке) перейдем к следующей симплекс-таблице:
xi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
bi
bi/ aij
x4 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
2000
2000
x5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
1000 x6 8 -1 0 0 0 1 0 -10 0 0
1500
187,5
x7
17,5
-1 0 0 0 0 1 -20 0 0
1000
57,14
x3
-8 1 1 0 0 0 0
10 0 0 0
x9
0,8
-0,8 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0
x10
-6
0,9 0 0 0 0 0 8 0 1 0
-F
-0,84
0,29 0 0 0 0 0 3,5 0 0 0
Глава 9. Модели межотраслевого баланса
143
Единственный отрицательный элемент в последней строке находит-
ся в столбце, который соответствует переменной х1, поэтому переменную x1 включим в базис. Как видно из последнего столбца, все-таки переменную x9 придется выводить из базиса.
Перейдем к следующей базисной таблице:
xi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
bi
bi/ aij
x4 0 2 0 1 0 0 0 1,25
-1,25
0
2000
1000
x5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
1000
1000
x6 0 7 0 0 0 1 0 0
10 0 1500
214,29
x7 0 16,5 0 0 0 0 1 1,875
-21,875
0
1000
60,6
x3 0 -7 1 0 0 0 0 0
10 0 0
x1 1 -1 0 0 0 0 0 -1,25
1,25 0 0 x10 0 -5,1 0 0 0 0 0 0,5
7,5 1 0
-F 0 -2,55 0 0 0 0 0 -0,05
3,55 0 0
В последней строке два элемента отрицательны, из них по модулю
больше элемент в столбце х2, поэтому переменную x
2
включим в базис.
Как видно из последнего столбца, переменную x7 придется выводить из
базиса.
Перейдем к следующей базисной таблице:
xi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
bi
x4 0 0 0 1 0 0
-0,12
1,02
1,40
0
1878,79
x5 0 0 0 0 1 0
-0,06
-0,11
1,33 0 939,39
x6 0 0 0 0 0 1
-0,42
-0,80
-0,72
0
1075,76
x2 0 1 0 0 0 0
0,06
0,11
-11,33 0 60,61
x3 0 0 1 0 0 0
0,42
0,80
0,72 0 424,24
x1 1 0 0 0 0 0
0,06
-1,14
-0,08 0 60,61
x10 0 0 0 0 0 0
0,31
1,08
0,74 1 309,10
-F 0 0 0 0 0 0
0,15
0,24
0,17 0 154,55
Здесь уже нет в последней строке отрицательных элементов, значит
мы пришли к оптимальному решению:
, , .
Соответствующий ему выпуск конечного продукта –
,
,
.
Модуль 2. Модели математической экономики
144
И оптимальное значение выбранного критерия
.
Результаты можно проинтерпретировать следующим образом. Сель-
ское хозяйство для данного государство – наиболее важная отрасль, но
трудовых ресурсов для нее не хватает. Поэтому все усилия направлены
на то, чтобы произвести соответствующий конечный продукт.
Задания
1. Выяснить, являются ли матрицы продуктивными?
,
.
2. В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная
продукция отраслей на плановый период, усл. ден. ед.
Отрасль
Потребление
Конечная
продукция
Промышленность
Сельское хозяйство
Промышленность
0,3
0,25
300
Сельское хозяйство
0,15
0,12
100
Заполнить матрицу межотраслевого баланса, т. е. найти плановые
объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую
продукцию отраслей. Найти необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление сельского хозяйства увеличится на 20 %, а промышленности – на 10 %.
3. Дана матрица полных затрат некоторой модели межотраслевого
хозяйства
Найти: а) приращение валового выпус-
ка , обеспечивающее приращение конечной продукции
;
б) приращение конечной продукции , соответствующее приращению
валового выпуска
Проектные задания к модулю 2
145
Проектные задания к модулю 2
Дана матрица прямых затрат для народного хозяйства, состоящего
из трех отраслей: 1 – тяжелая промышленность; 2 – легкая промышленность; 3 – сельское хозяйство:
,
где m и n одновременно не равны 1.
Выяснить, является ли матрица прямых затрат продуктивной. Найти
матрицу полных затрат. Найти выпуск валовой продукции, обеспечивающий выпуск конечной продукции Y = (1000; 500 + 100n; 400 + 100m).
Найти оптимальный конечный и валовый продукт, соответствующий
максимизации взвешенного конечного продукта с весами (0,3; 0,3; 0,3),
если численность трудового населения страны – 10 000 000 человек,
тяжелопромышленных основных фондов – 300 000, легкопромышлен-
ных основных фондов – (50 000 + m , сельскохозяйственных
основных фондов – (300 000 – n ), количество трудового населе-
ния, требуемое для выпуска единицы тяжелопромышленной продукции, –
(15 000 + 5000m), для легкопромышленной продукции – 10 000, а для
выпуска сельскохозяйственной продукции – (20 000 – 2000n). Количество тяжелопромышленных основных фондов, требуемых для производства единицы соответствующей продукции, – 200 усл. ед., количество легкопромышленных основных фондов, требуемых для производства единицы соответствующей продукции, – 100 усл. ед., а количество
сельскохозяйственных основных фондов, требуемых для производства
соответствующей продукции, – 300 усл. ед.
146
МОДУЛЬ 3
МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ
Глава 10. Примеры экономических механизмов
Н. Н. Моисеева и В. И. Опойцева
До этого момента мы рассматривали прогностические или оптими-
зационные экономические модели, в которых лицо, принимающее решение, выбирало оптимальную на его взгляд стратегию (управление).
Сейчас мы перейдем к моделям экономических механизмов – моделям,
при которых одно лицо может воздействовать на целевую функцию другого лица таким образом, чтобы побудить последнего поступить нужным для первого лица образом.
10.1. Пример экономического механизма В. И. Опойцева
Схема распределения ресурсов
Рассмотрим экономическую систему, состоящую из управляющего
органа (Центра) и нескольких подчиненных ему предприятий и подразделений (Исполнителей) [5; 7].
Центр располагает некоторым ресурсом (например, деньгами) в коли-
честве R и распределяет его между Исполнителями, каждому из которых
достается xi единиц ресурса (i = 1, …, n, где n – число Исполнителей). Получив свою долю ресурса xi, i-й Исполнитель производит продукцию в ко-
личестве , где
– уже известная нам производственная функция,
связывающая величины затрачиваемых ресурсов и выпускаемой продукции [5]. Структура рассматриваемой системы изображена на рис. 10.1.
Рис. 10.1
Глава 10. Примеры экономических механизмов Н. Н. Моисеева и В. И. Опойцева
147
Формализация
Естественно считать, что задачей Центра является максимизация сум-
марного выпуска продукции
(10.1)
при очевидных ограничениях
,
(10.2)
(10.3)
В качестве производственной функции возьмем
где – параметр, характеризующий производственные возможно-
сти i-го предприятия.
Решение
Задача (10.1)–(10.3) представляет собой нелинейную задачу услов-
ной оптимизации и может быть решена методом множителей Лагранжа.
Построим функцию Лагранжа (которая представляет собой сумму
целевой функции исходной задачи (10.1) и разности правой и левой ча-
сти ограничения (10.2), умноженной на множитель Лагранжа ):
.
(10.4)
Метод Лагранжа утверждает, что необходимое условие экстрему-
ма функции (10.1) совпадает с необходимыми условиями экстремума
(10.4). Таким образом, нужно решить систему алгебраических уравнений
,
.
Имеем
,
.
(10.5)
Откуда
.
(10.6)
Модуль 3. Модели экономических механизмов
148
Подставим полученное в (10.5):
.
Откуда
,
или
.
Подставим полученное в (10.6), получим
.
(10.7)
Это – точка экстремума. Для определения вида точки экстремума
нужно выписать матрицу вторых производных функции L по перемен-
ным
:
.
Полученная матрица отрицательно определена в любой точке x = (x1,
x2, …, xn) с неотрицательным координатами. А следовательно, она отри-
цательно определена и в точке x = (x1*, x2*, …, xn*). Действительно, все
миноры включительно до n-го порядка меняют знак, причем первый
минор отрицателен. Значит, минор k-го имеет знак (–1)
k
.
Таким образом, полученная точка – точка максимума задачи (10.1)–
(10.3). Это решение допускает естественную экономическую интерпрета-
цию: Центр должен выделять ресурсы пропорционально квадратам пропорциональных мощностей i-го Исполнителя, характеризуемых параметром ri.
Ограничение на максимум производства и учет цены
Итак, казалось бы, задача распределения Центром ресурсов для полу-
чения максимального суммарного выпуска продукции решена. Однако более внимательный анализ позволяет обнаружить некоторые тонкости [5].
Глава 10. Примеры экономических механизмов Н. Н. Моисеева и В. И. Опойцева
149
Прежде всего напомним, что любая производственная функция харак-
теризует предельные возможности производства, являясь лишь верхней
границей целого множества производственных возможностей (рис. 10.2);
вкладывая x
i
0
единиц ресурсов, можно получить выпуск продукции в лю-
бом количестве из отрезка [0;
i
0
], а совсем необязательно в количестве
i
0
, чем мы пренебрегаем, используя производственную функцию.
Рис. 10.2
Чтобы побудить Исполнителя использовать свои производственные
возможности в наивысшей степени, следует учесть его интересы, например, стремление к максимизации прибыли
,
(10.8)
где
– цена единицы ресурса для i-го Исполнителя.
Неизвестность параметров
Еще более существенно следующее предположение [5]. Чтобы найти
оптимальное решение по формуле (10.7) в виде конкретных чисел, Центр
должен знать производственные возможности Исполнителей, характеризуемые значениями параметров ri. Но они-то как раз Центру и не известны!
Конечно, Центр может запросить у Исполнителей значения пара-
метров r1, r2, …, rn; однако в ответ он получит набор значений, которые
совсем не обязательно совпадут с истинными. Чтобы показать, что Исполнителям может оказаться выгодным искажать информацию о значениях ri, рассмотрим следующий простой пример.
Модуль 3. Модели экономических механизмов
150
Пример с тремя предположениями об информированности Центра
Пусть система «Центр – Исполнители» включает три элемента: соб-
ственно Центр и два Исполнителя, причем R = 100, r1 = 100, r
2
= 10 [5].
Тогда задача Центра (10.1)–(10.3) принимает вид:
при ограничениях Центра
.
Рассмотрим различные варианты информированности Центра о про-
изводственных возможностях исполнителей.
1. Центр не располагает никакой информацией о производственных
возможностях Исполнителей. В этом случае наиболее естественным
представляется разделить имеющийся ресурс пополам: ,
откуда
,
, и сум-
марный выпуск продукции
.
2. Центр знает, что первый Исполнитель обладает гораздо больши-
ми возможностями, чем второй: положим , откуда
,
, и суммарный
выпуск продукции
.
3. Наконец, предположим, что Центр точно знает значения r1 и r2.
В этом случае оптимальное распределение ресурсов между Исполните-
лями по формуле (10.7):
,
откуда , ,
и суммарный выпуск продукции
.
Таким образом, точная информация о производственных возможно-
стях Исполнителей по сравнению с полным отсутствием позволяет Центру получить значительный выигрыш
.
Случай, когда второй Исполнитель завышает свои возможности
Однако, сравнивая значения выделенных ресурсов в указанных выше вариантах 1 и 3, легко понять, что Центр вряд ли получит от второго
Исполнителя истинную информацию о производственных возможностях последнего [5].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]