Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели, характеристики и структуры линейных систем управления. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"
О.В. БОЛДЫРИХИН
МОДЕЛИ, ХАРАКТЕРИСТИКИ И СТРУКТУРЫ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2016
УДК 681.3.06(07)
Б791
Рецензенты:
кафедра информатики, информационных технологий и защиты информации
ЛГПУ;
Г.А. Воробьев, канд. техн. наук, доц. кафедры информатики, информационных
технологий и защиты информации ЛГПУ
Болдырихин, О.В.
Б791 Модели, характеристики и структуры линейных систем управления
[Текст]: учеб. пособие / О.В. Болдырихин. – Липецк : Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2016. – 67 с.
ISBN 978-5-88247-813-0
В учебном пособии рассматриваются основные понятия теории линейных
систем управления: передаточная функция, временные и частотные характери-
стики, основные типы звеньев и структур систем управления.
Учебное пособие предназначено для студентов направлений "Информатика и вычислительная техника", "Программная инженерия", "Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем", а также родственных направлений и специальностей.
Ил. 24. Библиогр.: 4 назв.
УДК681.3.06(07)
Печатается по решению редакционно-издательского совета ЛГТУ
ISBN 978-5-88247-813-0 © ФГБОУ ВО "Липецкий
государственный техни-
ческий университет",
2016
Содержание
1. Модели и характеристики систем управления .............................................. 4
1.1. Основные понятия управления ................................................................. 4
1.1.1. Что такое управление .......................................................................... 4
1.1.2. Структура системы управления ......................................................... 4
1.1.3. Основные задачи и виды управления................................................ 6
1.2. Линейная динамическая система и передаточная функция .................. 7
1.2.1. Общее представление динамической системы ................................ 7
1.2.2. Передаточная функция ....................................................................... 9
1.2.3. Уравнение RC-цепочки и его собственное решение ..................... 12
1.2.4. Полное решение уравнения RC-цепочки в случае постоянного
входного воздействия и ее передаточная функция ..................................... 14
1.2.5. Передаточная функция в терминах "вход-состояние-выход" ...... 17
1.3. Временные и частотные характеристики .............................................. 19
1.3.1. Импульсная переходная функция (весовая функция) ................... 19
1.3.2. Переходная функция ......................................................................... 20
1.3.3. Частотные характеристики ............................................................... 21
1.3.4. Частотные характеристики RC-цепочки ......................................... 25
1.4. Линейная динамическая система 2-го порядка ..................................... 31
1.4.1. Схема и уравнение RLC-цепочки .................................................... 31
1.4.2. Типы корней характеристического уравнения ............................... 33
1.4.3. Собственное решение уравнения RLC-цепочки. Узел .................. 36
1.4.4. Вырожденный узел............................................................................ 37
1.4.5. Колебательное решение уравнения RLC-цепочки. Фокус............ 38
1.4.6. RLC-контур без потерь. Центр ........................................................ 39
1.4.7. Формальное нахождение собственного решения .......................... 40
1.4.8. Расчет передаточной функции с матрицами .................................. 46
1.4.9. Частотные характеристики системы 2-го порядка ........................ 48
2. Структуры систем управления ...................................................................... 51
2.1. Типы звеньев систем управления ........................................................... 51
2.1.1. Классификация звеньев систем управления ................................... 51
2.1.2. Позиционные звенья ......................................................................... 52
2.1.3. Интегрирующие и дифференцирующие звенья ............................. 53
2.1.4. Звено запаздывания ........................................................................... 54
2.2. Виды и передаточные функции соединений звеньев ........................... 55
2.2.1. Последовательное соединение звеньев ........................................... 55
2.2.2. Параллельное соединение звеньев .................................................. 56
2.2.3. Соединение звеньев с обратной связью .......................................... 57
2.3. Расчеты по структурным схемам ............................................................ 59
2.3.1. Передаточные функции для различных пар входов-выходов ...... 59
2.3.2. Структурные схемы и уравнения системы ..................................... 62
2.3.3. Неустойчивость многоуровневых систем управления .................. 64
Библиографический список ................................................................................... 66
3
1. Модели и характеристики систем управления
1.1. Основные понятия управления
1.1.1. Что такое управление
Управление – это процесс выработки и реализации воздействия на некоторый объект для достижения заданной цели.
Для правильного формирования управляющего воздействия необходима
информация четырех типов:
1. Об объекте управления, в том числе о его состоянии (обратная связь);
например, открываем кран – смотрим на струю воды, или преподаватель объясняет тему студентам – смотрит на их реакцию, отвечает на вопросы.
2. О субъекте управления (управляющей системе).
3. О среде, в которой находится объект управления и субъект управления
(управляющая система).
4. Цель управления.
В большинстве случаев для управления характерна следующая черта:
управляющее воздействие требует небольших энергетических затрат, а результат управления энергетически значителен.
1.1.2. Структура системы управления
В укрупненном виде структура системы управления включает две части:
управляемую (объект управления) и управляющую (управляющую систему)
(рис. 1).
Рис. 1. Основная структура системы управления
4
Здесь:
– УС – управляющая система;
– ОУ – объект управления;
– g – вектор задающих воздействий;
– u – вектор управляющих воздействий;
– x – вектор состояния объекта управления;
– y – вектор выходных переменных объекта управления;
– f – вектор возмущающих воздействий.
Между управляющей системой и объектом управления существуют две
связи: прямая (управляющее воздействие u) и обратная (выходная, или управляемая величина y).
Внутреннее состояние объекта управления также характеризуется неко-
торой величиной, переменной состояния x.
В одних случаях рассматривают выход и состояние как одну и ту же ве-
личину, в других считают выход функцией состояния и управления.
Кроме того, существуют связи с внешней средой: задающее воздействие
g и возмущающее воздействие f (шум, флуктуации). Задающее воздействие, по
сути, и составляет цель управления. Возмущающее воздействие – случайный
процесс, затрудняющий достижение цели управления.
В общем случае все эти величины являются векторными. Такая система
называется многомерной. Если существуют зависимости между различными
парами компонент входных и выходных векторов, то многомерная система
называется многосвязной.
Также в общем случае эти величины являются переменными, функциями
времени.
Если переменные состояния характеризуют состояние объекта управле-
ния, то его свойства определяются величинами другого типа, которые называются параметрами.
Например, переменные состояния материальной точки в трехмерном про-
странстве – три координаты и три производные координат (компоненты скоро-
5
сти), параметр – масса. В химической системе переменные состояния – концентрации реагентов и продуктов реакций, параметры – константы скоростей ре-
акций, теплоемкости веществ. В электротехнической системе переменные со-
стояния – напряжения, силы тока и их производные, параметры – номинальные
характеристики электронных элементов: сопротивление резистора, емкость
конденсатора, индуктивность катушки, крутизна характеристики электронновакуумной лампы или транзистора и т. п.
Управление может быть направлено как на переменные состояния, так и
на параметры. Такие параметры называются управляющими.
Чаще всего параметры системы не изменяются или их изменением можно
пренебречь. Такие системы называются стационарными. Системы, параметры
которых изменяются, называются нестационарными.
Обратной связи может и не быть. В этом случае система управления яв-
ляется разомкнутой, а топология ее структуры – последовательной. Управление
в разомкнутой системе называется программным. При программном управле-
нии задающее воздействие изменяется во времени предопределенным образом
вне зависимости от состояния объекта управления или его выхода.
При наличии обратной связи система управления является замкнутой, а
топология ее структуры – кольцевой. Управление в замкнутой системе называется управлением по обратной связи.
1.1.3. Основные задачи и виды управления
Выделяются три типа задач систем управления:
– стабилизация, т.е. поддержание заданного значения выходной величины
(задающее воздействие – постоянная, часто нуль);
– программное управление (задающее воздействие изменяется по заданной
программе);
– слежение (задающее воздействие заранее неизвестно и изменяется в зави-
симости от условий).
Примеры стабилизации – поддержание заданного курса самолета или корабля, частоты вращения вала генератора.
6
Системы программного управления – станки с ЧПУ, бытовая техника.
),,( tpxfx
Системы слежения используются в военном деле, на транспорте и т. п.
По разным признакам выделяются различные виды управления:
– модальное управление, заключается в получении заданных коэффициентов
характеристического многочлена системы для обеспечения асимптотической
стабилизации системы;
– терминальное (финитное) управление – перевод системы в заданное состо-
яние к заданному моменту времени;
– адаптивное управление – управление в условиях неопределенности пара-
метров объекта управления и условий его функционирования;
– согласование или синхронизация – обеспечение согласованного поведения
различных элементов системы, в том числе синхронных колебаний в них;
– оптимальное управление – обеспечение экстремума какой-либо величины,
называемой целевой функцией, например, наилучшего качества выпускаемой
продукции, максимальной прибыли, минимальных расходов и т. п.
1.2. Линейная динамическая система и передаточная функция
1.2.1. Общее представление динамической системы
Системы управления являются динамическими системами. Динамическая
система представляется моделью в форме дифференциального уравнения или
системы дифференциальных уравнений. Это уравнение называется уравнением
состояния или эволюционным уравнением. Порядком динамической системы
является порядок уравнения (порядок старшей производной) или число уравне-
ний первого порядка в системе или число линейно-независимых переменных
состояния. На некотором уровне общности непрерывную динамическую систему можно записать следующим образом:
,
где x – вектор переменных состояния,
p – вектор параметров,
t – время,
7
f – векторная функция, в общем случае нелинейная.
),( pxfx
).,,...,,,,...,,(
...
),,,...,,,,...,,(
),,,...,,,,...,,(
2121
212122
212111
tpppxxxfx
tpppxxxfx
tpppxxxfx
knnn
kn
kn
),,,( tpuxfx
),,,( tpuxgy
)(),,( ugtpxfx
),],[],[(]1[ kpkukxfkx
(Примечание. В теории дифференциальных уравнений динамической
называется только автономная система, т.е. такая, у которой отсутствует явная
зависимость от времени:
. Однако неавтономную систему n-го поряд-
ка можно свести к автономной системе (n+1)-го порядка.)
В скалярном виде эта же система запишется так:
Конечно, система дифференциальных уравнений должна быть дополнена
начальными условиями.
Для системы управления необходимо в явном виде выделить в уравнени-
ях состояния величину, называемую управлением или управляющим воздей-
ствием:
,
где u – вектор управляющих воздействий.
Если выделяется вектор выходных переменных y, то он рассматривается
как функция векторов состояния, параметров и управления, которая записывается в виде уравнения выхода:
.
Чаще всего можно выделить из функции правых частей слагаемое, свя-
занное с управляющим воздействием:
.
Модель дискретной системы управления, ее уравнение состояния, представляет собой систему разностных уравнений:
,
где k – дискретное время.
8
Отметим, что при численном интегрировании дифференциальных урав-
)(),(),,,( ttxgtpuxfx
1011
)1(
11
)(
12021
)1(
21
)(
2
...... xbxbxbxbxaxaxaxa
m
m
m
m
n
n
n
n
нений мы также имеем дело с разностными уравнениями.
Приведенные выше модели позволяют при точном задании начальных
условий однозначно определить состояние системы в любой момент времени.
Поэтому другое название динамической системы – детерминированная система. Однако рассмотренное представление системы управления – не самое об-
щее. В любой системе всегда присутствуют флуктуации, которым соответству-
ет вектор случайных входных воздействий (см. рис. 1). С его учетом система
превращается в стохастическую, которая может быть представлена, например, в
форме уравнения Ланжевена:
,
где g – матричная функция,
– случайный процесс типа белого шума.
Существуют динамические системы, которые даже при отсутствии шума
демонстрируют похожее на случайный процесс поведение, называемое дина-
мическим хаосом.
1.2.2. Передаточная функция
Представим объект управления в виде черного ящика (рис. 2). На входе и
выходе скалярные величины x1 и x2.
Рис. 2. Представление объекта управления в терминах "вход-выход"
Уравнение состояния такой системы представляет собой линейное диф-
ференциальное уравнение, связывающее между собой величины x1 и x2 и их
производные:
.
9
)...(...
111,1
)1(11
1,1
)(
1,1221,2
)1(21
1,2
)(
2,2
xxxxkxxxx
mm
m
mm
m
nn
n
nn
n
где:
0
1
1,1
0
1
1
1,1
0
,1
0
0
0
1
1,2
0
1
1
1,2
0
,2
...,,,,,...,,,
b
b
b
b
b
b
a
b
k
a
a
a
a
a
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
][
][
][
1
2
x
x
k
12
kxx
dtetxtxLsX
st
0
)()}({)(
).()0()()()()(
0
0
0
ssXxdtetxsetxdtetx
ststst
Преобразуем уравнение к следующему виду:
,
.
Видно, что все коэффициенты
имеют размерность времени, а размер-
ность k определяется следующим образом:
.
В стационарном состоянии, когда все производные входной и выходной
величин равны нулю, имеет место соотношение:
.
Отсюда виден физический смысл величины k – это крутизна статической
характеристики. Величина k называется передаточным числом или коэффициентом усиления.
Коэффициенты
являются постоянными времени и имеют определенный
физический смысл в конкретных динамических системах.
Линейные дифференциальные уравнения удобно исследовать с помощью
преобразования Лапласа:
,
где X(s) – преобразование Лапласа (изображение) непрерывной функции x(t);
x(t) – исходная функция (оригинал).
Размерность переменной s обратна размерности времени, а размерность
изображения – размерность оригинала, умноженная на размерность времени.
Преобразование Лапласа производной функции x(t):
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]