Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели, характеристики и структуры линейных систем управления. Учебное пособие
.pdf
1.4. Линейная динамическая система 2-го порядка
EUUU
RLC
C
q
UC
C
I
UC
C
UCI
C
UCI
ILU
L
RIUR
ERIILU
C
EURCULCU
CCC
EUURCULC
CCC
RC
1
LC
2
LCT2
LC
T
f
2
11
1.4.1. Схема и уравнение RLC-цепочки
Рассмотрим RLC-цепочку (рис. 8).
Рис. 8. RLC-цепочка
По второму правилу Кирхгофа:
.
Составим уравнение относительно напряжения на конденсаторе.
,
;
;
;
.
Отметим, что уравнение RLC-цепочки имеет 2-й порядок. В системе 2-го порядка возможны собственные колебания. В ней две постоянные времени:
;
.
Вторая постоянная времени при равенстве нулю первой (при отсутствии актив-
ного сопротивления) определяет период колебаний T в контуре:
.
Это известная из школьного курса физики формула Томсона.
Величина, обратная периоду, называется линейной частотой колебаний:
.
31
С ней связана круговая (циклическая) частота:
2
112
2
LC
T
f
1
1
)(
1
22
2
ss
sW
01
1
22
2
ss
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
11
2,1
1
222
4
s
LC
2
L
CR
LC
RC
2
2
2
2
1
012
22
ss
1
2
442
2
2
222
2,1
s
L
R
LCRC2222
2
1
2
2
2
1
22
2,1
s
.
Передаточная функция RLC-цепочки с напряжением на конденсаторе в качестве выхода:
.
Характеристическое уравнение
.
.
Удобнее использовать другие параметры: одну постоянную времени и безразмерное затухание:
Тогда характеристическое уравнение запишется в следующем виде:
Удобнее всего использовать в качестве параметров круговую частоту и
затухание с размерностью, обратной времени:
,
.
.
.
,
которая, как будет видно в дальнейшем, определяет потерю энергии в контуре,
скорость затухания колебаний.
Выражение для корней характеристического уравнения запишется в этом
случае короче всего:
.
32
Передаточная функция
22
2
2
)(
ss
sW
))((
))((
)(
2222
2
21
2
ss
ssss
sW
))((
1
bsas
)(
1
btat
ee
ab
))(( bsas
s
)(
1
btat
beae
ba
2
)(1as
atte
2
)( ass
at
eat
)1(
)(
12
1
)(
2
)(
2
2
2
2
2
2222
11
2
2
22
2
ttt
ttt
eeeeeetw
2
2
2
22
)(
t
tt
e
t
tetetw
22
2,1
s
;
.
Взяв обратное преобразование, получим импульсную переходную функцию.
Справка. Из таблицы обратных преобразований Лапласа
;
.
;
;
Итак, импульсная переходная функция
.
Так будет изменяться напряжение на конденсаторе при единичном импульсе на
входе.
Если
=
, то
.
1.4.2. Типы корней характеристического уравнения
Мы получили выражение для собственных значений RLC-цепочки:
.
33
Рассмотрим, каковы могут быть их типы. Рассуждение проведем для самого
022
022
022
022
22
222
0
022
022
22
222
; 02
0
022
22
222
общего случая, когда
и могут иметь любой знак.
Первую границу дает условие
.
Если
, то корни характеристического уравнения – комплекс-
ные (комплексно-сопряженные). В этом случае RLC-цепочка является в полном
смысле колебательным контуром, поскольку решение системы представляет
собой колебательный процесс. Положение равновесия системы (особая точка)
имеет тип "фокус".
Если
, то корни действительные.
В случае действительных корней существует еще два варианта, границу
между которыми дает условие
;
;
;
.
Если
, то корни одного знака, решение системы пред-
ставляет собой апериодический (неколебательный) процесс, и особая точка
имеет тип "узел":
;
;
.
Вообще-то уже видно, что это все остальные случаи, помимо
.
Второй вариант:
;
;
;
34
02
,
когда действительные корни имеют разные знаки, и особая точка имеет тип
"седло", не реализуется.
Кроме того, действительные корни в случае одного знака или действи-
тельные части комплексных корней могут быть положительными или отрица-
тельными. Если они положительные, что имеет место в нашем случае, то поло-
жения равновесия устойчивые. Если отрицательные, то – неустойчивые.
Для комплексных корней имеется еще один граничный случай – равен-
ство нулю действительной части, что означает отсутствие потерь энергии или
ее поступления извне. Такая особая точка имеет название "центр".
Таким образом, на примере линейной системы 2-го порядка мы определили, что всего существует шесть типов особых точек динамической системы,
соответствующих различным типам корней характеристического уравнения:
1. Неустойчивый узел – действительные корни одного знака, больше нуля.
2. Неустойчивый фокус – комплексные корни, действительная часть больше
нуля.
3. Центр – комплексные корни, действительная часть равна нулю.
4. Устойчивый фокус – комплексные корни, действительная часть меньше ну-
ля.
5. Устойчивый узел – действительные корни одного знака, меньше нуля.
6. Седло – действительные корни разных знаков.
Можно еще выделить два различных седла:
– первый корень положительный, второй отрицательный;
– первый корень отрицательный, второй положительный –
и случай, когда действительные корни не только одного знака, но и одного модуля. Соответствующая особая точка имеет название "вырожденный узел".
Примечательно, что особых точек других типов в природе не существует.
Хотя мы рассматривали линейную систему, для нелинейных систем справедли-
во все то же самое. Только у них может быть множество особых точек. При
35
этом одна особая точка находится в начале координат, что соответствует три-
0
CCC
UURCULC
01
CCC
U
LC
U
L
R
U
02
2
CCC
UUU
tt
tsts
С
eCeCeCeCU
)(
2
)(
121
2222
21
tt
C
eCeCU
)(22
2
)(22
1
2222
)()(
.0
)0(
)0(
;)0(
C
I
U
EU
C
C
ECCU
C
21)0(
0)()()0(
22
2
22
1
CCU
C
ECC
12
виальному решению.
Для систем более высокого порядка, третьего и больше, тип особой точки
представляет собой комбинацию перечисленных типов, например, седлофокус.
1.4.3. Собственное решение уравнения RLC-цепочки. Узел
Найдем собственное решение уравнения RLC-цепочки:
;
;
.
Будем искать решение в следующем виде:
Тогда
Найдем константы из начальных условий.
Пусть вначале конденсатор был заряжен до значения E, а затем цепь замкнули. Тогда начальные условия таковы:
Последнее определяется первым законом коммутации – сила тока через
катушку индуктивности не может измениться скачком.
Применяем данные начальные условия к выражениям для формы реше-
.
.
ния:
;
.
36
0)()()(
2222
1
22
1
ECC
22
22
1
2
EC
22
22
22
22
2
22
EEEC
Подставляя найденные константы в уравнение для напряжения на кон-
).)()((
2
)
2
2222
2222
2222
22
)(
22
22
)(
22
22
ttt
tt
C
eee
E
ee
E
U
022
CCR
UURCRIU
);(
2
))()((
2
)))((
))(((
2
2222
2222
22
22
22
2
222222
22
2222
2222
22
ttt
ttt
t
tt
C
eee
E
eee
E
e
ee
E
U
).()(
2
22222222
2222
2
tttttt
CR
eee
E
eee
E
UU
21ss
денсаторе, получим
;
;
.
Если
, то реализуется неколебательный (апериодический) ре-
жим, и особая точка имеет тип "устойчивый узел".
Теперь определим напряжение на резисторе.
;
1.4.4. Вырожденный узел
Если
затуханию с обратным знаком:
, то корни характеристического уравнения равны друг другу и
37
.
При равенстве корней характеристического уравнения решение необхо-
tt
C
teCeCU
21
EU
C
)0(
EC
1
ttt
C
etCeCeCU
)(
221
0)0(
C
U
021 CC
ECC
12
ttt
C
etEteEEeU
)1(
tttttt
CR
teEteEteEteeeEUU
2)(
222
022
2222
i
xixe
ix
sincos
).sin(
2
))sin()cos()sin()(cos(
)(
22
22
22222222
22
22
2222
teE
tittite
i
E
eee
i
EU
t
t
titit
R
R
22
22
димо искать в следующем виде:
Начальные условия те же:
.
;
;
;
;
1.4.5. Колебательное решение уравнения RLC-цепочки. Фокус
Теперь рассмотрим колебательный режим, когда
точка имеет тип "устойчивый фокус". В этом случае
.
Используем формулу Эйлера:
.
, и особая
;
Теперь видно, что циклическая частота колебаний равна , только если
затухание, а значит и сопротивление
циклическая частота колебаний равна
равно нулю. При наличии затухания
. Обозначим эту величину через
:
.
38
Множитель перед синусом – это амплитуда колебаний. Обозначим ее че-
A
tt
eEeEA
22
22
)sin( tAU
R
)sin(
1
22
22
te
L
E
R
U
I
t
R
)
1
sin()
1
sin()sin(
1
t
LC
L
C
Et
LC
LC
L
E
t
L
E
I
рез
:
.
В новых обозначениях имеем
.
В амплитуду мультипликативно входит экспонента, в степени которой
стоит действительная часть корней характеристического уравнения, затухание с
обратным знаком, что и определяет устойчивость решения, в данном случае
тривиального.
Мнимая часть корней характеристического уравнения стоит под знаком
синуса и представляет собой круговую частоту колебаний в контуре с затуха-
нием, которая в отличие от амплитуды постоянна.
1.4.6. RLC-контур без потерь. Центр
RLC-контур без потерь – это LC-контур. Поэтому перейдем к выражению
для силы тока:
.
В LC-контуре затухание равно нулю, амплитуда колебаний постоянна, и
особая точка имеет тип "центр":
.
Интересно, что в то время как частота незатухающих колебаний обратно
пропорциональна корню произведения емкости и индуктивности, амплитуда
пропорциональна корню их частного.
39
Введем обозначение:
L
C
)sin( tEI
.
1
;
L
C
02
2
CCC
UUU
C
Ux
1
C
Ux
2
.2,
21
2
2
21
xxx
xx
.
Эта величина имеет размерность проводимости, величины, обратной со-
противлению. Численно она равна амплитуде при единичном начальном
напряжении на конденсаторе. В таких обозначениях выражение для силы тока
будет выглядеть так:
.
Можно выразить емкость и индуктивность через
1.4.7. Формальное нахождение собственного решения
Преобразуем дифференциальное уравнение (ДУ) 2-го порядка
в систему двух ДУ 1-го порядка. Для этого введем пере-
менные:
,
.
и :
Первая переменная состояния – напряжение на конденсаторе, вторая –
скорость его изменения.
Отсюда и из исходного уравнения получаем следующую систему:
(*)
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]