Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели, характеристики и структуры линейных систем управления. Учебное пособие
.pdf
В матричном виде ее можно представить так:
AXX
X
2
1
x
x
X
2
1
x
x
X
2
10
2
A
0)det( AsE
0
2
1
2
s
s
02
22
ss
22
1
s
22
2
s
ts
ts
ts
ts
e
e
C
e
e
C
x
x
C
x
x
C
x
x
X
2
2
1
1
22
12
2
21
11
1
22
12
2
21
11
1
2
1
11
21
12
22
,
где
, X – векторы, A – матрица:
,
Общий вид характеристического уравнения системы ДУ:
где det – определитель матрицы,
E – единичная диагональная матрица.
Для нашего примера получается следующее характеристическое уравне-
ние:
,
.
,
.
Корни характеристического уравнения:
;
.
Будем искать решение системы (*) в следующем виде:
. (**)
Далее находим коэффициенты
,
,
,
.
41
Записываем две матрицы
AEs
1
AEs
2
1
s
2
s
1
s
.
1
2
1
222
22
222
22
1
AEs
11
21
11
21
0)(
2111
22
11
22
21
)(
11
21
12
22
111
22
21
121
s
и
– для конкретных значений
корней характеристического уравнения
Для
:
и
.
Понятно, что детерминант этой матрицы равен нулю, а значит, строки
линейно зависимы. Уравнение для нахождения коэффициентов
и
полу-
чим, умножив любую из строк этой матрицы, например первую, на вектор
(
,
) и приравняв полученное выражение к нулю:
.
Поскольку в выражение (**) мультипликативно входят константы С
С
, коэффициенты
2
,
,
,
находим с точностью до постоянного мно-
жителя. Конечно, легче выбрать самый простой вариант:
.
Видно, что в этом случае
1
и
.
42
Для
2
s
.
1
2
1
222
22
222
22
2
AEs
112
22
22
222
s
.)()(
,
)(22
2
)(22
12
)(
2
)(
11
2222
2222
tt
tt
eCeCx
eCeCx
12
xxx
101
)0( xx
202
)0( xx
2110
CCx
)()(
22
2
22
120
CCx
2101
CxC
:
Как и ранее, полагаем
.
Видно, что в этом случае
.
Таким образом, получаем решение в следующем виде:
При составлении системы мы положили
ние полностью соответствует этому условию.
Теперь из НУ
;
(***)
. Полученное выраже-
находим константы:
;
;
;
43
);2()(
)()()(
)())((
22
2
22
10
22
2
22
2
22
10
22
2
22
21020
Cx
CCx
CCxx
;
1
2
)1(
2
2
)(
22
)(
22
20
22
10
22
22
10
22
20
22
22
1020
2
xx
x
xxx
C
.
1
2
)1(
2
1
2
)1(
2
22
20
22
10
22
20
22
10
101
xxxx
xC
).(
1
2
)(
2
)(
2
1
222
1
222
1
2
)1(
2
1
2
)1(
2
1
2
)1(
2
1
2
)1(
2
]
1
2
)1(
2
[
]
1
2
)1(
2
[
2222
22222222
222222
222222
2222
2222
2222
2222
22
22
22
20
22
1010
22
20
22
1010
22
20
22
1010
22
20
22
10
22
20
22
10
)(
22
20
)(
22
10
)(
22
20
)(
22
10
)(
22
20
22
10
)(
22
20
22
10
1
ttt
tttttt
tttttt
tttttt
tttt
tttt
tt
tt
t
t
eee
x
eee
x
eee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
xx
e
xx
x
Подставляя найденные константы в (***), получаем:
44
).(
2
)(
2
)()(
2
)(
2
)(
2
)(
2
)()(
2
22
2
)(
2
22
2
)(
2
)1(
2
)(
2
)1(
2
)(
2
)1(
2
)(
2
)1(
2
)(
2
)(
2
))(1(
2
)(
2
))(1(
2
)](
1
2
)1(
2
[
)](
1
2
)1(
2
[
22222222
2222
22222222
22222222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
22
22
22
2020
22
2
22
10
22
2020
22
2
10
22
10
22
2020
22
2
10
22
10
22
2020
22
2
10
22
10
22
20
22
2
22
10
22
20
22
2
22
10
22
20
22
2
22
10
22
20
22
2
22
10
)(
22
22
20
)(22
22
10
)(
22
22
20
)(22
22
10
)(22
22
20
22
10
)(22
22
20
22
10
2
tttttt
ttt
tttttt
tttttt
tttt
tttt
tttt
tttt
tttt
tttt
tttt
tttt
tt
tt
t
t
eee
x
eee
x
eee
x
eee
x
eee
x
eee
x
eee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
ee
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
xx
e
xx
x
45
Слагаемые в этих выражениях можно было бы сгруппировать и по-
022
2222
i
xixe
ix
sincos
);sin(
1
)sin()cos(
)(
1
2
)(
2
)(
2
22
22
20
22
22
10
22
10
22
20
22
1010
1
2222
22222222
textextex
eee
x
eee
x
eee
x
x
ttt
ttt
tttttt
).sin(
)cos()sin()(
)(
2
)(
2
)()(
2
22
22
20
22
20
22
22
2
22
10
22
2020
22
2
22
10
2
22222222
2222
tex
textex
eee
x
eee
x
eee
x
x
t
tt
tttttt
ttt
1
x
2
x
12
xxx
C
C
U
U
x
x
X
2
1
2
RX
R
Uy
1
Ry
другому, но данная форма удобнее для рассмотрения колебательного режима,
когда
, и особая точка имеет тип "устойчивый фокус". В этом случае
Используя формулу Эйлера
получим:
.
,
Во всех полученных выражениях для
и
выполняется условие
.
1.4.8. Расчет передаточной функции с матрицами
Определим передаточную функцию RLC-цепочки в предположении, что
управлением является ЭДС, переменными состояния – напряжение на конденсаторе и его производная по времени, а выходом – напряжение на резисторе:
,
46
,
,
,
Eu
,
1
Ru
EUURCULC
CCC
LC
E
U
LC
U
L
R
U
CCC
1
EUUU
CCC
22
2
.
,
2
1
C
C
Ux
Ux
.2,
2
21
2
2
21
uxxx
xx
).()()(
),()()(
tDutCXty
tButAXtX
2
10
2
A
2
0
B
CCR
UURCU
2
xy
0C
0D
DBAsECsW
1
)()(
2
1
)(
2
s
s
AsE
T
AA
AA
A
A
2221
1211
1
det
1
22
2)det(
ssAsE
s
s
ss
AsE
2
22
1
12
2
1
)(
s
ss
s
s
ss
BAsE
2
2
22
22
22
1
2
1
012
2
1
)(
;
;
;
;
,
,
;
;
;
;
;
;
;
47
2222
2
2
2
22
1
2
2
2
0
2
1
)(
ss
s
ss
s
s
ss
BAsEC
;
22
2
2
)(
ss
s
sW
EUUU
RLC
EUUU
RLC
RC
U
C
I
U
R
C
RL
U
R
L
ILU
EUU
R
L
RC
U
RR
R
E
L
R
LC
U
U
L
R
U
R
RR
EUUU
RRR
22
2
22
2
2
)(
ss
s
sW
2
0
2
2)(
2
)(
ii
i
iW
LC
1
0
.
Для проверки правильности полученного результата получим его более
простым способом. Запишем уравнение относительно выходной величины, UR:
;
;
;
;
;
;
.
1.4.9. Частотные характеристики системы 2-го порядка
Если выход – напряжение на резисторе, то АФЧХ:
,
где
– частота внешнего сигнала;
– собственная частота системы при отсутствии затухания:
0
.
Здесь необходимо было сделать переобозначение, чтобы отличить часто-
ту внешнего сигнала от внутренней частоты системы, которую будем называть
собственной (при отсутствии затухания).
48
.
1
2
2
1
2
1
)2()(
)(2
)2()(
)2(
)2()(
)2(2
)2()(
)(2
2)(
2
2)(
2
)(
2
22
0
22
0
2
22
0
2222
0
22
0
2222
0
2
2222
0
2222
0
22
0
22
0
2
0
2
i
i
ii
i
i
i
ii
i
iW
Введем обозначение
2
22
0
11
1
)(
22
iiW
.
)2()(
2
1
1
1
1
)1()1(
1
|)(|)(
222
2
0
2
2
2
22
2
22
iWA
2
0
2
2
0
2
)(
ss
sW
.
)2()(
2
)2()(
)2()(
2
22)(
)(
2222
0
2222
0
22
0
2
0
2222
0
22
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
2
0
i
i
iii
iW
Тогда
.
;
При совпадении значений внешней и собственной частоты усиление амплитуды
равно единице, в остальных случаях оно меньше единицы.
Если выход – напряжение на конденсаторе, то передаточная функция
.
Соответственно АФЧХ
49
2222
0
2
0
22222
0
2222
0
2
0
)2()(
))2()((
)2()(
)(
A
Исследуем АЧХ на экстремум:
3
2222
0
222
0
2
0
3
2222
0
22
0
2
0
)2()(
)2()(2
)2()(2
222)2)((2
)(
A
0)(
A
0)2()(2
222
0
0
m
02
222
0
m
22
0
2
m
22
0
22
m
1)(
A
2222
0
2
0
)2()(
2222
0
4
0
)2()(
2422
0
4
0
4
0
)2(2
0)2(2
222
0
4
0)2(2
22
0
2
22
0
2
42
)2(2
22
0
22
0
22
m
2
.
;
1:
2:
.
.
Вспомним, что при наличии затухания собственная частота колебаний
определяется формулой:
.
Интересно, что максимум АЧХ находится на частоте, не равной соб-
ственной частоте, а связанной с ней той же формулой:
.
Исследуем вопрос, когда АЧХ больше единицы:
.
;
;
;
;
;
;
;
;
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]