Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели, характеристики и структуры линейных систем управления. Учебное пособие
.pdf
Так как
dt
tdt)(1
)(
dt
tdhtw)(
)(
)(lim)(lim
0
ssXtx
st
)(lim
)(
lim)(lim
00
sW
s
sW
sth
sst
t
e
s
L
s
L
s
s
s
LsW
s
Lth
}
1
1
{}
1
{}
1
1
{)}(
1
{)(
1111
t
e
dt
tdh
tw
1)(
)(
ttx
sin)(1
)sin()(
2
tAtx
t
,
то
.
Преобразование Лапласа обладает свойством
.
Отсюда имеем
.
То есть установившееся значение выхода при единичном ступенчатом воздействии – это значение передаточной функции при s=0.
Рассчитаем переходную и весовую функции дифференцирующего звена:
.
1.3.3. Частотные характеристики
Частотные характеристики (ЧХ) – функции, показывающие реакцию звена на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме.
Пусть входной сигнал
.
;
Тогда в установившемся режиме (по окончании переходных процессов) выходной сигнал
,
где A – усиление амплитуды;
– сдвиг фазы.
21
Или в комплексном виде
titetx
ti
sincos)(
1
)sin()cos()(
)(
2
tiAtAAetx
ti
t
i
t
Ae
tx
tx
)(
)(
1
2
)...(...
111,1
)1(11
1,1
)(
1,1221,2
)1(21
1,2
)(
2,2
xxxxkxxxx
mm
m
mm
m
nn
n
nn
n
.)1)(...)()((
)1)(...)()((
1,1
11
1,1,1
)(
1,2
11
1,2,2
timm
m
mm
m
tinn
n
nn
n
eiiik
Aeiii
)(
1)(...)()(
)1)(...)()((
)(
)(
1,2
11
1,2,2
1,1
11
1,1,1
1
2
iW
iii
iiik
Ae
tx
tx
nn
n
nn
n
mm
m
mm
m
i
t
dtetwiW
ti
0
)()(
deiWtw
ti
)(
2
1
)(
В установившемся режиме в отношении выходного сигнала к входному
зависимость от времени пропадает:
Подставим x1 и x2 в уравнение системы:
Получим
;
.
.
.
.
Эта величина называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) или частотной передаточной функцией. Ее аргументом является
частота входного сигнала.
Тот же результат получится, если применить к уравнению системы пре-
образование Фурье.
Преобразованием Фурье АФЧХ связана с импульсной переходной (весовой) функцией:
;
Здесь так же проявляется смысл второго названия импульсной переход-
ной функции.
.
22
Пример. Фильтр нижних частот.
t
etw1)(
.
1
1
1
1111
)()(
0
1
0
1
00
i
e
i
dtedteedtetwiW
titi
ti
t
ti
)()()(
iIRiW
|)(|)(
iWA
)(arg)(
iW
АФЧХ является комплексной величиной и включает действительную и
мнимую части:
Действительная часть АФЧХ называется вещественной частотной харак-
.
теристикой (ВЧХ), мнимая – мнимой частотной характеристикой (МЧХ).
Модуль АФЧХ называется амплитудной частотной характеристикой
(АЧХ):
.
Аргумент АФЧХ называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ):
.
Годограф АФЧХ на комплексной плоскости при [0,∞[ называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) (рис. 6).
Рис. 6. Годограф АФЧХ
Годограф систем, у которых порядок полинома числителя меньше поряд-
ка полинома знаменателя, заканчивается в начале координат.
23
Частота
22
IRA
A
R
A
I
R
I
arctg arccosarcsin
|)(|lg20)(lg20)(
iWAL
1
2
lg
P
P
Бел
, для которой A(
c
)=1, называется частотой среза (рис. 7). Об-
c
ласть частоты среза называется областью средних частот.
Рис. 7. Частота среза
АЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ связаны между собой соотношениями:
;
.
АЧХ удобно представлять в логарифмическом масштабе:
.
Эта величина называется логарифмической амплитудной частотной ха-
рактеристикой (ЛЧХ). На графике ЛЧХ ось абсцисс является равномерной не
по частоте, а по ее десятичному логарифму. Единицей отсчета на логарифмической оси частот является декада – интервал, на котором частота увеличивается
в 10 раз, а ее логарифм, соответственно, на единицу.
Величина L(ω) отсчитывается в децибелах (дБ). По определению, Бел –
единица, в которой именуется значение десятичного логарифма отношения
мощностей сигналов:
.
Это величина безразмерная. То есть Бел – не единица измерения, а единица счета, логарифм "разов". Если отношение мощностей в "разах" равно десяти, то в Белах – одному, а в децибелах, соответственно, десяти. Также нужно
учесть, что АЧХ – это отношение амплитуд, а не мощностей. Мощность сигна-
24
ла пропорциональна квадрату амплитуды силы тока или напряжения сигнала,
10
lg
20
10
lg
10
10
lg
10lg
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
A
A
A
A
P
P
P
P
tAE
sin
tAQsin
dxxPdxxP
eConstdxexQuvy
)()(
))((
поэтому коэффициент при логарифме равен не десяти, а двадцати:
.
Частота, при которой ЛЧХ пересекает ось абсцисс, является частотой сре-
за. На частоте среза АЧХ равна единице, а ЛЧХ – нулю.
ЛЧХ и ФЧХ обычно изображаются вместе. Ось абсцисс, конечно, для
обеих характеристик одна – логарифм частоты, но значение ФЧХ не преобразуется, оно остается в градусах или радианах.
Логарифмическая частотная характеристика обладает двумя важными
свойствами:
– значение ЛЧХ для произведения передаточных функций звеньев, что соот-
ветствует их последовательному соединению (см. далее), равно сумме ЛЧХ
отдельных звеньев;
– в различных интервалах частот ЛЧХ асимптотически приближается к пря-
мым, наклон которых составляет 0 дБ/дек, ±20 дБ/дек, ±40 дБ/дек и т.д., так
что можно проводить расчеты на основе асимптотических ЛЧХ, которые
представляют собой ломаные линии и легко строятся вручную.
Частоты, соответствующие точкам излома асимптотической ЛЧХ, назы-
ваются сопрягающими.
1.3.4. Частотные характеристики RC-цепочки
Пусть
.
Тогда
;
.
25
tt
C
eConstdtet
A
U
)sin(
;
;sin)(cossin
)sincos(sin
cossinsin
22
222
dtetetet
dtetetet
dtetetdtet
ttt
ttt
ttt
tt
ettdtet )cos(sin
1)(
sin
2
;)cos(sin
1)(
))cos(sin
1)(
(
2
2
t
tt
C
eConsttt
A
eConstett
A
U
Const
A
U
C
1)(
2
0
t
CC
e
A
Utt
A
U
)
1)(
()cos(sin
1)(
2
0
2
CвCсC
UUU
t
CC
eUU
0
t
x
t
x
t
Cв
dxxte
A
dxxtAedxxtgxwtU
000
)(sin)(sin
1
)()()(
;)(sin)(cossin
)(sin)(cos
sin)(cos)(sin)(sin
0
222
0
0
0
0
0
t
xt
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
dxxtetet
dxxtexte
tdxxtextedxxte
;
;
.
Второй способ решения. Представим решение в виде суммы собственного и вынужденного решений:
.
Собственное решение:
.
Вынужденное решение рассчитаем как свертку входного воздействия с весовой
функцией:
;
26
)cossin(
1)(
1
)(sin
22
2
0
t
t
x
ettdxxte
;
1)(
)cos(sin
1)(
)cos(sin
1)(
22
2
t
t
Cв
e
A
tt
A
ett
A
U
.
1)(
)cos(sin
1)(
1)(
)cos(sin
1)(
2
0
2
0
22
t
C
t
C
t
C
e
A
Utt
A
eUe
A
tt
A
U
)sin(cossin
t
h
at
c
at
s
a
22
csh
aaa
s
c
h
c
h
s
a
a
arctg
a
a
a
a
arcsinarccos
t
CCC
e
A
Ut
A
U
)
1)(
()sin(
1)(
2
0
2
)(
1)(
1
arccos
2
arctg
C
.)
1)(
()cossin(
1)(
)
1)(
(cos
1)(
sin
1)(
)(
)
1)(
(cos
1)(
sin
1)(
sin
2
0
2
2
0
22
2
2
0
22
t
C
t
C
t
CCR
e
A
Utt
A
e
A
Ut
A
t
A
e
A
Ut
A
t
A
tAUEU
Используем формулу
;
,
Тогда
где
где
Напряжение на резисторе
,
.
,
.
27
Окончательно
t
CRR
e
A
Ut
A
U
)
1)(
()sin(
1)(
2
0
2
1
)(1
arccos
2
arctg
R
1
1
)(
s
sW
1)(1)(
1
1)(
1
))1)(1(
1
1
1
)(
222
i
i
ii
i
i
iW
1)(
1
)(
2
R
1)(
)(
2
I
)(
1)(
1
)1)((
)(
)1)((
1
)()(
222
2
22
22
RIR
0)()()(
22
RIR
,
где
.
Таким образом, при гармоническом входном сигнале напряжения на кон-
денсаторе и резисторе имеют две составляющие: гармоническую и экспоненци-
альную. Экспоненциальная составляющая затухает со временем и представляет
собой переходный процесс, который включает и собственное решение. Ампли-
туда и сдвиг фазы гармонической составляющей зависят от параметров входно-
го сигнала и параметров цепочки. Частота ее не зависит от этих параметров и
равна частоте входного сигнала.
Рассчитаем частотные характеристики RC-цепочки для двух случаев:
фильтра нижних частот (выход – UC) и фильтра верхних частот (выход – UR).
Для фильтра нижних частот
;
;
;
.
Рассчитаем годограф:
;
;
28
0)(
2
1
2
1
)()(
2
22
2
IRR
;
2
2
2
2
1
)(
2
1
)(
IR
;
1)(
1
1)(
1)(
)1)((
)(
)1)((
1
)()(|)(|)(
2
2
2
22
2
22
22
IRiWA
)(
1)(
1
arccos
1)(
arcsin
22
arctg
1)(s
s
sW
.
1)(1)(
)(
1)(
)(
)1)(1(
)1(
1
)(
22
2
2
2
i
i
ii
ii
i
i
iW
1)(
)1)((
)(
)1)((
)(
)(
2
22
2
22
4
A
1
1)(
arccos
2
arctg
.
Таким образом, годограф фильтра нижних частот представляет собой по-
луокружность, лежащую в четвертом квадранте, радиусом 0,5 и с центром в
точке (0,5;0). Отметим, что годограф не зависит от постоянной времени, но за-
висит от крутизны статической характеристики, которая для рассмотренного
фильтра равна единице.
.
Для фильтра верхних частот
;
Годограф фильтра верхних частот представляет собой полуокружность,
лежащую в первом квадранте, радиусом 0,5 и с центром в точке (0,5;0).
;
.
29
Рассчитанные через передаточную функцию частотные характеристики
).1)lg((10)1)lg((20
1)(
1
lg20)(lg20)(
2
2
1
2
2
AL
1)(
2
01lg10)(
L
1)(
2
lg20lg20)lg(20)lg(10)(
2
L
0)lg(20
1
).1)lg((10
)(
1)(
lg10
1)(
)(
lg20
1)(
lg20)(lg20)(
2
2
2
2
2
2
AL
1)(
2
lg20lg20)lg(20)lg(10)(
2
L
1)(
2
01lg10)(
L
0)lg(20
1
полностью совпадают с результатами, полученными интегрированием диффе-
ренциального уравнения.
ЛЧХ фильтра нижних частот
Построим асимптотическую ЛЧХ фильтра нижних частот.
В области нижних частот
.
Это горизонтальная прямая, лежащая на оси абсцисс.
В области верхних частот
.
Это прямая с наклоном -20 (дБ/дек).
Определим сопрягающую частоту асимптотической ЛЧХ фильтра нижних частот:
.
ЛЧХ фильтра верхних частот
Асимптотическая ЛЧХ фильтра верхних частот
:
:
.
Сопрягающая частота асимптотической ЛЧХ фильтра верхних частот та же:
30
.
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]