Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели, характеристики и структуры линейных систем управления. Учебное пособие
.pdf
2. Структуры систем управления
)(
)(
)(
2
1
sP
skP
sW
kW )0(
12
kxx
)(
)(
)(
2
1
sP
sksP
sW
)(
)(
)(
2
1
sP
sPks
sW
m
2.1. Типы звеньев систем управления
2.1.1. Классификация звеньев систем управления
Передаточная функция определяет все остальные характеристики звеньев
систем управления. Поэтому их классификация осуществляется по типу пере-
даточной функции, с которым связан тип статической характеристики. По типу
статической характеристики выделяются следующие типы звеньев:
– позиционные (статические);
– дифференцирующие (ноль-статические);
– интегрирующие (астатические).
Позиционными называются звенья, у которых полиномы в числителе и
знаменателе передаточной функции:
содержат единицу.
Таким образом,
.
Соответственно они имеют установившееся состояние (свойство позиционно-
сти) с конечной статической характеристикой:
,
Дифференцирующими называются звенья, у которых отсутствует сво-
бодный член числителя, т.е. передаточную функцию можно записать в виде:
,
где P1(s) – полином со свободным членом, равным единице.
У дифференцирующих звеньев порядка m передаточная функция соответственно такова:
.
51
Таким образом, дифференцирующие звенья имеют нулевую статическую
0)0( W
)(
)(
)(
2
1
sPs
skP
sW
m
)0(W
12
kxx
ksW )(
1)(s
k
sW
1
)(
1
22
2
ss
k
sW
21
2
1
)(
1
22
2
ss
k
sW
21
2
характеристику:
Интегрирующим называется звено, у которого отсутствует свободный
член знаменателя:
Интегрирующие звенья имеют неограниченную статическую характеристику:
2.1.2. Позиционные звенья
.
.
.
Типы позиционных звеньев:
1. Пропорциональное (идеальное (безынерционное) усилительное) звено:
,
. Примерами таких звеньев являются жесткие механиче-
ские и гидравлические передачи, электронный усилитель низких частот.
2. Апериодическое (инерционное) звено первого порядка (фильтр нижних ча-
стот первого порядка):
. Примеры: электродвигатель (вход –
напряжение, выход – угловая скорость вала), RC-цепочка (вход – ЭДС, выход
– напряжение на конденсаторе), RL-цепочка (вход – ЭДС, выход – напряжение на резисторе).
3. Апериодическое звено второго порядка:
, где
(случай вещественных собственных значений).
4. Колебательное звено:
ных собственных значений). Частный случай колебательного звена с
, где
(случай комплекс-
=0
1
(незатухающие колебания) называется консервативным звеном.
52
Как уже было отмечено, позиционные звенья имеют однозначную связь
dtxkx
1
2
s
k
sW )(
)1()(ss
k
sW
12
xkx
kssW )(
1)(s
ks
sW
между входом и выходом в статическом режиме. Все они, за исключением про-
порционального звена, являются фильтрами нижних частот и вносят отрицательные фазовые сдвиги.
2.1.3. Интегрирующие и дифференцирующие звенья
Типы интегрирующих и дифференцирующих звеньев:
1. Идеальное интегрирующее звено:
,
. Примеры: ванна,
наполняющаяся водой из крана (вход – интенсивность струи, выход – объем
или уровень воды в ванне), электродвигатель (вход – напряжение, выход –
угол поворота вала).
2. Инерционное интегрирующее звено:
3. Идеальное дифференцирующее звено:
,
.
.
4. Инерционное дифференцирующее звено (фильтр верхних частот):
.
Интегрирующие звенья, как и апериодическое звено первого порядка, являются фильтрами нижних частот.
Дифференцирующие звенья являются фильтрами верхних частот, они
вносят положительные фазовые сдвиги.
Все перечисленные типы звеньев характеризуются отсутствием собствен-
ных чисел с положительной вещественной частью. Такие звенья называются
минимально-фазовыми. Соответственно неминимально-фазовое – звено, у которого хотя бы один корень числителя (ноль передаточной функции) или знаменателя (полюс) имеет положительную вещественную часть.
53
2.1.4. Звено запаздывания
)()( txdty
)()( dtxty
)}({
)}({
)}({
)}({
)(
)(
)(
txL
dtxL
txL
tyL
sX
sY
sW
)}({)}({ txLedtxL
ds
ds
esW
)(
id
eiW
)(
1)(
A
d)(
Звено запаздывания стоит особняком. Оно имеет экспоненциальную пе-
редаточную функцию. Его появление связано с тем, что в системах управления
бывают элементы, вносящие задержку (рис. 9).
Рис. 9. Звено запаздывания
Сигнал на их выходе – запаздывающий входной сигнал, то есть сдвину-
тый по оси времени в положительном направлении на некоторую постоянную
величину:
или
.
Передаточная функция звена запаздывания:
.
В соответствии с теоремой о запаздывании для преобразования Лапласа:
.
Тогда
.
Частотные характеристики звена запаздывания:
;
;
.
54
2.2. Виды и передаточные функции соединений звеньев
n
i
in
n
sWsWsWsW
sX
sY
sX
sX
sX
sX
sX
sY
sW
1
21
11
21
)()()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
n
i
i
ii
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
eAeAeAiWAeiW
1
11111
)()(
n
i
i
AA
1
)()(
nii1
)()(
)(
arctg
2.2.1. Последовательное соединение звеньев
Рассмотрим последовательное соединение звеньев системы управления
(рис. 10)
Рис. 10. Последовательное соединение звеньев
Тогда передаточная функция всей системы
.
Передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев
равна произведению передаточных функций звеньев. Это справедливо и для частотной передаточной функции:
АЧХ последовательно соединенных звеньев
ФЧХ последовательно соединенных звеньев
Таким образом, последовательное добавление i-го звена означает умно-
жение годографа на Ai и поворот на
Для фильтра нижних частот ФЧХ
В "конце" годографа (при
= ) сдвиг фазы составляет -/2. Таким обра-
.
.
.
.
i
.
зом, последовательное добавление фильтра нижних частот означает поворот
годографа в области верхних частот на девяносто градусов по часовой стрелке.
Выше было получено, что годограф фильтра нижних частот представляет собой
полуокружность, лежащую в четвертом квадранте. Таким образом, годограф
55
двух таких последовательно соединенных звеньев будет лежать в четвертом и
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
LAAAL
111
1
)()(lg20)(lg20)(lg20)(
1
n
i
i
xy
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
sW
sX
sX
sX
sX
sX
sY
sW
11
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
третьем квадранте, трех звеньев – в четвертом, третьем и втором квадранте, четырех – в четвертом, третьем, втором и первом квадранте и т. д.
ЛЧХ системы из последовательно соединенных звеньев равна сумме ЛЧХ
каждого звена:
.
Последовательное добавление фильтра нижних частот означает умноже-
ние знаменателя передаточной функции на (
асимптотической ЛЧХ на -20 дБ/дек на частоте сопряжения
s+1). Это соответствует излому
.
Наличие запаздывания в системе соответствует последовательному со-
единению звена запаздывания с другими звеньями. Это, в свою очередь, соответствует повороту каждой точки годографа на угол -d.
2.2.2. Параллельное соединение звеньев
Рассмотрим параллельное соединение, при котором выходы суммируются
(рис. 11).
Рис. 11. Параллельное соединение звеньев с суммированием выходов
В этом случае
.
Отсюда
.
56
Частотная передаточная функция параллельного соединения
)()()()())()(()()(
1111
iIRIiRiIRiWiW
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
ос
xxx
1
ос
XXX
1
YWX
осос
)()(
1
YWXWXXWWXY
осос
ос
з
WW
W
X
Y
W
1
ос
з
WW
W
X
Y
W
1
Таким образом, годограф параллельного соединения звеньев – это сумма
годографов звеньев.
2.2.3. Соединение звеньев с обратной связью
Рассчитаем передаточную функцию соединения с отрицательной обрат-
ной связью (рис. 12).
.
Рис. 12. Соединение звеньев с обратной связью
В случае положительной обратной связи
Посмотрим, что получится, если идеальное интегрирующее звено за-
мкнуть обратной связью (рис. 13).
;
;
;
;
.
.
Рис. 13. Замкнутое идеальное интегрирующее звено
57
1
1
1
1
1
s
s
s
W
.
ND
N
D
N
D
N
W
1
)()(1
)()(
)(1
)(
)(
iIR
iIR
iW
iW
iW
з
22
2
)1(
))1(()1(
)1)(1(
)1)((
)(
IR
IRRIiIRR
iIRiIR
iIRiIR
iW
з
2222
2
)1()1(
)1(
)(
IR
I
i
IR
IRR
iW
з
222
1
)1( IRA
R
))()()((
)(
1
)(
2
2
1
iIRA
A
iW
R
з
Получился фильтр нижних частот.
В общем случае, если передаточная функция разомкнутой системы запи-
сана как отношение полиномов (рис. 14), то передаточная функция замкнутой
системы будет такова:
.
Рис. 14. Замкнутая система общего вида
Посмотрим, как трансформируется годограф системы при замыкании ее
отрицательной обратной связью с единичной передаточной функцией:
;
;
.
Видно, что модуль ВЧХ замкнутой системы меньше единицы. Видно
также, что в знаменателе ВЧХ и МЧХ стоит квадрат АЧХ разомкнутой системы, сдвинутой по ВЧХ на единицу вправо. Обозначим эту величину через A
R+1
:
.
Тогда
.
58
2.3. Расчеты по структурным схемам
).))((
1
(
)
1
()
1
()(
FMYWGW
W
W
W
FEW
W
W
WFU
W
W
WFVWY
mr
d
d
o
r
d
d
o
d
d
oo
2.3.1. Передаточные функции для различных пар входов-выходов
Рассмотрим пример системы управления (рис. 15).
Рис. 15. Схема системы управления
Здесь:
Wr – передаточная функция регулятора;
Wd – передаточная функция привода;
Wo – передаточная функция объекта управления;
Wm – передаточная функция средства измерения;
g – задающее воздействие;
e – ошибка;
u – управляющее воздействие от регулятора на привод;
v – воздействие от привода на объект управления;
f – помехи объекта управления;
y – выходная величина;
m – помехи в средстве измерения;
Рассчитаем изображение выхода:
59
В данной системе имеется три входа: g, f и m. Можно рассчитать переда-
YWW
W
W
WGW
W
W
WYWGW
W
W
WY
mr
d
d
or
d
d
omr
d
d
o
11
))(
1
(
mr
d
d
o
r
d
d
o
yg
WW
W
W
W
W
W
W
W
G
Y
W
1
1
1
,
FWYWW
W
W
WFYWW
W
W
WY
omr
d
d
omr
d
d
o
1
))(
1
(
mr
d
d
o
o
yf
WW
W
W
W
W
F
Y
W
1
1
,
MWW
W
W
WYWW
W
W
WMYWW
W
W
WY
mr
d
d
omr
d
d
omr
d
d
o
11
)))((
1
(
mr
d
d
o
mr
d
d
o
ym
WW
W
W
W
WW
W
W
W
M
Y
W
1
1
1
,
точные функции с каждого из трех входов на выход. Для этого оставшиеся два
входа нужно положить равными нулю.
Для расчета передаточной функции с g на y положим равными нулю вхо-
ды f и m:
.
Отсюда
.
Эта передаточная функция называется главной. Конечно, ее можно было
бы получить прямым применением выражений для последовательного соеди-
нения звеньев и соединения с обратной связью.
Для расчета передаточной функции с f на y положим равными нулю вхо-
ды g и m:
.
.
Для расчета передаточной функции с m на y положим g и f равными ну-
лю:
.
.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]