Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели, характеристики и структуры линейных систем управления. Учебное пособие
.pdf
Если начальные условия нулевые, то
).()(
0
ssXdtetx
st
).()(
0
)(
sXsdtetx
nstn
11,1
11
1,1,121,2
11
1,2,2
)1...()1...( XssskXsss
mm
m
mm
m
nn
n
nn
n
1...
)1...(
1,2
11
1,2,2
1,1
11
1,1,1
1
2
sss
sssk
X
X
nn
n
nn
n
mm
m
mm
m
1...
)1...(
)(
)(
)(
1,2
11
1,2,2
1,1
11
1,1,1
1
2
sss
sssk
sX
sX
sW
nn
n
nn
n
mm
m
mm
m
kW )0(
)(
)(
)(
2
1
sP
skP
sW
Соответственно:
Применив преобразование Лапласа к нашей динамической системе в
предположении нулевых начальных условий, получим:
Теперь возьмем отношение изображения выхода к изображению входа:
.
.
Эта величина называется передаточной функцией.
Передаточная функция объекта – это отношение преобразования Лапласа
выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины при нулевых
начальных условиях:
.
Таким образом, передаточная функция от нуля – это статическая характеристика (передаточное число, коэффициент усиления).
В общем виде передаточную функцию можно записать как отношение
полиномов переменной s:
.
Полином числителя соответствует входной величине, полином знамена-
теля – выходной.
Дифференциальное уравнение состояния и передаточная функция несут
одну и ту же информацию о системе.
11
Можно осуществить и обратный переход – от передаточной функции к
11,1
11
1,1,121,2
11
1,2,2
)1...()1...( XssskXsss
mm
m
mm
m
nn
n
nn
n
)...(...
111,1
)1(11
1,1
)(
1,1221,2
)1(21
1,2
)(
2,2
xxxxkxxxx
mm
m
mm
m
nn
n
nn
n
0...
221,2
)1(21
1,2
)(
2,2
xxxx
nn
n
nn
n
EUU
CR
RIUR
EURI
C
дифференциальному уравнению:
;
.
Если внешнее воздействие отсутствует, то правая часть уравнения систе-
мы равна нулю:
.
В этом случае x2 представляет собой собственное решение системы. Видно, что если полином знаменателя передаточной функции приравнять к нулю,
то получится характеристическое уравнение системы. Корни характеристиче-
ского уравнения являются собственными значениями системы и одновременно
полюсами передаточной функции. Корни полинома числителя являются нулями
передаточной функции.
1.2.3. Уравнение RC-цепочки и его собственное решение
Уравнения динамических систем составляются на основе известных за-
конов, правил и соотношений.
Например, для составления уравнений электронных устройств можно ис-
пользовать правила Кирхгофа, законы Ома, электромагнитной индукции и т.д.
Рассмотрим RC-цепочку (рис. 3).
Рис. 3. Схема RC-цепочки
По второму правилу Кирхгофа имеем:
;
12
;
C
q
UC
;
C
I
UC
IUC
C
EUURC
CC
RC
01CCUU
01
C
C
U
dt
dU
C
C
U
dt
dU
1
dt
U
dU
C
C
1
Constdt
U
dU
C
C
ln
1
t
ConstU
C
lnln
t
C
eConstU
0
)0(
CC
UU
0C
UConst
t
CC
eUU
0
;
.
Получилась линейная динамическая система. Напряжение на конденсато-
ре – это выход, ЭДС источника питания – вход. Постоянная времени в этой системе – произведение RC:
.
Как было отмечено, если входное воздействие отсутствует, то решение
системы называется собственным. Найдем собственное решение:
;
;
;
;
;
;
.
Начальные условия
.
Окончательно
.
13
Соответственно
t
CCR
eUUU
00
)()( xQyxPy
uvy
vuvuy
)()( xQuvxPvuvu
)())(( xQvxPvuvu
0)( vxPv
dxxPev)(
)()(xQeu
dxxP
dxxP
exQu
)(
)(
ConstdxexQu
dxxP
)(
)(
.
Собственное решение представляет процесс разряда конденсатора.
Напряжение на конденсаторе изменяется от начального значения до нуля.
1.2.4. Полное решение уравнения RC-цепочки в случае постоянного вход-
ного воздействия и ее передаточная функция
Для нахождения полного решения уравнения представим его в виде:
,
где y, P, Q – функции x.
Будем искать решение в виде
.
Тогда
.
Подставляем y и ее производную в исходное уравнение:
;
. (*)
Поскольку u и v могут варьироваться при ограничении, чтобы их произведение давало y, то для v поставим следующее условие:
.
Решая это уравнение с точностью до постоянного множителя, получаем
.
Подставляем v в выражение (*)
.
Решаем это уравнение:
;
.
14
dxxPdxxP
eConstdxexQuvy
)()(
))((
В нашем случае
C
Uy
1
P
E
Q
t
dttP
ee
)(
ttttt
C
eConstEeConstEeeConstdte
E
U
)()(
0
)0(
CC
UU
EUConst
C0
)1()(
00
tt
C
t
CC
eEeUeEUEU
пу
yyy
вс
yyy
EUC
0
EUC
0
.
и независимая переменная – время.
Если E – постоянная, то
При начальных условиях
И окончательно
Из полученного выражения видно, что существует два варианта деления
полного решения на две части:
,
находим
,
,
,
.
.
.
1. Установившееся решение (при t), соответствующее внешнему воздей-
ствию, и переходный процесс, стремящийся к нулю при t, зависящий от
внешнего воздействия, начальных условий и свойств системы:
.
2. Собственное решение, обусловленное свойствами системы, и частное (вы-
нужденное) решение, обусловленное внешним воздействием и свойствами
системы:
.
Термин "установившееся решение" применим, конечно, только если пе-
реходный процесс затухает, т.е. стремится к нулю при t, как в рассмотренном примере.
Если
ния E. Если
, то конденсатор с течением времени заряжается до значе-
, то он разряжается до значения E.
Если E равно нулю, то получается собственное решение, найденное ранее.
15
Теперь определим передаточную функцию RC-цепочки.
EUU
CC
122
xxx
1
1
)(
)(
)(
1
2
ssX
sX
sW
01s
1
s
t
C
st
CC
eUeUU
00
EUEUE
RR
EUU
RR
1)(s
s
sW
Мы записали уравнение цепочки в следующем виде:
.
Или
.
Тогда передаточная функция
.
Объект с такой передаточной функцией называется фильтром нижних ча-
стот. Действительно, конденсатор оказывает низким частотам большее сопро-
тивление, чем высоким, и они падают на нем, то есть оказываются в данном
случае на выходе. А высокие частоты падают на резисторе.
Характеристическое уравнение
.
Отсюда собственное значение
.
Собственное решение, как и было получено выше,
.
Запишем уравнение RC-цепочки относительно UR:
;
.
Теперь выходной функцией является напряжение на резисторе. В этом случае
передаточная функция такова:
.
Это фильтр верхних частот или дифференцирующее звено с замедлением. Характеристическое уравнение, собственное значение и собственное решение – те
же самые.
16
1.2.5. Передаточная функция в терминах "вход-состояние-выход"
).()()(
),()()(
tDutCxty
tButAxtx
mln
RtuRtyRtx )(,)(,)(
).()()(
),()()(
sDUsCXsY
sBUsAXssX
)()()( sBUsAXssEX
)()()( sBUsXAsE
)()()(
1
sBUAsEsX
)()()()(
1
sDUsBUAsECsY
.)(
)(
)(
)(
1
DBAsEC
sU
sY
sW
Теперь введем еще одну величину – состояние объекта управления x
(рис. 4). На входе – управляющее воздействие.
Рис. 4. Представление объекта управления в терминах "вход (управление)-
состояние-выход"
Будем рассматривать вход, состояние и выход как векторные величины и
считать связи между ними линейными. Представим линейную непрерывную
систему управления в виде следующей системы уравнений:
Здесь
– векторы состояния, выхода и
управления (входа) соответственно, A – матрица nn, B – nm, C – ln, D – lm.
Применим к линейной системе управления преобразование Лапласа, считая начальное значение x нулевым:
Определим передаточную функцию:
;
;
;
,
где E – единичная диагональная матрица.
И окончательно
Это матричная функция размера lm.
17
Видно, что
.)(
)(
)(
1
BAsE
sU
sX
)(sW
x
.)()( DsCWsW
x
0)det( AsE
).()(
),()()(
11
txty
tutxtx
.
1
11
1
1
)()()(
1111
s
s
sDBAsECsW
).()()(
),()()(
11
tutxty
tutxtx
Эта величина представляет собой передаточную функцию со входа (управле-
ния) на состояние. Она обозначается
.
Характеристическим уравнением данной системы является
.
Рассчитаем передаточные функции RC-цепочки в ее представлении в ви-
де линейной системы управления с выделением входа (управления), состояния
и выхода.
Будем считать входной функцией (управлением) величину E, а выходом и
одновременно переменной состояния – UC, то есть u(t)=E, y(t)=x(t)=UC.
Приведем уравнение RC-цепочки при таких предположениях к форме системы управления:
Тогда A=--1, B=-1, C=1, D=0.
Результат, конечно, тот же – фильтр нижних частот.
Теперь определим передаточную функцию RC-цепочки, считая входной
функцией (управлением) величину E, переменной состояния – UC, а выходом –
напряжение на резисторе UR:
u(t)=E, x(t)=UC, y(t) = UR = E - UC.
Тогда система запишется в следующем виде:
18
A=--1, B=-1, C=-1, D=1;
1
1
1
1
1
1
1
1
1)()()(
1111
s
s
s
s
sDBAsECsW
)()()(
12
sXsWsX
)()(
1)(
2
1
sWsX
sX
)()()}({
1)(
2
1
1
twtxsWL
sX
)}({)(
1
sWLtw
)}({)( twLsW
t
в
dtxwtx
0
12
)()()(
Результат – фильтр верхних частот.
1.3. Временные и частотные характеристики
1.3.1. Импульсная переходная функция (весовая функция)
По определению передаточной функции
.
Если X1(s)=1, то
.
.
Обратное преобразование даст
Эта величина называется импульсной переходной или весовой функцией
объекта.
X1(s)=1, если x1(t)= (t), где (t) – дельта-функция Дирака.
Таким образом, импульсная переходная функция – это сигнал на выходе
объекта при единичном импульсе на входе.
Итак, импульсная переходная и передаточная функции связаны между
собой соотношениями:
Вынужденная составляющая выходного сигнала (частное решение) пред-
.
;
.
ставляет собой интеграл свертки входного сигнала и весовой функции:
.
Этим и обусловлено ее второе название.
19
Рассчитаем импульсную переходную функцию фильтра нижних частот:
t
e
s
L
s
LsWLtw
1
}
1
1
{}
1
1
{)}({)(
111
s
e
s
dtedtettLsX
ststst
11
)(1)}(1{)(
0
00
1
)(
1
)()()(
12
sW
s
sWsXsX
)}(
1
{)()(
1
)(1)(
2
1
sW
s
Lthtx
ttx
t
dthxthxtx
0
112
)()()()0()(
)(
1
)}({ sW
s
thL
1.3.2. Переходная функция
Переходная функция – это реакция объекта на единичное ступенчатое
воздействие (рис. 5)
.
Рис. 5. Единичное ступенчатое воздействие
Если на входе единичное ступенчатое воздействие, то
;
,
и выход представляет собой переходную функцию:
.
Выходной сигнал по произвольному входному сигналу можно рассчитать
с помощью интеграла Дюамеля, который представляет собой свертку произ-
водной входного сигнала и переходной функции:
переменную s:
.
Изображение переходной функции – передаточная функция, деленная на
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]