Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции. Свойства…
81
5.16. Средняя эффективность, эластичность
Для оценки эффективности использования ресурса применяется интегральный показатель – средняя эффективность [7], определяемая выражением f (x) / xi. Для характеристики изменения выпуска продукции при
увеличении затрат ресурсов используется отношение предельной и средней эффективностей, называемое эластичностью выпуска по отношению к изменению затрат i-го ресурса и считаемое следующим образом:
.
Эта величина может помочь ответить на часто возникающий вопрос:
на сколько процентов возрастет объем продукции при увеличении затрат i-го ресурса на 1 %?
Для функции (5.6) посчитаем все перечисленные во втором предположении производственных функций величины.
Предельная эффективность:
,
средняя эффективность:
.
Эластичность выпуска по отношению к изменению затрат единственного ресурса:
.
Как видно, производственная функция (5.6) характеризуется постоянной эластичностью выпуска по отношению к изменению ресурса.
5.17. Третье предположение
По мере увеличения одного ресурса при неизменном количестве
других предельная эффективность использования этого ресурса не возрастает. Математически это выражается:
, i = 1, …, n.
То есть при увеличении затрат ресурса производство растет, но интенсивность производства падает. Таким образом, при экстенсивном росте производства (повышении темпов производства только за счет уве-
Модуль 2. Модели математической экономики
82
личения использования ресурсов) эффективность использования ресурса падает. Например, при увеличении швейных машин при одном и том
же количестве имеющихся тканей и швей машины будут использоваться неэффективно, увеличится время простоя. Картина может измениться, если новые швейные машины качественно отличаются от предыдущих, увеличивая производительность труда. Но это уже не относится
к третьему предположению.
Проверим выполнение этого предположения для функции (5.6):
,
так как . То есть для функции (5.6) данное предположение вы-
полняется.
5.18. Четвертое предположение
Производственная функция должна быть однородна.
Пусть степень ее однородности равна . Тогда математически
это свойство выглядит так:
.
Производственная функция характеризуется определенной отдачей
от расширения масштабов производства. В отличие от предыдущего
предположения, в котором увеличивалось использование лишь одного
ресурса, в данном случае учитывается одновременное пропорциональное увеличение затрат всех используемых ресурсов в t раз.
При функция характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства. В случае же – убывающей отдачей, при – постоянной отдачей (наиболее часто встречающийся
случай).
В случае функции (5.6)
.
Так как , то функция характеризуется убывающей отдачей
от расширения масштабов производства.
Для характеристики последствий изменения масштабов производ-
ства в общем случае вводят показатель , называемый эластично-
стью производства и вычисляемый по формуле
.
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции. Свойства…
83
Этот показатель характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштабов производства на один процент при
данной структуре ресурсов x.
Для производственных функций, удовлетворяющих четвертому пред-
положению, выполняется свойство .
5.19. Сумма эластичностей
Можно установить связь между эластичностью производства и эла-
стичностями выпуска по отношению к изменениям затрат ресурсов
(5.7)
То есть эластичность производства в некоторой точке пространства
ресурсов равна сумме эластичностей выпуска по отношению к затратам
производственных ресурсов в этой точке. В случае единственного ресурса эластичность производства совпадает с эластичностью выпуска по
отношению к изменениям затрат ресурса.
Поэтому для проверки этого свойства возьмем в качестве примера
функцию двух переменных:
.
Чтобы посчитать эластичности выпуска по отношению к изменени-
ям затрат ресурсов
, нужно посчитать предельные и средние эф-
фективности использования ресурсов.
5.20. Пример
Чтобы посчитать эластичности выпуска по отношению к изменени-
ям затрат ресурсов
, нужно посчитать предельные и средние эф-
фективности использования ресурсов [7].
Предельная эффективность:
,
;
средняя эффективность:
,
.
Модуль 2. Модели математической экономики
84
Эластичность выпуска по отношению к изменению затрат единственного ресурса:
,
.
Проверим выполнение четвертого предположения
.
Так как
, то функция характеризуется возрастающей отда-
чей от расширения масштабов производства. Как видно, функция удовлетворяет четвертому предположению.
Осталось найти эластичность производства и убедиться, что выполняется свойство (5.7). Эластичность производства:
.
Видим, что действительно
Заодно проверим для этой функции третье предположение:
,
,
что говорит о справедливости рассматриваемого предположения.
5.21. Возможности замещения ресурсов
Перейдем к анализу возможности взаимного замещения ресурсов
в производственных функциях выпуска одного продукта, для которых
выполняются четыре вышеуказанных предположения [7].
Для примера возьмем используемую для описания народного хозяйства производственную функцию с двумя ресурсами:
,
(5.8)
где y – конечная продукция народного хозяйства,
– общее количество
основных фондов,
– общее количество трудовых ресурсов в стране.
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции. Свойства…
85
Заметим, что все четыре предположения выполняются для функции
(5.8) (доказать это предполагается читателю), причем величина
Введем переменную
, которая имеет смысл отношения основных
фондов к численности трудящихся. Эта величина называется фондовооруженностью и означает количество основных фондов, приходящихся
на одного трудящегося.
При помощи введенной переменной мы можем перейти к производственной функции одной переменной:
.
Введем функцию
, которая будет отражать количе-
ство выпущенной продукции на одного трудящегося. Заметим, что
функция соответствует функции (5.6).
5.22. Изокванты. Свойства и графики изоквант
Введем понятие изокванты [7]. Возможность взаимного замещения
ресурсов означает, что одно и то же количество продукта y можно получить при различных сочетаниях ресурсов. Совокупность таких сочетаний ресурсов (точек в пространстве ресурсов), при которых может быть
произведено определенное количество продуктов
, называется изокван-
той и обозначается:
Изокванты обладают следующими свойствами:
1. Они не пересекаются друг с другом.
2. Изокванта
разбивает неотрицательный ортант простран-
ства ресурсов на два множества, в одном из которых
, а в дру-
гом
, причем граница между этими множествами проходит по
изокванте
.
3. Большему выпуску продукции соответствует изокванта, более
удаленная от начала координат.
4. Изокванты не имеют общих точек с осями координат.
5. Изокванта
представляет собой зависимость
Модуль 2. Модели математической экономики
86
Для функции (5.8) изокванта выглядит как
.
Видно, что это – зависимость , но в неявном виде. В данном
случае можно выявить явный вид изокванты:
.
(5.9)
Полученная функция показывает, сколько необходимо трудовых ресурсов для получения заданного количества продукции при использова-
нии объема основных фондов
.
Все производственные функции с двумя ресурсами обладают общим
свойством: они являются убывающими.
5.23. Предельная форма замещения
Все изокванты производственных функций с двумя ресурсами обладают общим свойством: они являются убывающими.
Введем величину
.
Поскольку функции убывают, то величина , так как при
уменьшении использования одного ресурса для сохранения выпуска
продукции надо увеличить использование другого ресурса. Величину
называют предельной нормой замещения одного ресурса другим. Она
показывает, сколько второго ресурса может быть высвобождено при
увеличении затрат первого ресурса, если выпуск продукции остается
неизменным.
Для функции (5.8) величину посчитаем двумя способами:
.
.
То есть для функции (5.8) абсолютная величина предельной нормы
замещения труда основными фондами обратно пропорциональна фон-
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции. Свойства…
87
довооруженности
. Этот факт объясняется все той же причиной:
увеличение фондовооруженности приводит к уменьшению количества
трудовых ресурсов, высвобождаемых каждой новой единицей основных
фондов.
5.24. Изоклинали
Линии
называются изоклиналями производственных
функций с двумя ресурсами. Для функции (5.8) изоклинали имеют вид
Как видно, в этом случае изоклинали имеют особенно простой вид –
они являются лучами, исходящими из начала координат. Такое свойство
имеют изоклинали всех однородных производственных функций.
5.25. Эластичность замещения ресурсов
Для количественной характеристики скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты используется понятие эластич-
ности замещения ресурсов [7]:
.
Понятие эластичности замещения ресурсов имеет следующий смысл:
она приближенно показывает, на сколько процентов должно измениться
отношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы при этом
предельная норма замещения изменилась на 1 %.
Иногда для выражения эластичности замещения ресурсов применяется более простая для использования форма:
.
Воспользовавшись этой формулой, вычислим эластичность замеще-
ния ресурсов для функции (5.8). Заметим, что
. Тогда
.
Модуль 2. Модели математической экономики
88
При помощи первой формулы мы получим тот же результат. Заметим, что
.
Тогда
.
В данном случае эластичность замещения ресурсов постоянна. При
стремлении величины к нулю замещение между ресурсами отсутствует, а при стремлении величины к бесконечности каждый из ресурсов
используется независимо.
5.26. Распространение на случай нескольких ресурсов
Все изложенные здесь понятия могут быть обобщены на случай
произвольного числа ресурсов.
В частности, предельная форма замещения для ресурсов i и j
характеризует отношение между малыми изменениями количеств этих
ресурсов при сохранении выпуска на прежнем уровне.
Эластичность замещения ресурсов i и j
,
где по-прежнему меняются объемы двух ресурсов: i-го и j-го. Эластичность замещения ресурсов i и j приближенно показывает, на сколько
процентов должно измениться отношение ресурсов i и j, чтобы при
этом предельная норма замещения этих ресурсов изменилась на 1 %.
Задания
1. Проверить для производственной функции (5.8) выполнение всех
четырех предположений для производственных функций выпуска, описанных в данной главе.
2. Исследовать функцию (5.9) и построить график одной из изоквант.
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
89
Глава 6. Основные типы и построение производственных функций
6.1. Функции выпуска
Рассмотрим функции выпуска, наиболее часто использующиеся в исследованиях [5–8].
Степенные производственные функции
Степенная производственная функция с ресурсами имеет следующий вид [7]:
,
где y – объем продукции, которая является скалярной величиной, a
,
, …
– положительные параметры. Кроме того, предполагается, что
.
Эти функции были предложены учеными К. Коббом и П. Дугласом
для описания связи между объемом общественного продукта и двумя
важнейшими ресурсами – трудовыми и основными производственными.
С частным видом этих функций мы уже встречались в главе 5.
Проверим выполнение всех предположений, введенных для всех производственных функций.
Видно, что если какое-то , то y = 0, т. е. первое свойство вы-
полняется.
Проверим выполнение второго предположения (см. п. 5.15). Для
этого найдем предельную эффективность j-го ресурса:
,
т. е. предположение 2 (см. п. 5.15) выполняется.
Найдем среднюю эффективность j-го ресурса:
.
Заметим, что чем меньше
, тем больше предельная и средняя эф-
фективности. И наоборот, чем больше
, тем меньше предельная и сред-
няя эффективности.
Эластичность выпуска по j-му ресурсу равна
,
Модуль 2. Модели математической экономики
90
тем самым определяется смысл параметров
как эластичности выпус-
ка по соответствующему ресурсу, которые, заметим, не зависят от количества используемых ресурсов.
Проверим выполнение третьего предположения:
,
а также четвертого:
.
То есть эластичность выпуска равна
. Тем самым
свойство
выполняется для данной функции.
Как видно, четвертое свойство выполняется, при этом отдача возрастает, если
, отдача убывает, если
и отдача по-
стоянная, если
.
Итак, все четыре рассматриваемых предположения выполнены для
степенной производственной функции.
Рассмотрим вопрос о замещении ресурсов.
Изокванта степенной функции определяется соотношением
.
Предельные нормы замещения имеют вид
и являются линейными, следовательно, изоклинали степенной производственной функции являются плоскостями (или линиями при n = 2).
При пропорциональном росте объемов производственных ресурсов предельная норма замещения не изменяется. При стремлении количества
замещаемого продукта к нулю предельная норма замещения падает, но
остается положительной, т. е. возможность замещения сохраняется при
любых малых (но ненулевых) количествах замещаемого ресурса.
Найдем эластичность замещения по формуле
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]