Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели экологии и экономики. Учебное пособие
.pdf
Проектные задания к модулю 1
71
б) С учетом внутривидовой борьбы жертв за ресурсы:
,
.
в) С учетом фактора насыщения хищника:
,
.
г) С учетом выедания хищником жертвы:
,
.
д) C учетом конкуренции хищника за жертву:
,
.
е) С учетом конкуренции хищника за отличные от жертвы ресурсы:
,
.
ж) С учетом нелинейности размножения хищников:
,
.
3. Исследовать модель конкуренции, найти траектории численно-
стей популяции, построить фазовый портрет траекторий, точки равновесия и исследовать их на устойчивость:
а) Если одна из популяций имеет нижнюю критическую численность L:
,
.
б) Если обе популяции имеют нижнюю критическую численность:
,
.
Модуль 1. Модели математической экологии
72
4. Исследовать иерархическую модель (4.3)‒(4.8), (4.10)‒(4.11), найти
оптимальные стратегии Агента и Центра, а также соответствующий модели механизм поощрения и наказания в случае, если функция изменения численности популяции в отсутствие эксплуатации имеет вид:
(закон Мальтуса);
(закон Ферхюльста ‒ Пирла);
(закон Риккера).
73
МОДУЛЬ 2
МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции.
Свойства производственных функций
5.1. Введение. Моделирование материальных благ
При описании любой производственной экономической системы
производственно-технический уровень этой системы моделируется на
основе материальных закономерностей производства, распределения
и потребления материальных благ [7]. Поэтому при построении экономико-математической модели первое, что нужно сделать, – составить
список участвующих в модели материальных благ. Часто материальные блага называют продуктами, в число которых обычно включается
и производственное сырье. Это имеет определенный смысл, так как
большинство материальных благ является результатом деятельности
людей.
5.2. Список материальных благ: сырье и продукты
Выделение списка продуктов зависит как от рассматриваемой системы, так и от целей исследования [7]. Например, при моделировании
участка мелкосерийного производства в список продуктов будет входить список деталей, выпускаемых на заводе, а также список сырья, используемый для производства этих деталей. При описании модели отрасли практически невозможно перечислить всю продукцию и сырье,
поэтому в качестве списка продуктов используется совокупная продукция, измеряемая в денежном эквиваленте. Важно выбрать единицы измерения количества выпускаемой продукции и сырья. В случае модели
участка мелкосерийного производства детали измеряются в штуках,
а сырье, допустим, в тоннах. При описании модели отрасли производства измерение происходит в деньгах, которые объединяют в один показатель продукты и сырье различного типа.
Так как производство невозможно без участия людей, необходимо
также учитывать людские ресурсы. Единицами измерения могут быть
Модуль 2. Модели математической экономики
74
количество работников каждой специальности, количество человекочасов, а в более сложных системах – общее количество трудовых ресурсов без различия в специальностях.
Моделируемая экономическая система представляется в виде набора элементарных экономических единиц, каждая из которых имеет
собственные функции, связанные с производством, потреблением, распределением или хранением материальных благ. Причем набор элементарных единиц, так же как и список продуктов, зависит как от системы, так и от целей исследования. Каждая экономико-математическая
модель производственно-технологического уровня экономической системы состоит из описания: 1) потоков материальных благ и трудовых
ресурсов между элементарными экономическими единицами; 2) закономерностей преобразования ресурсов и продуктов в этих элементарных единицах.
Одна и та же экономическая система в одних случаях может представляться разными способами. Если исследователя интересуют внутренние свойства системы, то система представляется в виде совокупности подсистем, в противном случае она представляется элементарной единицей.
5.3. Потоки между материальными благами.
Балансы и ограничения
Следующим этапом описания производственной модели после выделения списков материальных благ и списка элементарных экономических единиц является описание потоков между элементарными единицами и закономерностей преобразования ресурсов и продуктов в этих
единицах [7]. Эти потоки подчиняются законам сохранения и описываются балансовыми соотношениями, общий принцип построения которых можно выразить следующим образом: суммарное потребление любого продукта не превышает (или равно) суммы его исходных запасов,
производства и поставок извне.
Кроме законов сохранения в модели могут быть другие ограничения, в частности, на величины потоков, в том числе социально экономического уровня.
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции. Свойства…
75
5.4. Преобразования между сырьем и продукцией
Следующий этап после описания потоков материальных благ между
элементарными единицами – формулировка в математической форме
закономерностей преобразования ресурсов и продуктов в этих единицах. Именно эти соотношения, которые описывают закономерности выпуска новых продуктов в производственных элементарных единицах модели, называют производственными функциями.
Виды производственных функций: функции выпуска, функции затрат и производственные способы [7].
5.5. Определение производственной функции
Производственными функциями [7] (в широком смысле) называют
соотношения между используемыми в производстве материальными благами и трудовыми ресурсами и выпускаемой продукцией.
Введем следующие обозначения. Пусть в модели рассматривается
n производственных ресурсов, включая трудовые, xi ‒ количество i-го
ресурса, используемого в течение некоторой единицы времени, m – количество выпускаемых продуктов, yj – объем j-го выпускаемого продукта, a = (a1, …, ap) – вектор параметров производственной функции, которая связывает между собой значение вектора продукции y со значением вектора-ресурсов x:
F(x, y, a) = 0,
(5.1)
которое, в свою очередь, также может быть векторным. Продолжительность производственного цикла при этом не учитывается.
5.6. Описание элементарной производственной единицы
Описание элементарной производственной единицы начинается
с формулировки списка ресурсов и номенклатуры продукции с указанием характерных значений и пределов изменения этих величин [7]. Характерные значения объемов используемых ресурсов определяют единицы измерения, применяемые в производственных функциях. Могут
использоваться безразмерные величины, когда за единицу берется выпуск продукции или затраты ресурсов в известный (допустим, начальный или предыдущий) период, а остальные величины считаются как
процент от них.
Модуль 2. Модели математической экономики
76
Но не все величины, влияющие на производство, можно описать количественно. Примерами таких факторов являются концентрация и рационализация производства, организация труда, структура управления
и т. д. В этом случае их влияние пытаются учитывать через воздействие
данных факторов на ресурсы, на структуру производственной функции
и ее параметры.
5.7. Различия ресурсов
Материальные производственные ресурсы необходимо различать по
способам их расходования в производственных процессах [7]. Обычно
выделяют материальные ресурсы двух типов: предмет труда (сырье)
и основные фонды (здание, оборудование и т. д.) Ресурсы первого типа
в процессе производства в течение одного производственного цикла
(т. е. периода выпуска продукции) расходуются полностью, ресурсы
второго типа используются в течение значительного числа производственных циклов.
5.8. Два типа производственных функций
Вместо представления производственной функции в виде (5.1) часто
используется два частных случая [7]:
1. Функции выпуска, в которых в качестве независимых переменных
выступают затраты ресурсов, а функцией является выпуск:
y = f (x, a).
(5.2)
2. Функции производственных затрат, в которых в качестве незави-
симых затрат выступает выпуск, а функцией – затраты:
x = h (y, a).
(5.3)
Напомним, что все компоненты x, y и a могут быть векторными, что
очень влияет на использование данных видов функций. Дело в том, что
выпуск определенного количества продукции в (5.2) можно, в общем
случае, обеспечить разными сочетаниями количества ресурсов. А затраты на выпуск продукции в (5.3) полностью определяются заданием выпуска продукции. Поэтому функции (5.3) используются тогда, когда
в описании элементарной экономической единицы отсутствует возможность замещения одного ресурса другим. Функции же выпуска используются тогда, когда есть возможность такой замены. Часто именно
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции. Свойства…
77
функции выпуска подразумевают под производственными функциями
в узком смысле.
5.9. Множество производственных возможностей
Множество производственных возможностей определяется как множество всех возможных сочетаний трудовых затрат и материальных ресурсов и выпусков продукции.
Приведем пример [7]. Пусть имеется единственный ресурс – допустим, ткань, измеряемая в погонных метрах, и единственный продукт –
допустим, количество футболок, которые можно сшить из этой ткани.
Остальные виды ресурсов (например, количество швей, ниток, фурнитуры и швейного оборудования) не учитываем, так как они остаются без изменений. Пусть коэффициент a (a > 0) – количество метров ткани, требуемых для шитья одной футболки. Тогда множество
0 ≤ y ≤ x / a, x ≥ 0 – количество футболок, которое можно сшить, имея
x метров ткани. Данное множество и есть множество производственных
возможностей (рис. 5.1).
Рис. 5.1
5.10. Связь множества производственных возможностей
с производственной функцией, графики
Предположим, что производство ведется эффективно, т. е. при данном количестве ресурсов выпускается максимальное количество продукции [7]. Тогда имеет смысл рассматривать не все множество производственных возможностей, а лишь верхнюю его границу
Модуль 2. Модели математической экономики
78
y = x / a, x ≥ 0,
(5.4)
которая и является производственной функцией в виде функции выпуска.
Множество производственных возможностей легко получить при
известной функции выпуска: надо предположить, что при имеющихся
ресурсах выпустить можно не только максимально возможное количество продукции, но и меньшее.
5.11. Аналогично с функцией затрат
Аналогичным образом можно перейти от описания в виде множества производственных возможностей к функции затрат [7]. Для этого
надо предположить, что производство данного неотрицательного объема продукции y достигается при минимальных затратах ресурса x.
В рассмотренном примере функция затрат:
x = ay, y ≥ 0.
(5.5)
Заметим, что функции (5.4) и (5.5) описывают одну и ту же закономерность. На рис. 5.2 изображено множество производственных возможностей, нижняя граница которого и есть функция затрат.
Рис. 5.2
В самом простом случае, когда имеется единственный ресурс и единственный продукт, переход от функции выпуска к функции затрат
и обратно осуществляется путем взятия обратной функции. Также в этом
случае имеется очень простая связь между множеством производственных возможностей и производственными функциями. В общем же слу-
Глава 5. Материальные балансы и производственные функции. Свойства…
79
чае, чтобы перейти от множества производственных функций к производственной функции, нужно построить все эффективные точки множества производственных возможностей, т. е. всех таких объемов затрачиваемых ресурсов и выпускаемой продукции, не уменьшив производства других видов продукции; кроме того, должно выполняться
условие, что данного выпуска нельзя добиться, уменьшив затраты хотя
бы одного ресурса, не увеличив при этом затраты других ресурсов. Но
здесь возникают другого типа вопросы, такие как: на каком основании
можно считать, что реализуются только эффективные точки множества
производственных возможностей? Имеются ли экономические механизмы, приводящие к реализации только эффективных точек? За неимением ответов иногда приходится вместо производственной функции использовать множество производственных возможностей.
5.12. Переход к функции выпуска
На примере функций выпуска y = f (x) рассмотрим основные их общие свойства [7]. Допустим, что имеется один продукт, несколько ресурсов и возможно замещение одного ресурса другим, т. е. y – скаляр,
x = (x1, x2, …, xn) – вектор с неотрицательными координатами x
i
≥ 0.
5.13. Предположения
Будем считать, что переменные x могут иметь непрерывный спектр
значений, при изменении компонент которых плавно меняется выпуск.
Математически это означает, что функция f: [0; ∞)n → [0; ∞) непрерывна. На практике это не совсем верно, так как не все ресурсы измеряются
непрерывно, некоторые измеряются дискретными величинами, в частности штуками. Будем считать, что дискретностью можно пренебречь,
что возможно в случае, если число потребляемых и выпускаемых единиц велико.
Далее обсудим свойства, общие для всех производственных функций с обсуждением исключительных случаев, когда эти свойства не выполняются [7]. Иногда для примера будем приводить наиболее применимую производственную функцию с одним видом ресурса – степенную с показателем, меньшим единицы:
, .
(5.6)
Модуль 2. Модели математической экономики
80
5.14. Первое предположение
Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного вида ресурса, т. е.
,
,
……
иначе говоря, каждый из ресурсов необходим хотя бы в малых количествах. Полное его отсутствие невозможно компенсировать другими ресурсами. Заметим, что условие выполняется для функции (5.6).
Это свойство обязательно для трудовых ресурсов и еще некоторых
типов ресурсов, например ткани или ниток для изготовления футболок.
Остальные ресурсы, скажем, тесьма или фурнитура, необязательны,
сшить футболки можно и в их отсутствие.
5.15. Второе предположение
При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается. Математически это означает, что функция f
не убывает, а в случае ее непрерывности ее производная неотрицательна:
при , i = 1, …, n.
Величина
называется предельной эффективностью (или произво-
дительностью) i-го ресурса, которая характеризует отношение прироста
выпуска продукции к малому приросту количества производственного
ресурса.
Заметим, что, хотя это свойство и очевидное, оно, тем не менее, не
всегда выполняется. Например, при увеличении количества удобрений
сначала производство зерна растет, но затем начинает уменьшаться. Для
функций, не удовлетворяющих этому свойству, вводится такое понятие,
как экономическая область – это множество аргументов функции, при
которой свойство выполняется (не убывает или производная неотрицательна). Границами таких областей функции y = f (x) являются кривые
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]