Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
3.16. Примеры максимизации прибыли
Для иллюстрации результатов, полученных синергетическим
методом максимизации прибыли, рассмотрим несколько примеров.
Пример 5.
Дано: единичные себестоимости двух товаров ε
фициенты линейных функций спроса a
= 25, a2 = 33 и b1 = b2 = 0,1.
1
Найти:
1) количества товаров и их цены прибыли;
2) величину прибыли;
3) вид экстремума прибыли.
Решение 1. Количества товаров находят из уравнения (15.14):
= 3, ε2 = 7 и коэф-
1
25 3
XX
−
110
11
==
201
⋅
,
33 7
−
130=
201
⋅
,
=
.
;
Цены товаров находят из уравнения (15.15):
25 3
PP
+
14
12
==+=;.
2
33 7
2
20=
Ответ 1: X1 = 110; X2 = 130; P1 = 14; P2 = 20.
Решение 2. Прибыль находят из уравнения (15.3) или (15.16):
π= − + − =()() ;14 3 110 20 7 130 2900
22
π=
⋅
401
−
(),()
25 3
+
−
33 7
⋅
401
=
.
2960
,
Ответ 2: π = 2900.
Решение 3. В соответствии с алгоритмом аналитического ме-
тода, подробно рассмотренным в главе 1, необходимо установить
уравнения экстремумов из значений определителей, соответствующих оптимизационной задаче. Количество определителей равно
равности числа переменных и числа ограничений. В данном случае имеется две переменные и одно ограничение. Следовательно,
необходим один определитель.
Первый столбец определителя содержит маржинальные целевые функции и маржинальные ограничения для независимой переменной (X или P), а второй столбец – аналогичные величины
для зависимой переменной (P или X). В соответствии с условием
экстремума такой определитель равен нулю. Вычислим элементы определителя дифференцированием уравнения для прибыли
и функции спроса:
PX
−=ε
b
1
0.
181
Раскрывая определитель, получаем уравнение экстремума:
PbX−− =ε 0.
Уравнение экстремума с уравнением спроса образуют систему
уравнений, решение которой дает количество товара и его цену:
a
−
X
=
b
22
P
;
a
+εε
=
,
которые совпадают с уравнениями (15.14) и (15.15), полученными иным образом. Подставляя исходные данные в полученные
решения, находим:
XP==100 15;,
что совпадает с уже полученны-
ми выше результатами. Прибыль имеет уже найденное значение
2900.
Для установления вида экстремума достаточно найти хессиан
первого порядка дифференцированием уравнения экстремума:
H
111
∂
PbXb
−−
()
X
∂
1
=− <πε .
0==
В соответствии с классическим критерием прибыль максимальна.
Ответ 3: X
= 110; X2 = 130; P1 = 14; P2 = 20; π = 2900.
1
Пример 6.
Дано: единичные себестоимости товаров ε
циенты линейных функций спроса a
b
= b
22
= 0,1.
11
1
= 25; a2 = 33; b
= 3, ε2 = 7, коэффи-
1
= b2 = 0,05;
12
Найти:
1) количества товаров и их цены;
2) величину прибыли;
3) вид экстремума прибыли.
Решение 1. Для наглядности расчетов выпишем исходные линейные функции спроса для двух товаров:
PXX
25 0 1 0 05
=− −
112
PXX
=− −
212
,,;
33 0 05 01
,,.
Расчетными будут уравнения экстремума (15.8), поэтому необходимо найти производные цен товаров по их количествам:
∂
P
1
∂
X
1
∂
P
=−
2
01 005 005 01,; ,; ,; ,.
=−
∂
X
1
∂
P
1
=−
∂
X
2
∂
P
2
=−
∂
X
2
Подстановка этих величин в (15.8) дает уравнения экстремума:
182
PXX
301 005 0−− − =,, ;
112
PXX
7005 01 0−− − =,,.
212
(16.1)
16.2)
Эти уравнения экстремума с функциями спроса образуют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Подставив
значения цен из уравнений спроса в уравнения экстремумов, получаем:
22 0 2 0 1 0
−−=
,,;
XX
26 0 1 0 2 0
Решая эту систему, получаем:
12
−− =
,, .
XX
12
XX
60 100==;.
12
Подстановка
этих значений в уравнения экстремума или спроса дает цены товаров:
PP
14 20==;.
12
Ответ 1:
XX PP
60 100 14 20====;;;.
12 12
Решение 2. Прибыль вычисляем из уравнения для прибыли:
π= − + − =()() .14 3 60 20 7 100 1960
Для установления вида экстремума прибыли вычисляем хес-
сианы дифференцированием уравнений экстремумов:
==
H
111
∂
π ,, ,;
∂
H
2
−−
22 02 01 02 0
()
X
1
−−
=
−−
XX
,,
02 01
,,
01 02
12
00
=
=− <
,330> .
В соответствии с классическим критерием прибыль макси-
мальна.
Ответ 2:
π=1960.
Решение 3. В данной оптимизационной задаче имеется четыре
переменные и два ограничения, т. е. имеется два определителя,
равные нулю в состоянии экстремума:
PXXPXX
3
−
112212
01 1 0
,
005 1
,
0
=
7
−
0
;
001 1 0
,
01 0 1
,
0
=
.
Раскрывая определители, получаем уравнения экстремума,
которые совпадают с уравнениями (16.1) и (16.2), полученными
другим способом. Это означает, что аналитический метод дает
такие же решения. Эти же решения подтверждены и с помощью
компьютерной программы Maple.
Пример 7.
Дано: единичные себестоимости товаров ε
циенты линейной функции спроса a
= 25; b1 = 0,1 и коэффициен-
1
ты логарифмической функции спроса a
2
= 3, ε2 = 7, коэффи-
1
= 30; b2 = 4.
183
Найти:
1) количества товаров и их цены для максимизации прибыли;
2) величину максимальной прибыли;
3) количества товаров, их цены и прибыль аналитическим ме-
тодом.
Решение 1. Количества товаров находим из уравнений (15.14)
и (15.20):
25 3
XX
Цены товаров находим из уравнений (15.15) и (15.20):
Ответ 1:
Решение 2. Прибыль находится из общего уравнения для при-
были:
Ответ 2:
Решение 3. В данной оптимизационной задаче имеется четыре
переменные и два ограничения. Следовательно, имеется два определителя, равные нулю в состоянии экстремума. Вычислим эти
определители и найдем уравнения экстремума:
Раскрывая определители, получаем уравнения экстремума:
Решая первое уравнение экстремума с первой функцией спроса и подставляя полученное значение цены второго товара во вторую функцию спроса, получаем подтверждение уже полученных
результатов.
Пример 8.
Дано: единичные себестоимости товаров ε1 = 3, ε2 = 7, коэффи-
циенты экспоненциальной функции спроса a1 = 20; b1 = 0,01 и коэффициенты логарифмической функции спроса a2 = 30; b2 = 4
Найти:
1) количества товаров и их цены для максимизации прибыли;
2) величину максимальной прибыли;
−
12
XX PP
π=1672 34,.
,
201
⋅
25 3
PPbe
1222
110 115 58 14 11== ==;,;;.
12 12
π= − + − =()(), ,.14 3 110 11 7 115 58 1672 34
PXX
3
−
112
01 1 0
,
001
;exp ,.
110
==
+
14 4 7 11=
==+=+=;.
2
=
PXP
301 11−− =,; .
112
3047
−−
(
PXX
7
−
212
0
;
010
X
501
/
2
=
115 58=
)
4
0
=
.
184
3) количества товаров, их цены и прибыль аналитическим ме-
тодом.
Решение 1. Цену первого товара и его количество находим из
уравнений (15.24) и (15.25):
(, )
P
1
⎛
ln ;
1
+
⎜
⎝
P
⎞
1
==
3
⎟
20
⎠
1
,
001
ln
X
1
Эти уравнения могут быть решены относительно P
−
20 1 0 01
⎛
⎜
⎝
X
⎞
1
(16.3)
.
3
⎟
⎠
и X1 толь-
1
ко численно. Можно воспользоваться компьютерными программами, например наиболее простой – TI Derive 6.1, или алгебраическими калькуляторами, например TI Voyage 200.
Результат оказывается таким: P
= 9,95; X1 = 69,84.
1
Цена второго товара и его количество находим из (15.19) и
(15.20):
3047
PX
7411
22
(
−−
7
115 58=+= =
=;exp ,.
)
Ответ 1: P1 = 9,95; X1 = 69,84; P2 = 11; X1 = 115,58.
Решение 2. Прибыль находим из общего уравнения:
π= − + − ≈(, ) , ( ) , .9 95 3 69 94 11 7 115 58 948
Ответ 2: π = 948.
Решение 3. В данной оптимизационной задаче четыре перемен-
ные и два ограничения. Следовательно, имеется два определителя,
равные нулю в состоянии экстремума. Вычислим эти определители и найдем уравнения экстремума:
PXXPPXX
3
−
1121212
001 1 0
,
0
=
001
7
−
;
010
X
/.4
01
2
0
=
Раскрывая определители, получаем уравнения экстремума:
PPXP
3001 0 74 0−− = −−=,; .
1112
Решая эти уравнения с уравнениями спроса, получаем те же
расчетные уравнения. Другими словами, аналитический метод
дает те же результаты.
Пример 9.
Дано: единичные себестоимости двух товаров ε
эффициенты линейной функции спроса a
1
фициенты квадратичной функции спроса a
= 25; b1 = 0,1 и коэф-
= 10; b2 = 0,001; c2 =
2
= 3, ε2 = 7, ко-
1
= 0,0001.
185
Найти:
1) количества товаров и их цены для максимизации прибыли;
2) величину максимальной прибыли;
3) количества товаров, их цены и прибыль аналитическим ме-
тодом.
Решение 1. Количество первого товара и его цену находим из
уравнений (15.14) и (15.15):
25 3
PX
+
14
11
==
2
25 3
−
201
⋅=;,
110=
.
Количество второго товара находим из уравнения (15.28):
0 001 0 001 3 0 0001 3
−+ +⋅ ⋅
X
,(,),
2
2
3 0 0001
⋅
,
=
96 72=
,.
Цену товара находим из уравнения спроса:
P
7 0 001 96 72 2 0 0001 96 72=+ ⋅ +⋅ ⋅ =,, , , .8,968
2
2
Ответ 1: P1 = 14; X1 = 110; P2 = 8,97; X1 = 96,72.
Решение 2. Прибыль находится подстановкой полученных ве-
личин в основное уравнение для прибыли:
π= − + − =()(, ), ,.14 3 100 8 97 7 96 72 1400 33
Ответ 2: π = 1400,33.
Решение 3. В данной оптимизационной задаче имеется четыре
переменные и два ограничения. Следовательно, имеется два определителя, равные нулю в состоянии экстремума:
PXXPPXX
3
−
1121212
001 1 0
,
0
=
001
7
−
;
010
X
/.4
01
2
0
=
Раскрывая определители, получаем уравнения экстремума:
PPXX
3 0 01 0 7 0 001 0 0002 0−− = −− + =,; , , .
1222
2
Решая эти уравнения с уравнениями спроса, получаем уже использованные расчетные уравнения. Другими словами, аналитический метод подтверждает полученные результаты.
186
3.17. Нормировка модели Кобба-Дугласа
Модель Кобба-Дугласа широко применяется для описания
экономики производства не только на микроуровне отдельных
предприятий, но и на макроуровне национальной экономики, для
которой она и была впервые эмпирически установлена. Даже в настоящее время эту модель пытаются использовать для описания
национальной экономики. Однако установление коэффициентов
уравнения Кобба-Дугласа оказывается исключительно сложной и
иногда совершенно произвольной процедурой.
В предыдущей главе уравнение Кобба-Дугласа использовалось
для моделирования полезности совокупности товаров. Было установлено, что полезность является ординалистской функцией, т.
е. одной и той же оптимизированной совокупности товаров могут соответствовать различные значения полезности. Другими
словами, полезность инвариантна к значениям коэффициентов
уравнения Кобба-Дугласа. Важными оказывались предпочтения
потребителей к тем или иным товарам, другими словами, только
отношения показателей степени уравнения Кобба-Дугласа определяли оптимальные совокупности товаров, тогда как значения
коэффициентов не влияли на количества товаров.
Для производственных функций инвариантность коэффициентов формулы Кобба-Дугласа отсутствует, поскольку заданный
набор факторов производства однозначно определяет объем производства. Другими словами, в отличие от полезности, объем производства является кардиналистской функцией, это означает, что
в формуле Кобба-Дугласа все коэффициенты должны быть однозначно определены. Существующие методы оценки этих коэффициентов часто весьма произвольны, поскольку параметры выбираются в зависимости от преследуемых целей. Однако для описания
реальных производств уравнения должны соответствовать законам
природы, которым подчиняются все материальные производства.
Синергетический метод оптимизации, учитывающий законы
природы, в частности закон сохранения массы, позволяет установить коэффициенты уравнения Кобба-Дугласа:
n
a
i
XkY
=
т. е. выполнить его нормировку.
Значение любого фактора производства связано с его эффективностью и объемом производства уравнением эффективности:
Y
i
(17.1)
,
∏
i
=
1
i
X
(17.2)
=⋅
x
i
187
Подставим это значение фактора производства в уравнение
Кобба-Дугласа:
a
n
a
∑
XX k
i
=
⋅
∏
i
=
i
⎛
⎞
1
(17.3)
⋅
⎜
⎟
x
⎝
⎠
i
1
Для выполнения этого равенства должны быть выполнены
следующие условия.
1) Первое условие нормировки:
i
n
∑
=
(17.4)
a
=
11,
i
т. е. сумма всех коэффициентов, сопряженных факторам производства, равна единице.
2) Второе условие нормировки:
n
a
i
kx
=
, (17.5)
i
=∏1
i
т. е. коэффициент пропорциональности равен произведению эффективностей факторов производства в степени сопряженных коэффициентов.
3) Третье условие нормировки следует из гиперболической
функции спроса на факторы производства и основных уравнений
синергетической оптимизации. Гиперболическая функция спроса
на факторы производства идентична гиперболической функции
спроса на товары, установленной в предыдущей главе. Факторы
производства также являются товарами, поэтому применимость
полученной ранее формулы спроса совершенно оправдано, итак:
a
i
Y
=
i
aCP
∑
(17.6)
⋅⋅
i
i
Это уравнение будет установлено для факторов производства в
главе 4 при рассмотрении экономической оптимизации.
Учитывая первое условие нормировки (17.4), подставим вели-
чину фактора производства в уравнение (17.2) и получим:
P
i
a
=⋅⋅
i
(17.7)
xXC
i
Подстановка в это уравнение величины X/C из уравнения сине-
ргетической оптимизации (12.2) дает третье условие нормировки:
Px
/
ii
a
=
i
∑
, (17.8)
Px
/
ii
188
в соответствии с которым коэффициент, сопряженный фактору
производства, равен доле отношения цены фактора производства
к величине эффективности этого фактора производства.
Третье условие нормировки можно представить в другом виде,
учитывая зависимость единичной себестоимости от цен факторов
производства и их эффективностей (12.4):
P
i
a
i
(17.9)
=⋅
x
ε
i
Обратим внимание на несколько особенностей этих результатов
1) Сумма показателей степени уравнения Кобба-Дугласа равна
единице. Именно такой результат был получен экспериментально
Коббом и Дугласом при анализе американской экономики.
2) Коэффициент пропорциональности k в уравнении КоббаДугласа определяется величинами эффективностей факторов
производства. В соответствии с уравнением коэффициент k остается постоянным до тех пор, пока остаются неизменными эффективности факторов производства. При изменении эффективности
факторов производства этот коэффициент также изменяется.
3) Коэффициенты a
, сопряженные факторам производства, за-
i
висят не только от эффективностей факторов производства, но и
от цен этих факторов. Другими словами, при изменении цен факторов производства величины a
также изменяются.
i
4) Коэффициенты формулы Кобба-Дугласа являются определяемыми величинами, поскольку на предприятии известны как
эффективности факторов производства, так и их цены.
Таким образом, каждое состояние производственной системы
может быть описано производственной функцией Кобба-Дугласа
с коэффициентами, зависящими от эффективностей и цен факторов производства.
Проиллюстрируем вычисление коэффициентов уравнения
Кобба-Дугласа на нескольких примерах.
Пример 10.
Дано: эффективности факторов производства x
x
= 1 и их цены P1 = 40, P2 = 200, P3 = 1.
3
= 40, x2 = 200,
1
Найти: коэффициенты формулы Кобба-Дугласа.
Решение. Коэффициенты a
вычисляют из третьего условия
i
нормировки (17.8):
40 40
=
aa
12
40 40 200 200 1 113
///
/
++
a =
3
40 40 200 200 1 113
==
;
11
/
///
++
40 40 200 200 1 1
200 200
/
++
///
1
=
33
=⋅
;
189
Коэффициент k находится из второго условия нормировки
(17.5):
k =⋅⋅
()
13/
=40 200 1 20
.
Ответ: a1 = a2 = a3 = 1/3; k = 20.
Пример 11.
Дано: эффективности факторов производства x
x
= 1 и их цены P1 = 243, P2 = 144, P3 = 1.
3
= 729, x2 = 216,
1
Найти: коэффициенты формулы Кобба-Дугласа.
Решение. Коэффициенты a
вычисляют из третьего условия
i
нормировки:
243 729
=
a
1
243 729 144 216 1 116
///
=
a
2
243 729 144 216
//
=
a
3
243 729 144 216 1 112
///
/
++
144 216
/
+
11
/
++
++
1113
/
=
=
=⋅
;
;
Коэффициент k находится из второго условия нормировки:
k =⋅⋅=⋅=729 216 1 3 6 18
16 13 12///
.
Ответ: a1 = 1/6, a2 = 1/3, a3 = 1/2; k = 18.
Пример 12.
Дано: эффективности факторов производства x
x
= 1 и их цены: P1 = 16, P2 = 32, P3 = 1.
3
= 32, x2 = 32,
1
Найти: коэффициенты формулы Кобба-Дугласа.
Решение. Коэффициенты a
вычисляют из третьего условия
i
нормировки:
/
=
a
1
16 32 32 32 1 115
=
a
2
16 32 32 32 1 125
=
a
3
16 32 32 32 1 125++
16 32
///
++
/
32 32
///
++
1
//
1
///
;
=
;
=
=⋅
Коэффициент k находится из второго условия нормировки:
15 25 25///
k =⋅⋅=⋅=32 32 1 2 4 8
.
Ответ: a1 = 1/5, a2 = 2/5, a3 = 2/5; k = 8.
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]