Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
экономике. В результате в экономике существуют представления,
которые противоречат законам природы. Этот вывод иллюстрируется в главе 4.
3.15. Синергетическое определение прибыли
Одна из важнейших целей любого предприятия – это получение
максимальной прибыли. Для того чтобы ее получить, необходимо
знать, сколько товаров производить и по каким ценам реализовать.
Несомненно, многое зависит от рыночных условий, поскольку продукция предприятия может поставляться монопольному, олигопольному или конкурентному рынку. Во многих случаях производитель может изменять цену на свою продукцию не только в случае
монопольного производства или олигопольного производства, но и
в случае конкурентного рынка для ведения ценовой войны.
Итак, для любого производителя крайне важно оценить возможную прибыль производства до его начала, когда он еще может
влиять на объемы производства и свое будущее положение.
Задача максимизации прибыли весьма сложна для решения.
Тем не менее, метод синергетической оптимизации позволяет ее
выполнить, если известны функции спроса на предполагаемую к
выпуску продукцию и аналоги которой уже имеются на рынке.
Как уже показано в разделе 3.5, прибыль с учетом постоянных
издержек – относительная величина, а без их учета – абсолютная,
поэтому рационально рассмотреть прибыль без учета постоянных
издержек. В таком случае из уравнения (5.4) можно получить
π= −TR C.
Доход от реализации продукции равен сумме произведений
цен товаров и объемов их реализации:
m
TC P X
=
k
=∑1
k
(15.1)
.
k
Суммарное бюджетное ограничение, как установлено в разделе 3.12, равно сумме бюджетных ограничений, необходимых для
производства каждого товара, или сумме произведений количества товара и его единичной себестоимости (14.7):
m
CX
=
∑
=
k
(15.2)
ε .
kk
1
171
Таким образом, основное уравнение для прибыли многотоварного производства приобретает следующий вид:
m
πε=−
PX
()
∑
kkk
=
1
k
(15.3)
.
Прибыль является целевой функцией, а ограничения – функции спроса на товары, в общем случае зависящие от количеств
всех товаров:
PPXX X
= ( , ,..., ).
kk
12
(15.4)
m
Таким образом, имеется 2m переменных (цены или количества товаров) и m ограничений. Эта оптимизационная задача относится к третьему классу соотношений числа переменных и числа
ограничений (
11<<−mn
), рассмотренных в разделе 1.7. Можно
привлечь полученные результаты и установить уравнения ценообразования.
Однако можно максимизировать прибыль даже без использования результатов, полученных в главе 1. При таком подходе
максимизация прибыли оказывается независимой от результатов,
установленных в главе 1. Кроме того, при разделении переменных
на две равные группы (количеств товаров и их цен) оптимизация
оказывается весьма простой.
Воспользуемся разновидностью аналитического метода оптимизации, а именно методом дифференциальной подстановки. С
этой целью дифференцируем уравнение для прибыли (15.3) при
условии постоянства цен на факторы производства и для неизменной технологии производства:
m
dPdXXdP
πε=−
()
[]
∑
kk k kk
=
1
k
+
(15.5)
.
Дифференциал цены товара можно записать таким образом:
m
P
∂
∑
i
k
dX
.
i
X
∂
i
=
1
dP
=
k
Подставим этот дифференциал в предыдущее уравнение и
получим дифференциал связанной прибыли, которую не станем
обозначать особым символом, поскольку в состоянии экстремума
значения свободной и связанных функций одинаковы (см. уравнение (6.5), глава 1):
m
dPdXX
⎡
πε=−
()
kk k k
⎢
⎣
k
m
P
+
∂
∑∑
∂
==
11
i
⎤
k
X
i
(15.6)
dX
.
i
⎥
⎦
172
Правая часть уравнения выглядит усложненной, но ее легко пре-
⎝
⎠
⎝
⎠
образовать на примере для двух товаров. В таком случае дифференциал прибыли и дифференциалы цен принимают простой вид:
d P dX P dX X dP X dP
πε ε=−
()
11 1 2 2 2 11 22
dP
dP
1
2
+−
()
P
∂
1
dX
=
X
∂
P
∂
X
∂
+
1
dX
∂
+
1
∂
1
2
1
++
P
∂
1
d
XX
;
2
X
2
P
∂
2
dX
.=
2
X
2
;
Подставим дифференциалы цен в выражение дифференциала
прибыли и после простых преобразований получим:
P
⎛
dP X
πε ε=−+
⎜
11 1
∂
X
∂
1
1
P
∂
+
⎟
2
X
∂
1
⎞
2
X
⎛
dX P X
+−+
⎜
1221
P
∂
1
X
∂
2
P
∂
⎞
2
X
+
dX .
⎟
2
X
∂
2
22
По аналогии с этим результатом перепишем уравнение (15.6)
так:
m
dP X
⎡
πε=−+
k
kk
⎢
⎣
m
P
∂
⎤
∑∑
i
==
i
i
X
∂
11
k
(15.7)
dX
.
k
⎥
⎦
В этом уравнении дифференциал связанной прибыли зависит
от дифференциалов независимых переменных (количеств товаров), поэтому полученное уравнение является полным дифференциалом прибыли, а выражение в квадратных скобках является
первой частной производной связанной прибыли по независимой
переменной.
Поскольку дифференциал связанной прибыли является полным, можно использовать классический критерий экстремума как
равенство нулю первой частной производной функции (связанной прибыли):
m
P
∂
i
PX
−+
ε
∑
kk
i
X
∂
i
=
1
(15.8)
=
0.
k
Такие уравнения экстремума справедливы для каждого вида
товара. Совместно с уравнениями спроса для всех товаров формируется система 2m уравнений с 2m неизвестными. Решение
этой системы дает цены товаров и их количества, обеспечивающие экстремум прибыли. Экономическая интуиция подсказывает,
что этот экстремум является максимумом, но это легко и доказать,
если известны функции спроса.
Уравнения (15.8) представляют собой уравнения ценообра-
зования, которые позволяют найти цены товаров, если известны
173
функции спроса на товары, и количества товаров, которые нужно
произвести и поставить на рынок.
Для единственного товара или при независимости спроса одного товара от цен других товаров уравнение экстремума оказывается:
P
∂
При
это уравнение сводится к уравнению экстремума
εk= 0
PX
−+
kk k
k
(15.9)
=ε 0.
X
∂
k
дохода:
P
∂
PX
+
kk
k
(15.10)
= 0.
X
∂
i
Аналог этого уравнения получен французским экономистомматематиком Августином Курно еще в 1838 г. Лишь через 50 лет
его работа была переведена на английский язык и переиздана в
1927 и 1963 гг. Ссылка на уравнение (15.10) делается по последнему из упомянутых изданий
1
. Уравнение Курно можно получить
точно таким же способом, если количество товара выражать через
цены всех товаров.
Таким образом, максимизация прибыли возможна, если известны функции спроса на товары. В общем случае эти функции неизвестны и обычно используют различные модели функций спроса. Рассмотрим несколько модельных функций спроса.
1. Линейная функция спроса. Такие функции широко исполь-
зуются в экономике для иллюстрации различных экономических
явлений. В общем случае цена товара может зависеть от количеств
всех товаров:
где a
и b
– положительные величины.
k
ik
Pa bX
kk ik
m
=−
∑
=
i
(15.11)
,
i
1
Обычно используют приближение, в соответствии с которым
цена товара зависит только от количества этого же товара, при
этом функция спроса оказывается наиболее простой:
PabX
=−
kkkk
(15.12)
для каждого из товаров. В таком случае
∂
P
k
=−
b
.
∂
X
1
Cournot A. Research into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth.
Homewood, Illinois. 1963. P. 46.
k
k
174
Подставляя производную в уравнение (15.10), получаем уравнение экстремума в другой форме, а именно:
PbX
−− =ε 0.
kkkk
(15.13)
Решая это уравнение совместно с уравнением спроса, получаем:
a
−ε
kk
X
=
k
a
P
=
k
(15.14)
;
b
2
k
+⋅ε
kk
(15.15)
2
Прибыль от реализации количества товара по цене, соответствующей этим уравнениями, можно найти, если подставить эти
значения в общее уравнение для прибыли (15.3):
2
aaba
ε
π
+
⎛
kk
=
⎜
224
⎝
⎛
⎞
⋅
ε
−
⎟
⎜
k
⎠
⎝
−
εε
kkkkk
−
()
⎞
=
⎟
⎠
b
k
(15.16)
⋅
В соответствии с классическим критерием вида экстремума
необходимо установить знак хессиана. Для функции одной независимой переменной нужно найти вторую частную производную
по количеству одного товара. С этой целью нужно дифференцировать первую производную прибыли, заданную уравнением экстремума (15.13):
∂
π
k
b=
X
∂
=− <0.
k
k
Поскольку
π
kk
то прибыль имеет максимальное значение,
bk> 0,
если цена и количество товара соответствуют уравнениям (15.14)
и (15.15).
Полученные результаты можно подтвердить аналитическим
методом. В данном случае имеется две переменные (количество
товара и его цена) и одно ограничение (функция спроса), поэтому
условие экстремума выражается через один определитель:
()
PX
−=ε
kkk
b
1
k
.
0
Раскрывая определитель, находим уравнение экстремума:
PbX
−− =ε 0,
kkk
которое совпадает с уже полученным уравнением (15.13), следовательно, аналитический метод подтверждает полученные решения, следующие из основного уравнения ценообразования.
175
2. Логарифмическая функция спроса. Простейшая функция
спроса для одного товара или для товаров, цены и количества которых не зависят от цен и количеств других товаров, имеет такой
вид:
причем a
и bk – положительные величины.
k
PabX
=−ln ,
kkk k
(15.17)
Вычислим производную цены по количеству товара:
∂
P
∂
X
b
k
k
=−
k
X
k
и подставим ее в уравнение экстремума :
Pb
−−=ε 0
kkk
, (15.18)
откуда можно найти цену товара:
Pb
=+ε.
kkk
(15.19)
Подстановка в уравнение спроса дает количество товара:
ab
⎛
X
=
k
kkk
⎜
⎝
ε
−−
b
k
⎞
(15.20)
⋅exp
⎟
⎠
Уравнение для прибыли принимает такой вид:
πε=⋅
exp
k
−−
⎛
kkk
⎜
⎝
⎞
(15.21)
⋅b
⎟
b
⎠
k
ab
Вид экстремума устанавливаем дифференцированием уравне-
ния экстремума (15.18) после подстановки в него функции спроса:
π
kk
Поскольку
π
∂
k
=
=
XX
∂
∂
kk
то прибыль имеет максимальное значение,
bk> 0,
∂
ab Xb
−−−
()
kk kkk
ε
b
k
=− <ln .0
X
k
если цена и количество товара соответствуют уравнениям (15.18)
и (15.20).
Полученные результаты можно подтвердить аналитическим
методом. В данном случае условие экстремума выражается через
определитель
()
PX
−=ε
kkk
/
bX
1
kk
.
0
Раскрывая определитель, находим уравнение экстремума:
Pb
−−=ε 0,
kkk
176
которое совпадает с уже полученным уравнением (15.18), следовательно, аналитический метод подтверждает полученные решения, следующие из основного уравнения ценообразования.
3. Экспоненциальная функция спроса имеет следующий вид:
Pa bX
=−exp( )
kk kk
c положительными коэффициентами a
(15.22)
и bk.
k
Дифференцирование этого уравнения по количеству товара
дает:
∂
P
k
=−
bP
.
∂
X
kk
k
Подставим производную в уравнение экстремума (15.9):
PbX
().10−−=ε
kkkk
(15.23)
Решая это уравнение с уравнением спроса, получаем:
P
X
⎛
P
1+
⎜
k
⎝
1
=
k
b
k
⎞
k
a
k
1ln()
abX
⎛
kkk
⎜
⎝
(15.24)
=ln ;ε
⎟
k
⎠
−
ε
k
⎞
(15.25)
⋅
⎟
⎠
Полученные уравнения для цены и объема производства не
имеют аналитических решений, но их можно получить численными методами с помощью специализированных компьютерных
программ, графических или программируемых калькуляторов.
С другой стороны, установить вид экстремума прибыли очень
легко:
∂
π
∂
π
Поскольку
kk
XX
∂
bk> 0,
k
=
kk
то прибыль имеет максимальное значение,
PbX bP=
−−
()
kkkk kk
∂
ε
=− <() .10
если цена и количество товара соответствуют уравнениям и .
Аналитический метод дает такие же результаты. В таком случае имеется одно уравнение экстремума вида:
PX
−=ε
kkk
P
b 1
kk
0.
Раскрывая определитель, получаем уравнение, которое совпадает с уравнением (15.23). Следовательно, остальные результаты
также окажутся совпадающими, т. е. аналитический метод подтверждает решения, следующие из основного уравнения ценообразования.
177
4. Полиноминальная модель. Простейшей полиноминальной
моделью является квадратичная модель спроса:
PabXcX
=− −
k k kk kk
c положительными коэффициентами a
2
(15.26)
, bk и ck.
k
Дифференцирование этого уравнения по количеству товара
дает:
∂
P
k
=− −
bcX
2.
k
kkk
∂
X
Подставим эту производную в уравнение экстремума (15.9)
PbXcX
−− − =ε 20
k k kk kk
2
(15.27)
.
Решая это уравнение с уравнением спроса, получаем:
2
32 0
cX bX a
+−−=().ε
kk kk k k
Уравнение имеет аналитическое решение:
2
3
−± + −⋅ε
bbca
kkkkk
=
X
,
12
()
3
c
k
(15.28)
Вычислив количество товара по этому уравнению, можно найти его цену из уравнения спроса (15.26) или из уравнения экстремума (15.27). Зная эти величины, можно найти величину прибыли.
Вид экстремума прибыли установить легко:
π
∂
π
kk
∂
∂
k
=
XX
kk
PbXcXbcX=
()
∂
ε
−− −
k k kk kk k kk
2
=− − <240
.
Таким образом, прибыль имеет максимальное значение и в случае полиноминальной модели, если цена и количество товара соответствуют полученным выше уравнениям.
Аналитический метод дает такие же результаты. В данном случае имеется одно уравнение экстремума вида:
PX
−
ε
kk k
bcX
+
21
kkk
=
0.
Раскрывая определитель, получаем уравнение, которое совпадает с уравнением (15.27). Следовательно, все остальные результаты также окажутся совпадающими, т. е. аналитический метод
подтверждает решения, следующие из основного уравнения ценообразования.
178
5. Гиперболическая модель спроса соответствует полезности
совокупности товаров в рамках модели Кобба-Дугласа, установленной в разделе 2.5. В соответствии с этой моделью спроса зависимость цены товара от его количества имеет следующий вид:
aC
где C – совокупный бюджет потребителей,
P
k
k
= ,
X
k
(15.29)
– доля предпочте-
a
k
ния потребителей в отношении данного товара. Как установлено
ранее, величина
– это показатель степени количества товара
a
k
в выражении для полезности товаров, соответствующем модели Кобба-Дугласа. Дифференцируя уравнение спроса по объему
производства, получаем:
∂
P
aC
k
k
=− ⋅
∂
X
k
2
X
k
Подставим эту производную в уравнение экстремума (15.9):
aC
P
−− =ε 0.
kk
k
X
(15.30)
k
Привлекая уравнение спроса, получаем:
εk= 0.
Итак, совместное решение уравнения экстремума и уравнения
спроса показывает, что прибыль могла быть максимальной, если
единичная себестоимость продукции равна нулю. Поскольку это
невозможно, устанавливаем важный результат: при гиперболи-
ческом спросе максимальная прибыль отсутствует.
Подставим в уравнение для прибыли цену товара из уравнения
спроса:
πε=−aC X
kkk
(15.31)
,
которое показывает, что прибыль тем больше, чем меньше еди-
ничная себестоимость продукции и чем меньше объем производства.
Другими словами, при прочих равных условиях производитель
должен быть заинтересован в снижении единичной себестоимости и уменьшении объема производства, т. е. в увеличении цен на
свою продукцию. С точки зрения потребителей, такая стратегия
производителя-монополиста в наименьшей мере соответствует их
интересам.
179
Аналитический метод дает такие же результаты. В данном случае имеется одно уравнение экстремума вида:
PX
−=ε
kk k
2
aC X
kk
/
.
0
1
Раскрывая определитель, получаем уравнение, которое совпадает с уравнением (15.30). Следовательно, все остальные результаты также окажутся совпадающими, т. е. аналитический метод
подтверждает выводы, следующие из основного уравнения ценообразования.
Поучительные результаты, следующие из гиперболической
модели спроса, будут подробнее рассмотрены в главе 5.
Рассмотрение оптимизации производства в рамках различных
моделей спроса подтверждает исключительную важность единичной себестоимости продукции: чем ниже единичная себес-
тоимость, тем больше максимальная прибыль при заданных
внешних параметрах. Следовательно, основное средство макси-
мизации прибыли – это снижение единичной себестоимости
продукции. Как уже отмечалось, этого можно добиться только ра-
циональным использованием трудовых, сырьевых и энергетических ресурсов и совершенствованием технологии производства.
Уравнения для цен и количеств товаров позволяют заключить:
1) чем меньше единичная себестоимость продукции, тем
меньше должна быть цена продукции для достижения максимальной прибыли;
2) чем меньше единичная себестоимость, тем больше дол-
жен быть объем производства для достижения максимальной
прибыли.
Следовательно, техническое и технологическое совершенс-
твование производства ведет к расширению объема производства и снижению цен на продукцию. И то и другое в интере-
сах как производителей, так и потребителей: производитель имеет
максимальную прибыль, а потребители – низкие цены и больший
выбор товаров.
Таким образом, синергетический метод позволяет вычислить
цены продукции и объемы производства, соответствующие максимальной прибыли в рамках различных функций спроса. Следовательно, синергетический метод максимизации прибыли яв-
ляется действенным инструментом ценообразования.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]