Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
товаров
(, )
xx
50 20==
12
постоянной полезности
варов оказываются совершенно иными:
(,; ,)
xx
239 2191==7
12
. С другой стороны, при поддержании
U = 600
соответствующие количества то-
(, ,)
xx
38 73 15 49==;
12
.
и
Следовательно, для сохранения величины полезности потребитель вынужден произвести замещение товаров. В соответствии с
принципом замещения товаров, установленном в разделе 2.8, при
постоянном бюджете потребителя замещение товаров ведет к
уменьшению полезности (с 1000 до 600 единиц в рассмотренных
примерах).
Если бюджет потребителя неизменный, то не любое изменение
цен позволяет сохранить такую же величину полезности, какой
она была до изменения цен. Полезность можно сохранить только при снижении цен товаров. При увеличении цен полезность
совокупности товаров понижается. Следовательно, при повыше-
нии цен потребитель с постоянным бюджетом не может сохранить величину полезности неизменной, т. е. повышение цен
ведет к обнищанию потребителей, если их доходы не возрастают
пропорционально. Другими словами, потребитель должен увеличить свои доходы, чтобы сохранить полезность товаров постоянной. Для большинства людей это очень трудная задача, в противном случае не существовало бы проблемы бедности и нищеты.
Постоянство бюджета и соотношения количеств товаров. Потребитель не может сохранить полезность неизменной,
если он не в состоянии увеличить доходы при росте цен на товары,
по меньше мере в краткосрочном плане. Поэтому потребители вынуждены следовать иной стратегии выбора, основываясь на своих
субъективных предпочтениях и объективных возможностях.
Данная стратегия основана на том, что при изменении цен потребитель может стремиться сохранить отношение количеств товаров:
121
(11.5)
=⋅
x
2
xxx
Привлекая уравнение спроса до изменения цен, можно получить
12122
=⋅⋅
(11.6)
p
1
xxaap
Рассмотрим две возможности.
1) Изменяется цена первого товара
, и потребитель приобре-
p
1
тает товары при неизменном бюджете:
Cpx px=+
11 22
(11.7)
.
121
Подставим в это уравнение
=
x
1
из предыдущего уравнения:
x
2
a
1
+
ap ap
11 21
(11.8)
.
C
Поскольку все величины в правой части известны, можно най-
ти количество первого товара
. Подстановка этого значения в
x
1
уравнение позволяет вычислить количество второго товара
2) Изменяется цена второго товара
, и потребитель приобре-
p
2
тает товары при неизменном бюджете:
.
x
2
Подстановка в это уравнение
Подставляя
ну
.
x
1
=
x
2
из этого уравнения в 11.6, находим величи-
x
2
Cpx px=+
11 22
из уравнения (11.6) дает:
x
1
a
2
ap ap
12 12
C
+
(11.9)
.
(11.10)
.
Несмотря на то, что был рассмотрен простой случай двух видов товаров, изложенный подход позволяет установить количества товаров в общем случае, поскольку для n товаров существует
уравнений (11.5), которые совместно с бюджетом потреби-
n −1
теля дают систему n уравнений с n неизвестными. Решение этой
системы дает количества товаров всех видов.
Пример 6.
Дано: полезность соответствует функции Кобба-Дугласа с
ka a===
12
C = 120.
1
, цены товаров
pp
23==,
12
и бюджет потребителя
Найти: количества товаров и полезности при:
1) исходных ценах;
2) уменьшении цены первого товара до
3) увеличении цены первого товара до
4) увеличении цены второго товара до
12= ,;
p
1
;
3=
p
1
45= ,.
p
2
Решение 1. Количества товаров при исходных ценах определяются из уравнения спроса, а полезность – из уравнения КоббаДугласа:
Ответ 1:
122
120
xxU
12
xxxx U
1212
30
==⋅==⋅=;; .
22
⋅
30 20 1 5 600== ==;;/,; .
120
23
20 30 20 600=
Решение 2. Количество первого товара находят из уравнения
(11.8):
x
1
120
212
120
==
+
32
,,
37 5=
,.
Количество второго товара находят по уравнению (11.6):
xx
21
p
p
1
2
37 5
2
25==⋅=,,
3
а полезность – из уравнения Кобба-Дугласа:
Ответ 2:
Uxx==⋅=
37 5 25 937 5===,; ; ,.
xxU
12
37 5 25 937 5,,.
12
Решение 3. Количество первого товара находят из уравнения
(11.8):
120
23
+
120
==.
24=
5
x
1
Количество второго товара находят по уравнению (11.6):
xx
p
21
p
1
2
24
2
3
(11.11)
16==⋅=,
а полезность – из уравнения Кобба-Дугласа:
U =⋅=24 16 384.
Ответ 3:
24 16 384===;; .
xxU
12
Решение 4. Количество второго товара находят из уравнения
(11.10):
120
x
2
45 3
16=
+=,
.
Количество первого товара находят по уравнению (11.6):
3
16 24=⋅ = ,
x
1
2
а полезность – из уравнения Кобба-Дугласа:
U =⋅=24 16 384.
Ответ 4:
24 16 384===;; .
xxU
12
Сравнение полученных результатов с результатами двух предыдущих примеров показывает, что оптимальная полезность во
всех случаях имеет большее значение, чем при иных стратегиях.
123
Постоянство бюджета и количества одного из товаров.
Возможна стратегия, когда потребитель стремится сохранить количество одного из товаров, например x
xconst
= .
1
:
1
Постоянство бюджета означает:
px p x px px
+=+
11 22 11 2 2
.
После простых преобразований можно получить:
−
pp
=+
xx
22
11
x
p
2
(11.12)
.
1
Уравнение показывает, что количество второго товара увеличивается при понижении цены первого товара и уменьшается при
ее повышении.
Возможен случай, когда изменяется цена второго товара, тогда
px p x px px
+=+.
11 22 11 2 2
Откуда следует количество второго товара при изменении цен:
p
xx
22
2
=⋅
(11.13)
p
2
Уравнение показывает, что количество второго товара увеличивается при понижении его цены и уменьшается при ее повышении.
Пример 7.
Дано: полезность соответствует функции Кобба-Дугласа с
ka a===
12
C = 120.
1
При изменении цен потребитель следует стратегии под-
, цены товаров
pp
23==,
12
, бюджет потребителя
держания неизменным количества одного из товаров.
Найти: количества товаров и полезности при:
1) исходных ценах;
2) уменьшении цены первого товара до
3) увеличении цены первого товара до
4) увеличении цены второго товара до
12= ,;
p
1
;
3=
p
1
45= ,.
p
2
Решение 1. Исходные количества соответствуют уравнению
спроса:
120
xx
12
22
⋅
30
==⋅=;.
120
23
20=
Полезность исходной совокупности товаров оказывается
Ответ 1:
124
Uxx==⋅=
xxU
30 20 600===,, .
12
12
30 20 600.
Решение 2. При уменьшении цены первого товара количество
второго товара вычисляют по уравнению :
212
20
−=,
3
30 28=+
.
x
2
Полезность данной совокупности товаров оказывается
Ответ 2:
Uxx==⋅=
xxU
12
30 28 840===,, .
30 28 840.
12
Решение 3. При увеличении цены первого товара количество
второго товара вычисляют по тому же уравнению:
23
20
−
30 10=+
= .
3
x
2
Полезность данной совокупности товаров оказывается
Ответ 3:
Uxx==⋅=
xxU
12
30 10 300===,, .
12
30 10 300.
Решение 4. При увеличении цены второго товара его количест-
во вычисляют по уравнению (11.13):
20
34540
3
13 33=⋅ =,,.
x
2
Полезность такой совокупности товаров оказывается
40
3
400.
Ответ 4:
U =⋅ =30
xx U
12
30 13 33 400== =;,; .
Стратегия сохранения количества предпочитаемого товара
возможна в ограниченных случаях. При значительном росте цен
потребитель не сможет сохранить неизменным количество предпочитаемого товара, даже если он откажется от приобретения
иных товаров, поскольку для приобретения предпочитаемого товара по более высоким ценам потребителю может оказаться недостаточным всего его дохода.
Сравнивая результаты, полученные для рассмотренных стратегий поведения потребителя, необходимо подчеркнуть, что наиболее рациональными являются стратегии:
• максимизации полезности;
• сохранения отношения количеств товаров.
125
Таким образом, исходя из того, что потребитель стремится
достичь наибольшей полезности при заданном бюджете, его наиболее вероятной стратегией будет стремление к максимальной
полезности. Вполне возможна стратегия сохранения постоянного
соотношения количеств товаров. Сохранение количества предпочитаемого товара возможно в зависимости от предпочтений потребителя. Стратегия постоянства полезности является наихудшей
и не может быть использована при повышении цен.
Следовательно, потребитель в рамках постоянного бюд-
жета не может сохранить постоянной полезность совокупности товаров, если цена любого товара увеличивается. Рост
цен при постоянном доходе потребителя ведет к понижению полезности товаров. Называя вещи своими именами, приходим к банальному, хорошо известному результату: повышение цен ведет к
обнищанию потребителя, поскольку он вынужден уменьшать потребление товаров. Представляется, что стратегия сохранения отношения количеств товаров позволяет замедлить это обнищание.
2.12. Уравнение Слуцкого и функция спроса Хикса
В разделе 2.8 сформулирован, обоснован и доказан принцип
замещения товаров в общем виде при любой причине замещения.
В теории потребления замещение товаров обычно рассматривают
при изменении их цен. Познакомимся с общепринятым подходом
и убедимся, что принцип замещения остается незыблемым и в
этом случае.
Впервые проблему замещения товаров рассмотрел в 1915 г.
Евгений Слуцкий, опубликовавший в итальянском журнале статью о сбалансированном бюджете потребителя
эта работа оставалась незнакомой экономистам до 1936 года, когда некоторые результаты были изложены на английском языке
Почти полвека спустя вся статья была переведена вначале на ан-
3
глийский
1
Slutsky E. Sulla teoria del biancio del consumatore // Giornale degli Economisti.
vol. LI (July 1915). P. 1–26.
2
Allen R.G.D. Professor Slutsky’s Theory of Consumers’ Choice // Review of Economic Studies, III: 120–129 (February 1936), reprinted in “Utility Theory: A Book of
Readings”. 1968. P. 183–195.
3
Slutsky E. On the Theory of the Budget of the Consumer // In “Readings in Price
Theory”. 1953. P. 27–56.
4
Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Эконо-
мико-математические методы. – М.: 1963. – С. 241–271.
, а затем и на русский язык4. С тех пор ее содержание
126
1
. Считается, что
2
.
пытают
ся излагать в большинстве учебников по экономике. Однако
из-за значительной математической сложности изложить результаты, полученные Слуцким, затруднительно. Достаточно отметить, что
доказательство знаменитого сейчас уравнения Слуцкого до сих пор
остается предметом оживленных дискуссий, поскольку большинство экономистов не смогло понять математический аппарат автора.
Особое внимание к статье было вызвано тем, что ее впоследс-
твии «использовали» Хикс и Аллен
1
. Видимо, именно поэтому
Хикс считал уравнение Слуцкого фундаментальным (основ-
ным) уравнением теории стоимости
2
.
Не следует считать, что признание результатов, полученных
Слуцким, говорит о высокой этической позиции Хикса и Аллена.
Дело в том, что статья опубликована почти за 20 лет до работ Хик-
са и Аллена, которые убеждали экономическую общественность в
том, что они не были знакомы с работой Слуцкого. Однако Хикс
знал опубликованные на итальянском (и только) языке работы
Вильфредо Парето. Журнал Giornale degli Economisti, в котором
опубликована статья Слуцкого, был во всех крупных университетских библиотеках. Хикс и Аллен были знакомы с этой работой, но
им требовалось время для упрощения и модификации математического аппарата Слуцкого.
Следует отметить, что Слуцкий не возвращался к своим результатам, обнародованным в 1915 г. Это можно объяснить тем, что
его увлекли более интересные проблемы, однако возможно, что он
понял, настолько абстрактны и иллюзорны для потребителя результаты его работы, и прекратил разработку этого направления.
С другой стороны, уравнение Слуцкого вообще не является
необходимым. Для доказательства этого утверждения рассмотрим одну из форм уравнения в принятых ранее обозначениях и в
интерпретации Хикса, Аллена и их последователей:
dx
⎛
1
=
⎜
dpdxdp
⎝
1
⎞
1
⎟
⎠
1
Uconst
=
dx
1
−⋅
x
(12.1)
1
d!
Последователи Хикса считают первое слагаемое в правой части
эффектом замещения, характеризующего спрос за счет замещения товаров при постоянной полезности.
1
Hicks J. R., Allen R. G. D. A Reconsideration of the Theory of Value // Economica,
February, New Series. N1. 1934. P. 52–76; Хикс Д.Р., Аллен Р. Г. Д. Пересмотр тео-
рии ценности // Теория потребительского поведения и спроса. – СПб.: 1993. –
С. 117–141.
2
Hicks J. R. Value and Capital. Oxford. Clarendon Press. 1939. P. 309; Хикс Д. Р.
Стоимость и капитал. – М.: Прогресс, 1993. – С. 450.
127
Второе слагаемое – считают эффектом дохода, который показывает изменение спроса за счет изменения дохода или, точнее,
за счет изменения бюджета потребителя.
В настоящее время считают, что в левой части уравнения Слуцкого представлена функция спроса Маршалла в дифференциальной форме, а в правой части – функция спроса Хикса (эффект
замещения) и эффект дохода.
В отношении величин, представленных в уравнении, Слуцкий
отмечал: «Очевидно, что невозможно получить все эти величины
из наблюдений над действительными бюджетами; поэтому единственный остающийся путь – это прибегнуть к опытным данным и
с их помощью можно было бы создать совокупность сходных условий для бюджета потребителя и таким путем либо подтвердить,
либо опровергнуть выведенные нами теоретические законы»
1
.
Несмотря на алогизм этой фразы, поскольку наблюдения над
действительными бюджетами и представляют собой опытные
данные, существенно то, что результаты Слуцкого могли быть подтверждены или опровергнуты на основании опытных данных. Однако ни Хикс, ни другие экономисты, не смогли привести никаких
данных о раздельном существовании эффекта замещения и эф-
фекта дохода.
Рассматривая влияние цен на изменение спроса, они считали, что существуют нормальные товары, когда увеличение цен
уменьшает спрос, и аномальные товары (товары Гриффина),
когда увеличение цен повышает спрос. По мнению Хикса, существование нормальных и аномальных товаров означает, что эффект
замещения товаров и эффект дохода существуют раздельно и могут иметь разные знаки.
В рамках подхода, основанного на аналитическом методе оптимизации, нет необходимости выводить уравнение Слуцкого,
поскольку в действительности расщепление спроса на эффект
замещения и эффект дохода неправомерно. В соответствии с
принципом замещения товаров любое их замещение при постоянной полезности требует увеличения бюджета потребителя. Следовательно, эффект замещения включает в себя
и эффект дохода и поэтому они неразделимы. Этот вывод вско-
ре будет обоснован и подтвержден, в том числе и численными
расчетами.
Функция спроса Хикса обычно представляется в общем виде
и поэтому ее анализ затруднителен. Можно воспользоваться мо-
1
Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Эконо-
мико-математические методы. – М.: 1963. – С. 270–271.
128
дельными представлениями, в частности моделью Кобба-Дугласа,
⎝
⎠
⎝
⎠
и получить «функцию спроса Хикса».
Рассмотрим два товара и предположим, что цена одного из них
изменилась до величины
, тогда бюджет потребителя окажется
p
1
Cpx px=+
11 2 2
.
При постоянстве полезности воспользуемся уравнением (11.3),
тогда:
a
1
aa
+
p
⎞
⎛
12
Исключив
из двух последних уравнений, получаем:
C
+=
px p x C
11 2 2
CC
1
=
⎜
p
1
⎛
⎜
⎝
. (12.2)
⎟
a
1
+
aa
p
⎞
12
1
p
1
(12.3)
.
⎟
⎠
Постоянство полезности в рамках модели Кобба-Дугласа означает:
12 12
xx xx
12 12
=
(12.4)
.
aa aa
Два последних уравнения образуют систему с двумя неизвестными
и
, поскольку остальные величины
x
x
2
1
,,,,
ppxxC
()
1212
из-
вестны.
С учетом уравнения спроса Маршалла
α
можно выразить
Значение
x
px C
111
2
x
из предыдущего уравнения:
x
2
=
x
2
подставляем в уравнение (12.3) и получаем:
a
1
+
a
== 0.
p
⎛
2
−
⎜
p
2
=
2
aaCp
+
122
α
2
⋅⋅ ⋅
+
aaCp
122
a
1
aa
+
⎞
12
1
1
x
⎟
(12.5)
⋅
aa
/
12
x
1
(12.6)
aa
/
12
x
1
a
1
a
2
1
a
+
+
aa
12
a
1
a
2
Cx
2
(12.7)
1
Это уравнение считается обобщенной функцией спроса Хик-
са, устанавливающей связь количества товара при изменении его
цены и исходного бюджета потребителя.
129
Уравнение имеет аналитическое решение при некоторых соот-
⎝
⎠
⎝
⎠
ношениях коэффициентов, например при
aa
оно превраща-
=
12
ется в:
1
2
p
⎞
px C
121
⎛
1
⎜
p
1
C
+=.
x
⎟
11
2
0 −
x
Величину x1 можно заменить из уравнения спроса Маршалла:
C
x
=⋅
1
p
2
1
Тогда предыдущее уравнение сводится к
px C
121
1
2
p
⎞
⎛
1
⎜
⎟
p
1
2
C
+=
x
1
4
p
1
.
0 −
Решения этого уравнения таковы:
12
/
p
⎞
⎛
1
C
⎜
12
⎝
=
,
x
±
⎟
p
⎠
1
p
⎞
⎛
2
1
C
2
−
⎟
⎜
p
⎠
⎝
1
p
1
2
C
4
p
1
4
p
1
⋅
Легко убедиться, что подкоренное выражение равно нулю, поэтому
C
x
=⋅⋅
1
2
1
(12.8)
pp
11
Подставив это значение в условие постоянства полезности
xx xx
=
12 12
,
получим с учетом уравнений спроса для x1 и x2 такой результат:
x
C
=⋅
2
2
pp
21
p
1
(12.9)
Таким образом, общее уравнение спроса Хикса (12.7) можно
решить аналитически при равенстве коэффициентов
aa
.
=
12
Уравнения (12.8) и (12.9) известны в экономической теории1
и они дают изменение количеств товаров при изменении цены
первого товара. Эти уравнения считаются частными функциями
спроса Хикса.
Уравнение (12.8) показывает, что с увеличением цены одного
из товаров спрос на него обратно пропорционален новой цене
этого товара.
1
Stinespring J. R. Mathematica for Microeconomics. Atlanta. Academic Press.
2002. P. 64–65.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]