Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Рис. 10.1. «Обоснование» закона убывающей эффективности
Приведем пример одного из лживых обоснований закона убывающей отдачи факторов производства
мость объема производства от одного из факторов производства
представляется в виде степенной функции
1
. В этой работе зависи-
b
yax
, где x– это
=
фактор производства («затрачиваемый ресурс» – в терминологии
авторов), причем
Далее авторы уверяют, что именно эта функция
и b – это положительные величины, но
a
yax
=
b ≤1.
b
изображена на рис. 10.1 (левая кривая), и из ее вида они заключают, что
«с ростом величины затрачиваемого ресурса
объем выпуска y
x
растет, однако каждая дополнительная единица ресурса дает все
меньший прирост объема
выпускаемой продукции».
y
Дальнейшее очевидно: «Отмеченное обстоятельство (рост
объема
) отражает фундаментальное положение экономической теории
x
и уменьшение прироста объема y с ростом величины
y
(хорошо подтверждаемое практикой), называемое законом убывающей эффективности».
Все эти заключения авторы делают на основе уравнения,
которое в действительности не является функцией
b
yax
=
На рис. 10.1 мы специально изобразили три степенные функций
1
Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы
в экономике. – М.: Дело и сервис, 2001. – С. 156–157.
231
!
(о которых заявляли авторы) с
ab==107089 8 8 0,; , ,
. Легко
убедиться, что ни одна из этих кривых не соответствует кривой
(справа на рисунке), изображенной в работе авторов.
В действительности же вместо степенной функции
b
yax
=
авторы представили на рис. 10.1 логарифмическую функцию
ybx= ln
. Именно по виду логарифмической функции сделаны
приведенные выше «выводы». Понятно желание авторов «подтвердить» признаваемые экономической теорией результаты, но
не прямым же обманом! Кстати данный учебник подготовлен в
Совместном центре переподготовки Московского университета
и Института экономического развития Всемирного банка, что
характеризует действительный уровень «экономических экспертов» как Всемирного банка, так и одного из уважаемых университетов мира!
Для обоснования закона убывающего маржинального продук-
та привлекают функцию Кобба-Дугласа:
n
a
∏
i
i
.
i
=
1
XkY
=
Дифференцирование этого уравнения по любому фактору производства при поддержании постоянными значений иных факторов производства позволяет получить уже известное уравнение
(4.3):
Xa
X
=⋅
ii
Y
i
Это уравнение используется для обоснования закона убывающего маржинального продукта фактора производства, причем
допускается, что при увеличении фактора производства
жинальный продукт
убывает. Кроме того, допускается, что при
X
i
Y
мар-
i
увеличении фактора производства объем производства не изменяется или же изменяется в меньшей мере, чем фактор производства.
Несомненно, и в данном случае «доказательство» не является убедительным, поскольку нуждается в дополнительных допущениях.
Более того, вычисление маржинальных продуктов дифференцированием производственной функции по фактору производства не дает оснований считать, что это условие выполнено. Дело
в том, что на реальном производстве действует основной закон
производства, в соответствии с которым отношения факторов
производства остаются неизменными, пока не изменится технология производства. Это означает, что если поддерживаются неизменными все факторы производства, за исключением того, по
232
которому производится дифференцирование, то этот фактор тоже
не может изменяться.
Для «элегантного» доказательства закона убывающего маржинального продукта некоторые «находчивые» авторы
1
используют
логарифмическую форму уравнения Кобба-Дугласа:
Xk Y kaY
n
==
ln ln .
i
n
a
i
∑∏
i
==
11
i
ii
Дифференцирование этого уравнения любому фактору производства при поддержании постоянными значений иных факторов
производства позволяет получить:
ka
X
i
=⋅
i
Y
i
Из этого уравнения следует, что при увеличении величины
фактора производства маржинальный продукт стремится к нулю
без дополнительных допущений. Однако самым главным допущением является использование логарифмической формы уравнения Кобба-Дугласа для реальных производственных функций.
В разделе 3.17 установлено, что логарифмическая форма производственной функции не соответствует закону сохранения массы
и поэтому ее использование для описания реального производства ошибочно, как и представленное выше «доказательство».
Таким образом, приходим к заключению, что существующие
обоснования «закона убывающих маржинальных продуктов факторов производства» так же неубедительны, как и обоснования
«закона убывающей предельной полезности» Госсена.
Все «доказательства» выполняются на основе той или иной
функции (полезности или объема производства) вне бюджетных
ограничений. Если даже для полезности рассмотрение ее поведения вне бюджетного ограничения выглядит странным, то рассмотрение производственной функции вне бюджетного ограничения является абсурдным, поскольку любое производство осуществляется
в рамках обязательных бюджетных ограничений. Поэтому «доказательство» закона убывающего маржинального продукта фактора
производства вне бюджетного ограничения бессмысленно.
Как показано в разделе 2.7, закон убывающей маржинальной
полезности может быть справедлив не для свободной, а для связанной полезности, т. е. для полезности в рамках бюджета потребителя. Аналогичный результат справедлив и для убывающих
1
Bressler B., A Unified Introduction to Mathematical Economics, N. Y., Harper and
Row, 1975, 668 p.
233
маржинальных продуктов факторов производства. Достаточно
привлечь условие экстремума связанной производственной функции (3.5):
Ri= 0,
в соответствии с которым маржинальные связанные продукты
равны нулю. Другими словами, факторы производства при заданном бюджетном ограничении изменяются так, что устанавливается оптимальная совокупность факторов производства. Закон
убывающей производительности фактора производства мог бы
иметь смысл для маржинального связанного продукта фактора
производства и иметь тривиальное содержание. Этот результат
соответствует экономическому методу оптимизации, который игнорирует основной закон производства и поэтому не может правильно его описывать.
Синергетический метод оптимизации производства, соответствующий основному закону производства, позволяет показать
ошибочность «закона убывающей эффективности факторов производства» и его «обоснования» экономическим методом оптимизации. Достаточно воспользоваться основным уравнением синергетической оптимизации
n
P
CX
=⋅
i
x
i
i
=∑1
Уравнение показывает, что если пропорционально увеличиваются количества факторов производства, т. е. величина C, то объем производства будет линейно возрастать пропорционально увеличению С, т. е. никакого предела объем производства формально
не имеет. Следовательно, закона убывающей эффективности
факторов производства не существует.
4.11. Отдача от масштаба производства
Рассмотрим еще один экономический миф – «закон отдачи
от масштаба производства» (return to scale).
Рассмотрим производство, выпускающее продукцию объемом
X. Руководство предприятия решило создать аналогичное производство, в котором все факторы производства увеличаться в m раз,
и хотело бы знать объем нового производства X
каким окажется отдача от масштаба производства.
Формально возможны три варианта, а именно объем производства изменится:
234
, т. е. установить,
m
• в m раз, что означает постоянную отдачу от масштаба
XmX
m
(11.1)
= ;
• менее, чем в m раз, что означает убывающую отдачу
XmX
m
(11.2)
< ;
• более, чем в m раз, что означает увеличивающуюся отдачу
XmX
m
(11.3)
> .
Все три варианта составляют содержание «закона отдачи от
масштаба производства»: изменение факторов производства ведет к непропорциональному изменению объема производства.
Закон считается важнейшим результатом экономической теории производства, однако в действительности он противоречит
законам природы и основному закону производства.
Приведем несколько доказательств ошибочности этого «закона».
1) Синергетический метод оптимизации. Для неизменной
технологии (x
ми факторов производства Y
= const), объем производства X связан с величина-
i
уравнением эффективности:
i
XxY
= ,
ii
причем одно из таких уравнений для сырьевого фактора выра-
жает закон сохранения массы в материальном производстве.
В соответствии с основным законом производства все факторы
производства находятся в определенном отношении, поэтому изменение одного фактора требует такого же изменения остальных
факторов. Таким образом, изменение количества факторов производства в m раз означает, что объем производства изменяется в
такое же количество раз. Другими словами, существует только
постоянная отдача от масштаба производства: во сколько
раз изменятся количества факторов производства, во столько же
раз изменится объем производства. Увеличивающаяся и убывающая отдача от масштаба противоречит закону сохранения массы и
поэтому не может иметь место на реальном производстве.
Особо подчеркнем, что этот вывод, несомненно, относится
только к основному производству.
2) Теорема Эйлера для однородных функций. Для производс-
твенной функции X эта теорема устанавливает:
n
m X Y Y Y X mY mY mY
( , ,..., ) ( , ,..., ),
12 1 2
=
nn
(11.4)
где n – порядок однородности функции.
235
Физические свойства материальных объектов, такие как масса,
энергия, объем являются экстенсивными величинами, т. е. зависящими от размера материального объекта. С другой стороны, величины, характеризующие физические свойства в разных точках
материального объекта, являются интенсивными величинами,
независящими от размера объекта. Примерами таких величин являются температура, давление, электрический, химический, электрохимический потенциалы и т. д.
Порядок однородности экстенсивных и интенсивных величин
различен: экстенсивные величины представляют собой однородные функции первого порядка (
это однородные функции нулевого порядка (
), интенсивные величины –
n =1
). Классифика-
n = 0
ция физических свойств материальных объектов на интенсивные
и экстенсивные величины принята в естественных и технических
науках.
Поскольку масса любого материального объекта – это экстенсивная величина, она представляет собой однородную функцию
первого порядка. Следовательно, объем материального производства также является однородной функцией первого порядка,
тогда из уравнения (11.4) имеем:
mX Y Y Y X mY mY mY
( , ,..., ) ( , ,..., ).
12 1 2
=
nn
(11.5)
Итак, в соответствии с теоремой Эйлера при изменении значений факторов производства в m раз, объем производства увеличится в такое же количество раз. Это означает, что существует
только постоянная отдача от масштаба производства.
3) Нормированная модель Кобба-Дугласа. Для исходного
объема производства формула Кобба-Дугласа имеет вид
n
a
∏
i
i
.
i
=
1
XkY
=
Увеличение величин факторов производства в m раз означает,
что новый объем производства окажется равным:
XkmY
n
=
∏
mi
=
1
i
a
i
()
.
Величина m не зависит от вида фактора производства, поэтому
ее можно вынести за знак произведения:
n
⎛
a
∑
Xm kY
m
i
=
⎜
⎝
⎞
a
i
.
⎟
i
⎠
=∏1
i
236
В этом уравнении величина в скобках представляет собой исходный объем производства X:
a
∑
XmX
m
i
=
.
Для нормированной модели Кобба-Дугласа, описывающей
материальное производство, сумма показателей степени равна
единице:
n
a
=
11.
∑
i
=
i
Таким образом, предыдущее уравнение принимает вид:
XmX
m
(11.6)
= ,
что означает постоянную отдачу от масштаба производства.
Как было установлено в разделе 3.17, равенство единице суммы коэффициентов формулы Кобба-Дугласа представляет собой
первое условие ее нормировки и является следствием закона сохранения массы на материальном производстве.
Таким образом, закон сохранения массы означает, что существует только постоянная отдача от масштаба производства. Любая
иная «отдача», как увеличивающаяся, так и убывающая, противоречит этому закону. В случае убывающей отдачи масса продукции
оказалась бы меньше массы использованного сырья, а в случае
увеличивающейся отдачи – больше. Убывающую отдачу можно
объяснить несоблюдением технологии, но увеличивающуюся отдачу объяснить невозможно, поскольку нельзя получить по массе
больше продукции, чем использовано сырья.
Рассмотрение «закона отдачи от масштаба производства» в
реальном производстве показывает, что не существует ни увеличивающейся, ни убывающей отдачи от масштаба производства,
поскольку оба варианта противоречат закону сохранения массы.
Следовательно, объем производства всегда прямо пропорцио-
нален количествам факторов производства и с их изменением
точно также пропорционально изменяется объем производства, т. е. существует только постоянная отдача от масштаба производства.
В некоторых случаях на реальном производстве может иметь
место «экономия от масштаба производства», например в случае
более эффективного использования общих служб предприятия
для обслуживания расширенного производства. Однако такая
«экономия» означает, что исходные постоянные издержки пред-
237
приятия были завышенными, т. е. средства производства и персонал вспомогательных и обслуживающих структур использовались неэффективно.
4.12. Экономическое определение прибыли
Рассмотрим экономический подход к максимизации прибыли
и установлению соответствующих цен и количеств производимой
продукции.
В случае монотоварного производства прибыль от реализации
количества товара X по цене P при бюджетном ограничении C со-
ответствует уравнению:
π= −PX C.
(12.1)
В этом уравнении не учтены постоянные издержки, которые
производитель может изменять в своих интересах и действительная прибыль оказывается относительной величиной. Прибыль
без учета постоянных издержек
не зависит от субъективизма про-
изводителя и поэтому является объективной величиной.
Бюджетное ограничение равно сумме произведений цен и величин факторов производства:
n
CPY
=
∑
n
(12.2)
.
ii
=
1
Таким образом, уравнение для прибыли принимает вид:
n
π= −
PX PY
∑
n
(12.3)
.
ii
=
1
В соответствии с полученными ранее результатами экономической оптимизации изменением соотношений факторов производства добиваются максимального выпуска продукции X при минимальном бюджетном ограничении C, а это означает, что разность в
правой части последнего уравнения может быть максимальной.
Дифференцируем уравнение для прибыли (12.3) при постоянных ценах на факторы производства:
d PdX XdP PdY
π= + −
∑
i
n
=
1
(12.4)
.
ii
Цена товара и его количество связаны формулой спроса на
товар, которая является ограничением a на прибыль как целевой
функции:
238
aaPX= (, ).
(12.5)
Рассмотрим для простоты случай, когда цена товара зависит от
количества товара только одного вида, тогда для дифференциала
функции спроса имеем:
da a dP a dX
=+,
px
где a
и ax – это маржинальные функции спроса:
p
a
∂
a
=
px
Для заданной функции спроса
a
P
∂
aconstda==,0
(12.6)
a
∂
=
⋅;
X
∂
, поэтому из диф-
ференциальной формы функции спроса (12.6) получаем:
dP
dXaa
x
=− ⋅
p
(12.7)
Это уравнение позволяет исключить дифференциал цены из
дифференциальной формы прибыли (12.4) и получить:
⎛
dP
π= −
⎜
⎝
⎞
a
x
XdX PdY
a
p
−
∑
⎟
⎠
(12.8)
.
ii
Объем производства является функцией факторов производства
XXYY Y
= ( , ,..., ),
12
n
а его дифференциал имеет вид:
dX X dY
=
∑
.
ii
Подставим эту величину в дифференциальную форму прибыли (12.8):
n
⎡
⎛
a
dP
π= −
∑
⎢
i
=
1
⎣
x
⎜
⎝
XX PdY
a
p
⎞
⎟
⎠
⎤
−
ii i
.
⎥
⎦
Величина в квадратных скобках (частная производная прибыли по фактору производства) равна нулю для экстремума:
⎛
P
−
⎜
⎝
⎞
a
x
XX P
⎟
a
p
⎠
−=0.
ii
Привлекая уравнение (12.7), получаем дифференциальное
уравнение:
dP
X
dXPX
i
=−.
P
i
(12.9)
239
На первый взгляд такие уравнения справедливы для каждого
фактора производства, однако в действительности существует
лишь одно уравнение для любого фактора производства.
Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим основной результат экономической оптимизации (3.10), в соответствии с которым
отношение маржинальных продуктов к маржинальным ограничениям одинаково для всех факторов производства, например:
X
i
k
(12.10)
=⋅
CXC
i
k
Вычислим маржинальные ограничения дифференцированием
уравнения издержек (12.2) при постоянстве цен на факторы производства:
C
=
i
C
∂
∂
=
YY
∂
∂
ii
⎛
⎜
⎝
PY P
ii
=∑1
i
⎞
=
.
⎟
i
⎠
n
Это позволяет уравнение (12.10) представить в таком виде:
P
i
k
(12.11)
=⋅
XPX
i
k
Такие равенства справедливы для всех факторов производства,
следовательно, существует только одно уравнение (12.9) для любого фактора производства, что и требовалось доказать.
Итоговое уравнение (12.9) содержит три неизвестные величины – P, X и X
(цена, объем производства и маржинальный продукт
i
любого фактора производства). Для их нахождения необходимы
еще два уравнения, которыми могут быть:
1) уравнение производственной функции;
2) уравнение функции спроса на произведенную продукцию.
Уравнение производственной функции позволяет вычислить
маржинальный продукт любого фактора производства, а уравнение функции спроса устанавливает связь между ценой и количеством товара.
Другими словами, для вычисления прибыли и нахождения
цены товара и объема его производства необходимо знать:
1) явный вид производственной функции;
2) функцию спроса на производимую продукцию.
Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим производственную функцию, соответствующую модели Кобба-Дугласа (4.1):
n
a
XkY
=
i
,
i
=∏1
i
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]