Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
U
x2
Рис. 2.1. Полезность как функция количеств товаров
x1
Рис. 2.1 показывает, что полезность является монотонно возрастающей функцией количеств товаров. Данное свойство полезности перестает быть очевидным, когда поверхность полезности
рассекают плоскостями, параллельными плоскости
xx
−
12
, и по-
лучают семейства кривых, как это изображено на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Карта кривых безразличия
81
Каждая кривая на рис. 2.2 соответствует определенному значению полезности и называется кривой безразличия. Представление
о кривых безразличия ввел Френсис Эджуорт и развивал Виль-
фредо Парето. Кривые безразличия иногда называют изоквантами (от греческих слов iso – равный и quant – величина), поскольку
любая точка на такой кривой соответствует некоторому значению
полезности, т. е. изокванта – это кривая, любая точка на которой
соответствует определенному значению некоторой экономической величины. В теории потребления – это полезность, а в теории
производства – производственная функция. Термин «изокванта»
обычно используется для производственных функций, а для полезности используется термин «кривая безразличия».
Совокупность кривых безразличия называется картой кри-
вых безразличия или изоквантной поверхностью полезности.
Кривые безразличия и карты безразличия остаются основным
инструментом анализа в современной теории потребления, однако в них не более смысла, чем в поверхности полезности, изображенной на рис. 2.1. Более того, монотонность полезности перестает быть заметной на картах безразличия, что ведет к ошибочным
выводам.
2.3. Полезность и бюджет потребителя
Долгое время полезности приписывали свойства в соответствии с фантазией и воображением экономистов. Сейчас трудно
установить, кто впервые стал рассматривать полезность в рамках
реальных бюджетных ограничений, но Вильфредо Парето был одним из первых
Поведение потребителей на рынках товаров в значительной
мере определяется их бюджетными ограничениями. В таких условиях представления потребителей о полезности совокупности
товаров оказываются совсем иными по сравнению с поведением
потребителей, обладающими неограниченными средствами.
Бюджет потребителя (C) – это средства, которые потреби-
тель может затратить на приобретение количества товара
цене
:
p
i
1
.
по
x
i
n
Cpx
=
i
. (3.1)
ii
=∑1
Бюджет потребителя или бюджетное уравнение для n то-
варов представляет поверхность в
1
Pareto V. Manual of Political Economy. N.Y. 1971. P. 504.
мерном пространстве.
n +1
82
В случае двух товаров бюджет потребителя выражается простым
линейным уравнением
Cpx px=+
11 2 2
, (3.2)
представляющим собой поверхность в трехмерном пространстве.
На рис. 2.3 изображена поверхность бюджета потребителя при
М
х2
х1
pp
23==;.
12
Рис. 2.3. Бюджет потребителя как функция количеств товаров
Рассмотрение полезности в рамках бюджета потребителя не
только соответствует положению большинства потребителей, но
и позволяет превратить теорию полезности из абстракции в практичную теорию, позволяющую понять особенности поведения
потребителей.
2.4. Оптимизация полезности
Оптимизация полезности в рамках бюджета потребителя относится к задачам нелинейного программирования, поскольку
целевая функция и (или) ограничение являются нелинейными.
В главе 1 получены все необходимые результаты, которые могут
быть использованы для оптимизации полезности в рамках любой
математической модели. Однако прежде чем представить их, воспользуемся методом алгебраической подстановки для рассмотрения самой простой модели полезности, поскольку бюджетное
ограничение является линейным.
83
Рассмотрим полезность в рамках простейшей модели КоббаДугласа и бюджет потребителя для двух видов товаров:
Uxx
=
;
Cpx px
12
=+
11 2 2
.
Полезность является целевой функцией, а бюджет потребителя – ограничением. Свободная полезность, на которую не налагается ограничение, представляет собой монотонно возрастающую
функцию количеств товаров. Однако экономисты все еще убеждены, что существует закон убывающей предельной полезности
Госсена, хотя доказать существование этого «закона» никто не
смог. Это не удивительно, поскольку достаточно обратить внимание на рис. 2.1 и убедиться, что никаких экстремумов у сво-
бодной полезности нет. Это означает, что закон убывающей
свободной полезности, соответствующей модели Кобба-Дугласа,
не существует.
Полезность и бюджет потребителя являются функциями количеств товаров х
и х2 и любую из них можно подставить из бюджет-
1
ного уравнения в уравнение полезности. В результате полезность
оказывается функцией одной переменной х
C
R
p
p
1
x
2
x=−
1
1
p
2
или х2, например:
1
2
. (4.1)
Полезность R, полученная подстановкой переменной из бюджетного уравнения в уравнение полезности, не идентична свободной полезности
, поскольку она является функцией меньшего
U
числа переменных. Другими словами, полезность из функции в
трехмерном пространстве преобразуется в функцию в двухмерном пространстве. Полезность R, полученная из свободной полезности
подстановкой переменной из бюджетного уравнения,
U
называется связанной полезностью.
Связанная полезность, выраженная уравнением (4.1), является
квадратичной функцией одной переменной х
(или х2), имеющей
1
максимум. В этом легко убедиться, если построить график связанной полезности при заданных значениях
Cpp===120 2 3
;;
12
.
Таким образом, действительно связанная полезность имеет
максимум. Этот простой результат обосновывает вековые интуитивные представления экономистов о стремлении полезности к
максимуму с увеличением количества товаров. Однако доказать
существование максимума полезности можно только для связанной полезности, когда на свободную полезность налагаются ограничения (бюджет потребителя). Все экономисты, убеждавшие в
84
U
х1
Рис. 2.4. Максимум связанной полезности
существовании максимума полезности, не могли этого сделать в
принципе, поскольку свободная полезность может не иметь
максимума, например в рамках модели Кобба-Дугласа. Бюджетное уравнение, соответствующее бюджету потребителя, меняет
вид и форму функции полезности. Именно такая измененная связанная полезность имеет максимум, что и иллюстрирует рис. 2.4.
Впервые этот результат обнародован в 2005 г.
1
Причина такого положения очевидна. Дело в том, что вначале полезность рассматривалась совершенно абстрактно без какого-либо моделирования и сопоставления с реальностью. Впоследствии, когда для анализа полезности был привлечен метод
неопределенных множителей Лагранжа, изобразить максимум
лагранжиана оказалось невозможным, поскольку мерность пространства с введением множителей лагранжа
увеличилась, т. е.
λ
для случая двух товаров лагранжиан оказывается функцией трех
переменных
λ,,xx
. Как показано в главе 1, установление мак-
12
симума лагранжиана является весьма сложной математической
задачей. Еще труднее доказать существование максимума полезности. Тем более ни о каком изображении формы полезности даже
1
Судариков С. А., Грек Н. Г., Бахренькова К. А. Экономика и интеллекту-
альная собственность. – М.: Издательство деловой и учебной литературы,
2005. – С. 220.
85
в трехмерном пространстве не могло быть и речи. Аналитический
метод анализа позволил установить результаты, которые ранее
получить не удавалось.
Для нахождения величины максимума связанной полезности
дифференцируем уравнение связанной полезности (4.1) и получаем
Cpx
−2
dR
11
dx=
.
p
2
1
В соответствии с классическим условием экстремума функция
имеет экстремальное значение, если ее частная производная равна
нулю. Тогда из предыдущего уравнения имеем простой результат
C
=⋅
x
1
2
p
1
Поскольку
Cp==120 2
8
, можно найти количество товара,
1
соответствующего максимуму полезности:
120
x
1
22
⋅
30=
= .
Аналогично находится количество товара другого вида:
C
x
=⋅
2
p
2
2
Подстановка исходных значений
Cp==120 3
;
позволяет най-
2
ти количество второго товара, соответствующего максимуму полезности:
120
x
2
23
⋅
20=
= .
Таким образом, при максимизации полезности количество
товара прямо пропорционально бюджетному ограничению и
обратно пропорционально цене товара
C
x
=⋅
i
p
2
(4.2)
i
Полученное уравнение выражает гиперболическую функцию
спроса, которая изображена на рис. 2.5.
Вычислим величину оптимизированной полезности, подставив значения x
чину связанной полезности, подставив значение x
и x2 в уравнение свободной полезности, и вели-
1
в уравнение
1
связанной полезности:
Uxx R
12
30 20 600
C
p
p
x
1
p
2
120
22
1
x==⋅= = − =⋅−⋅=
1
2
3
30
2
30 600;.
3
86
Рис. 2.5. Гиперболическая функция спроса
Таким образом, оптимальное значение свободной полезности
равно значению максимума связанной полезности:
UR==600.
Этот результат соответствует Теореме 3, установленной в главе 1.
Существование максимума связанной полезности удалось установить подстановкой значения количества одного из товаров
из бюджетного уравнения в уравнение свободной полезности.
Оказалось, что полученная таким образом связанная полезность
действительно имеет максимум в пространстве независимых количеств товаров.
В предыдущем рассмотрении целевой функцией считалась
свободная полезность, а ограничением – бюджет потребителя.
Однако целевой функцией можно выбрать бюджет потребителя, а
ограничением – полезность. Другими словами, можно задать величину полезности и найти соответствующий бюджет потребителя.
Выразим величину x
из ограничения (свободной полезности):
2
U
x
=⋅
2
x
1
Подставим эту величину в целевую функцию (бюджет потребителя):
Mpxp
=+ ⋅
11 2
U
x
1
87
Новая функция M – связанный бюджет потребителя – является нелинейной функцией одной переменной. При
pp==23
;
12
предыдущее уравнение принимает вид
1800
Mx
=+2
1
(4.3)
,
x
1
U = 600;
изображенный на рис. 2.6.
Таким образом, связанный бюджет потребителя имеет ми-
нимум. В отличие от максимума полезности, в который продолжают верить экономисты, существование минимума бюджета потребителя в теории полезности экономистами обычно не обсуждается. Следует подчеркнуть, что связанный бюджет потребителя
может иметь минимум только при заданной величине полезности,
которая изменяет вид и форму бюджета потребителя. Именно такой связанный бюджет потребителя имеет минимум, что иллюстрирует рис. 2.6. Этот рисунок впервые демонстрировал наличие
минимума бюджета потребителя при заданной величине полезности, соответствующей модели Кобба-Дугласа
1
.
Вычислим минимальный бюджет потребителя и соответствующие этому минимуму количества товаров. Дифференцирование
уравнения связанного бюджета потребителя (4.3) дает:
dM
⎛
2
⎜
⎝
1800
2
x
1
⎞
dx=−
.
⎟
1
⎠
Рис. 2.6. Минимум связанного бюджета потребителя
1
Судариков С. А., Грек Н. Г., Бахренькова К. А. Экономика и интеллектуальная собственность. – М.: Издательство деловой и учебной литературы, 2005. –
С. 220.
88
Величина в скобках – это частная производная бюджета потребителя по количеству товара, которая в соответствии с классическим критерием экстремума равна нулю, поэтому получаем
простой результат:
1800
x
1
2
900 30===.
Ранее установлено, что именно такое количество товара соответствует максимуму связанной полезности. Подставив значение
в уравнение связанного бюджета потребителя, находим его ми-
x
1
нимальное значение:
M =⋅ + =230
1800
(4.4)
1202.
30
Таким образом, удалось получить следующие важные результаты.
Совместное решение уравнения полезности и бюджетного
уравнения показывает, что при определенных количествах то-
варов связанная полезность достигает максимального значения при заданном бюджете потребителя, а связанный бюджет потребителя – минимального значения при заданной величине полезности.
Любые иные количества товаров дают меньшее значение полезности или же требуют большей величины бюджета потребителя.
2.5. Полезность и спрос
Потребитель имеет дело со многими видами товаров, поэтому
необходимо рассмотреть общий случай оптимизации полезности:
UUxx x
= ⋅⋅⋅
(, ,, );
12
n
Cpx
=
∑
ii
=
i
1
При независимом рассмотрении уравнений полезности и бюджета потребителя все переменные в этих уравнениях независи-
мы. Если же полезность рассматривается совместно с бюджетом
потребителя, то переменные становятся зависимыми, поскольку
значение любой из них можно подставить из одного уравнения в
другое и сделать функцию зависимой от меньшего числа независимых переменных.
Такая подстановка, как показано в главе 1, может быть алгебраической или дифференциальной. Метод алгебраической под-
n
.
89
становки применим, если полезность или ограничение являются
линейными функциями, а метод дифференциальной подстановки
применим для любых по сложности функций. Несмотря на то, что
бюджетное уравнение является линейным, но функция полезности в общем случае неизвестна, поэтому использовать метод алгебраической подстановки в общем случае невозможно. Следовательно, для оптимизации полезности необходимо использовать метод
дифференциальной подстановки, т. е. аналитический метод.
Выпишем дифференциалы полезности и бюджета потребителя:
n
dU U dx
=
∑
=
i
n
dC p dx
=
∑
=
i
1
1
;
ii
.
ii
Выделим в этих уравнениях слагаемые, соответствующие одному виду товара, например n-му:
−
1
n
dU U dx U dx
=+
∑
ii
=
1
i
−
1
n
dC p dx p dx
=+
∑
ii
=
1
i
nn
nn
(5.1)
;
(5.2)
.
Рассмотрим два варианта оптимизации.
Оптимизация при постоянном бюджете (
В таком случае
, и из уравнения (5.2) имеем:
dC = 0
n
−
1
p
dx
n
=−
∑
i
i
dx
p
n
=
1
.
i
Cconst=
).
Подстановка этого дифференциала в дифференциал полезности
(5.1) позволяет получить дифференциал связанной полезности:
n
−
1
dR U U
⎛
=−
∑
⎜
⎝
i
=
1
p
in
p
⎞
i
dx
.
⎟
i
⎠
n
Дифференциал связанной полезности является функцией n – 1
независимых дифференциалов количеств товаров, поэтому полученное уравнение представляет собой полный дифференциал с
маржинальными связанными полезностями вида
p
RUU
=− ⋅
iin
i
p
n
Уравнение можно выразить через определитель:
UU
1
R
=⋅ ⋅
i
in
pp
p
n
(5.3)
in
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]