Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
что «решение сложных задач градиентными методами связано с
большим объемом вычислений и целесообразно только с использованием ЭВМ». Минимальное значение функции не установлено, вид экстремума не определен, а постулирован.
Иллюстрация решения примера 9 на ППП ЛП АСУ занимает
5 стр. и дает менее точные результаты. Вид экстремума не найден,
а постулирован.
Метод решения примера 10 представлен на 2 стр. сложных расчетов с 3 итерациями. Вид экстремума не установлен, а постулирован.
Способ решения примера 11 не дан, но в ответе значение максимизированной функции занижено на 1.
При решении примера 12 методом Лагранжа, изложенном на
2 стр., вообще не удалось получить оптимизированное значение
функции.
Решение примера 13 методом Лагранжа изложено на 2 стр.,
но значения двух переменных установлены неверно; оптимизированное значение не найдено, вид экстремума не установлен, а
постулирован. Видимо поэтому данный пример был исключен из
8-го издания монографии Та х а !
2. Аналитический метод позволяет легко установить вид
экстремума связанной функции и соответствующее оптимизированное значение целевой функции. С другой стороны, ни один
из иных методов оптимизации даже не пытался установить вид
экстремумов функций ни в одном из рассмотренных примеров.
Эта невозможность или исключительная сложность установления вида экстремумов ведет к тому, что в большинстве задач вид
экстремума постулируется: «Максимизировать значение целевой
функции …» или «Минимизировать значение целевой функции
…». Положение вполне объяснимое, поскольку в методах оптимизации, основанных на методе Лагранжа, применение классического критерия вида экстремума невозможно, а использование
«окаймленных хессианов» настолько усложняет установление
вида экстремума, что даже в простых задачах нахождение вида
экстремума оказывается «не по плечу» обычным методам. Как
было проиллюстрировано при решении рассмотренных задач,
аналитический метод позволяет установить вид экстремума фактически «одной строкой».
3. Аналитический метод легко расширяется на неравенс-
тва. Эта особенность метода была установлена почти случайно.
При тестировании аналитического метода оптимизации, разработанного для ограничений-равенств, из литературных источников
41
выбирались примеры, в которых ограничения были выражены неравенствами и (или) равенствами. Вначале для тестирования использовались только ограничения-равенства. При решении оптимизационных задач аналитическим методом полученные результаты сравнивались с результатами, которые давала компьютерная
программа Maple численным методом. Как отмечалось, программа подтверждала все решения, полученные аналитическим методом. Имея объективного судью, естественной была попытка решения тех же задач с ограничениями-неравенствами. Результаты
решений программы Maple вначале казались удивительными,
поскольку почти для всех задач решения с ограничениями-
равенствами и ограничениями-неравенствами оказывались
одинаковыми. Именно этот результат позволил расширить ана-
литический метод на ограничения, заданные в виде неравенств и
(или) равенств. Существо такого расширения рассматривается
в разделе 1.9. Разработанное расширение аналитического метода
позволило понять, почему некоторые задачи имели решения, отличающиеся от решений с ограничениями-равенствами.
1.9. Расширение аналитического метода
Весьма часто из существа прикладных задач следует необходимость использования ограничений в виде неравенств. В таких
случаях естественен вопрос, можно ли использовать аналитический метод оптимизации, если ограничения заданы в виде равенств
и неравенств. Для метода Лагранжа прямое распространение решений признается невозможным, и для случая ограничений-неравенств разработаны иные, весьма сложные методы.
Аналитический метод расширяется на оптимизацию с ограничениями-неравенствами без осложнений. Рассмотрим произвольные ограничения, заданные равенствами и неравенствами следующих видов:
Cx x x C
( , ,..., ) ;
12
Cx x x C
( , ,..., )
12
n
(9.1)
≤
. (9.2)
≥
n
Неравенства можно превратить в равенства, если к левой части
добавить или вычесть некоторое положительное число C
Cx x x C C
( , ,..., ) ;
12 0
Cx x x C C
( , ,..., ) .
12 0
+=
n
−=
n
(9.3)
0
42
:
При дифференцировании этих ограничений получаем:
∑
i
n
−
Cdx
ii
поскольку ограничение С и число С
(9.4)
=
01,
– это постоянные величины.
0
В аналитическом методе дифференциал любой переменной из
полученного уравнения используется для замены дифференциала этой же величины в выражении для дифференциала целевой
функции. После такой замены дифференциал связанной функции
становится полным.
Условие экстремума связанной функции выражается через
классический критерий, т. е. через равенство нулю первых частных производных связанной функции. В результате получается
n–1 уравнений экстремума:
FF
in
= 0,
CC
in
где индекс i отмечает частную производную функции и ограничения по независимой переменной, а n – частную производную
функции и ограничения по переменной, дифференциал которой
исключен из дифференциала функции посредством дифференциальной подстановки.
Совокупность полученных n–1 равенств устанавливает связь
всех n переменных, независимо от того, заданы ли ограничения в
виде равенств или неравенств.
Значения же величин, которые определяют экстремум функции, зависят от величины ограничения, в том числе заданного в
виде неравенства. Другими словами, условия экстремума функции устанавливаются в виде равенств, но значения оптимизированной функции определяются величинами ограничений.
В предыдущем изложении рассматривались ограничения в
виде равенств. Рассмотрим любое из полученных решений. Аналитический метод, в отличие от метода Лагранжа, позволяет относительно легко установить вид экстремума связанной функции и значение оптимизированной функции. Другими словами,
при оптимизации функции легко установить, имеет ли связанная
функция максимум или минимум, если ограничение задано в виде
равенств. Рассмотрим два возможных случая.
1) Связанная функция имеет максимум
Ограничение-неравенство меньше ограничения-равенства. Это
означает, что максимум связанной функции, соответствующий
ограничению-неравенству, будет меньше максимума связанной
43
функции, соответствующей ограничению-равенству. Следовательно, при любом неравенстве (9.1) связанная функция имеет
наибольшее значение, соответствующее ограничению-равенству,
т. е. имеет действительный максимум.
Ограничение-неравенство (9.2) больше ограничения-равенства. Это означает, что максимум связанной функции, соответствующий ограничению-неравенству, будет больше максимума
связанной функции, соответствующей ограничению-равенству.
Следовательно, в случае неравенства (9.2) связанная функция
имеет наименьшее значение максимума, соответствующее ограничению-равенству.
Таким образом, действительный максимум связанной функции
определен ограничением-равенством, а в случае ограничений-неравенств соответствующий «максимум» может быть больше или
меньше этого значения. Все вышесказанное обосновывает следующую теорему.
Теорема 4. Если ограничения заданы равенствами и неравенствами, то решение следует из ограничений-равенств.
Неравенства
Cx x x C
( , ,..., )
12
показывают, что максимум
<
n
связанной функции является наибольшим значением, а неравенства
Cx x x C
( , ,..., )
12
– наименьшим значением.
>
n
Несмотря на очевидность обоснования теоремы, ее можно подтвердить прямым численным расчетом.
В примере 9 установлен максимум функции при ограниченииравенстве
Fxx x
=−+
1122
2
23 3;.
xxx
++ =
1
2
12
Вычислим целевую функцию при разных ограничениях-неравенствах:
2
Cx x x
=+ + ≤
23 3
1
2
Cx x x
=+ + ≥
23 3
1
2
12
2
12
;
(9.5)
и сведем полученные результаты в таблицу 9.1.
Таблица 9.1
Решения, полученные с помощью программы Maple
C 1234510100
F 0,60 0,88 1,09 1,25 1,41 1,98 5,99
x
x
0,12 0,22 0,26 0,29 0,32 0,37 0,46
1
0,50 0,71 0,90 1,05 0,19 1,74 5,64
2
44
Результаты вычислений подтверждают сделанный вывод о том,
что решение с ограничением-равенством (C = 3) имеет наименьшее значение для всех ограничений с C > 3 и наибольшее значение
для любых ограничений с C < 3 (действительный максимум).
2) Связанная функция имеет минимум
Ограничение-неравенство (9.1) меньше ограничения-равенства. Это означает, что минимум связанной функции, соответствующий ограничению-неравенству, будет меньше минимума
связанной функции, соответствующей ограничению-равенству.
Следовательно, для неравенства (9.1) связанная функция имеет
наибольшее значение минимума, когда ограничение выражено
равенством.
Ограничение-неравенство (9.2) больше ограничения-равенства.
Это означает, что минимум связанной функции, соответствующий
ограничению-неравенству, будет больше минимума связанной функции, соответствующей ограничению-равенству. Следовательно, в случае неравенства (9.2) связанная функция имеет наименьшее значе-
ние при ограничении-равенстве, т. е. действительный минимум.
Итак, действительный минимум связанной функции определен ограничением-равенством, а в случае неравенств соответствующий «минимум» может быть больше или меньше этого значения. Вышесказанное позволяет обосновать следующую теорему.
Теорема 5. Если ограничения заданы равенствами и неравенствами, то решение следует из ограничений-равенств.
Неравенства
Cx x x C
( , ,..., )
12
показывают, что минимум
<
n
связанной функции является наибольшим значением, а неравенства
Cx x x C
( , ,..., )
12
наименьшим значением.
>
n
Несмотря на очевидность обоснования теоремы, ее можно подтвердить прямым численным расчетом.
В примере 12 установлен минимум функции при ограниченииравенстве
2
Fxxx
=++
12223
4214
xx x
++ =
1223
;
.
Вычислим целевую функцию при разных ограничениях-неравенствах:
Cxx x=++≤4214
1223
Cxx x=++≥4214
1223
(9.6)
;
(9.7)
и сведем полученные результаты в таблицу 9.2.
45
Таблица 9.2
Решения, полученные с помощью программы Maple
C 10 11 12 13 14 15 20
F 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 15,00
x
x
2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00
1
0,30 1,00 1,41 1,73 2,00 2,24 3,16
2
Полученные результаты подтверждают сделанный вывод о том,
что решение с ограничением-равенством (C = 14) имеет наибольшее значение для ограничений с C < 14 и наименьшее значение
для ограничений с C > 14.
Следует сделать замечание к содержанию Теорем 4 и 5. Дело
в том, что утверждения о виде неравенств в этих теоремах являются излишними. Вид экстремума определяется величинами хессианов, а не видами неравенств. Ограничениями могут быть различные неравенства, и по их виду нельзя сделать
однозначный вывод о виде экстремума связанной функции.
С другой стороны, величины хессианов определяют вид экстремума однозначно. Таким образом, Теоремы 4 и 5 в действительности
идентичны, поскольку утверждают, что если ограничения заданы
равенствами и неравенствами, то решение следует из ограничений-равенств.
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим несколько примеров, в которых ограничения заданы неравенствами
и равенствами.
Пример 14.
2
1
1
12 2
4
.
2
;
Дано: функция с ограничением
Fx xx x
=+ +
34 5
xx
+≥
12
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим определитель и уравнение экстремума:
64410
xxx x
++
121 2
11
xx
30
−=
12
.
0
=
;
Решая уравнение экстремума совместно с ограничением-равенством, получаем
целевой функции
1
Банди Б. Методы оптимизации. – М.: Радио и связь, 1988. – С. 89.
xx
31==;
12
FR==44.
и оптимизированное значение
46
Находим хессианы с учетом величины минора
1
∂
H
1
MDxx
∂
=
∂
∂
11
xx
31=⋅
−
()
12
MC==21
= .
Таким образом, связанная функция имеет минимум.
Ответ:
FR==44
(минимум).
:
Пример 15.
Дано: функция с ограничением
Fx x
xx
4936;.
1
2
=+
4
1
2
2
+≤
1
2
2
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим определитель и уравнение экстремума
24
x
1
818
xx
12
980
x
−=;,
2
т. е.
x12 687= ,
x20 889= ,
, подстановка этого значения в ограничение дает
и значение целевой функции
Находим хессианы с учетом минора
11
H
1
∂
MDxxx
=⋅
18
∂
121
0
=
FR==10 778,.
MC x==
32
∂
x
980=⋅
−=().
∂
2
18
:
Таким образом, связанная функция имеет максимум.
Ответ:
FR==10 778,
(максимум).
В цитируемой работе решение этого примера излагается на 4
стр., но точное решение авторы не смогли получить, а вид экстремума не смогли установить.
Пример 16.
Дано: функция с ограничением
2
1
Fxx x x x x
=−+−+−
63422
11222233
xxx
++≤
24
123
.
2
;
3
Найти величину и вид экстремума функции.
1
Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования эко-
номических систем. – М.: ФиС, 2006. – С. 355–358.
2
Коробов П. Н. Математическое программирование и моделирование эконо-
мических процессов. – М.: ДНК. СПб., 2006. – С. 228–229.
47
Решение. Находим определители и уравнения экстремума:
66 22 3
−−
13 23
11
69 0 3 0
−+=−+=
13 23
/
=
;,xx xx
которые совместно с ограничением дают
=1 875,
и величину оптимизированной функции
Находим хессианы с учетом минора определителя
HR H
111 2
90
64 22 3
−−xx xx
2
−
1
90
03
−
0
;
/
0
=
;
xxx
0 875 0 625===,; ,;
123
FR==725,.
MC==31
27 0==−< =
=>;.
:
Следовательно, связанная функция имеет максимум, а целевая функция – наибольшее значение.
Ответ:
FR==725,
(максимум).
1.10. Композитный метод нелинейной оптимизации
В предыдущих разделах изложено существо и реализация
аналитического метода оптимизации, когда число ограничений
меньше числа переменных. Аналитический метод оптимизации в
несколько иной форме может быть применен и в случаях, когда
число ограничений равно или больше числа переменных. Следует
отметить, что в настоящее время разработаны методы нелинейного математического программирования, предназначенные для
решения таких задач. Однако их реализация оказывается весьма
сложной и во многих случаях не убедительной. В результате при
решении многих оптимизационных задач ряд авторов допускает
ошибки, что подтверждают решения с помощью компьютерной
программы Maple.
Первоначально аналитический метод оптимизации был разработан для случая, когда число ограничений m меньше числа переменных n. В таком случае любые m переменных можно исключить из целевой функции и получить связанную функцию
независимых переменных. Для таких связанных функций можно
использовать классические критерии экстремумов и их видов.
Для сложных целевых функций и ограничений прямое исключение переменных оказывается невозможным, что ограничивает
возможности метода алгебраической подстановки. Этот недостаток отсутствует в методе дифференциальной подстановки, когда в
дифференциал целевой функции подставляются дифференциалы
переменных величин из дифференциалов ограничений. Такой ме-
nm−
48
тод дифференциальной подстановки применим к любым целевым
функциям и любым ограничениям.
С точки зрения аналитического метода оптимизации в случае
равенства числа переменных числу ограничений решение системы уравнений, образованной ограничениями-равенствами, дает
значения переменных, подстановка которых в целевую функцию
должно дать ее значение независимо от ее вида. Другими словами,
при
система уравнений (ограничений) задает величины пе-
mn=
ременных, определяющих значение целевой функции. При этом
не происходит формирования связанных функций и изменения
формы и мерности исходной целевой функции. Следовательно,
для нахождения значений переменных и целевой функции необходимо решить обычными методами, прежде всего численными,
систему уравнений, образованных ограничениями-равенствами.
Если решения отвечают заданным условиям, например положительности переменных (
), то решения используются для вы-
xi≥ 0
числения величины целевой функции.
Когда же число переменных меньше числа ограничений
то ограничения-равенства образуют
()mn−
систем уравнений.
mn> ,
Если решения некоторых систем отвечают заданным условиям,
например положительности переменных (
), то эти решения
xi≥ 0
используются для вычисления значения целевой функции. В зависимости от условий задачи находят максимальное или минимальное значение целевой функции.
Положение осложняется, если системы ограничений не соответствуют условиям неотрицательности переменных. В таких случаях необходимо последовательно исключать одну или несколько
переменных (приравниванием их к нулю
) из систем огра-
xi= 0
ничений. В результате образуется совокупность систем ограничений, одна из которых может дать наибольшее или наименьшее
значений целевой функции.
При таком подходе к оптимизации ограничения не изменя-
ют вида целевой функции и вообще не требуют ее знания для
нахождения значения переменных. Такой подход представляется
естественным, поскольку если имеется несколько
()mn−
систем
m уравнений с m неизвестными, то они могут иметь решение, т. е.
фактически задаются не ограничения, а значения x
(найденные из
i
системы ограничений или из систем ограничений).
Такой подход к оптимизации позволяет сформулировать сле-
дующую теорему.
Теорема 6. Если число ограничений равно или больше числа
переменных, то целевая функция не изменяет свою мерность
49
и форму, а ее оптимальное значение соответствует решению
систем ограничений-равенств.
Изложенный подход к оптимизации должен быть модифицирован, если исходная целевая функция имеет экстремум. В таком
случае оптимизация может оказаться многостадийной:
1) выполняется оптимизация целевой функции без учета огра-
ничений;
2) полученные решения сравниваются с заданными ограничениями. При соответствии ограничениям эти решения считаются оптимальными, а значение целевой функции – оптимизированным;
3) при несоответствии решений ограничениям выполняют оптимизацию исходной функции с ограничением, которому не соответствовала свободная оптимизация целевой функции;
4) полученные решения сравниваются с оставшимися ограничениями. При соответствии ограничениям эти решения считаются оптимальными, а значение целевой функции – оптимизированным;
5) при несоответствии полученных решений оставшимся ограничениям решают системы ограничений и находят наименьшее
или наибольшее значение целевой функции;
6) при невозможности получения решений для всех переменных исключают последовательно одну или несколько переменных
для нахождения оптимального решения.
Таким образом, описанный подход к решениям на основе систем ограничений может оказаться одной из стадий поиска оптимального решения. Такой усложненный поиск решения характерен для нелинейных целевых функций. Если же эти функции
линейны, то решение на основе систем ограничений является
единственно возможным. Другими словами, описанный подход к
оптимизации на основе систем ограничений может быть использован в линейном математическом программировании.
Проиллюстрируем описанный алгоритм оптимизации на нескольких примерах.
Пример 17.
Дано: функция с ограничениями
1
Fx x
=+
50 100
12
//
12
xx
+≥
517 40
1
12212
//
xx
+≥
20 7 60
1
12
2
;
;
.
Найти: оптимизированное значение функции.
1
Winston W.L. Operations Research: Applications and Algorithms. Belmont. Dux-
bury Press. 2003. P. 628, 1389.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]