Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Пример 27.
Дано: функция с ограничением
Fxx
xx
1
=+
53
12
+≤
24
12
;
.
Найти: максимальное значения функции.
Решение. При
. Если же
F = 6
x20=
из ограничения имеем
x10=
, то
x14=
и
F = 20.
, поэтому
x22=
Таким образом, первое
значение целевой функции является наименьшим, а второе – наибольшим.
Ответ:
F = 20
.
Пример 28.
Дано: функция с ограничениями
Fx x x
=++
483
xx
12
xx
25
2
123
+≥
+≥
23
;
2
;
.
Найти: минимальное значение функции.
Решение. При
решение таково:
x20=
выполняется условие неотрицательности для
зом, целевая функция имеет наименьшее значение
xxx
021===;;.
123
Ответ:
F =19
.
x10=
имеем
xx
13
xx
25==;
21==;
23
, тогда
, тогда
F = 23.
F =19.
При
x30=
Таким обра-
x1.
F =19
При
не
при
Пример 29.
Дано: функция с ограничениями
Fxxx
=− + −
232
xx x
−− =
4510
12 3
xxx
++=
23212
123
3
123
;
;
.
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. При исключении каждой из переменных образуются
системы двух уравнений с двумя неизвестными, одна из которых
может дать оптимизированное значение целевой функции.
При
не выполняется условие неотрицательности
x10=
x30<
.
1
Jacques I. Mathematics for Economics and Business. N.Y. Prentice Hall. 5th. ed.
2006. P. 527–528.
2
Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применения. – М.:
Прогресс, 1966. – С. 121.
3
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. –
С. 98–99
61
При
F =−12.
При
x30=
Ответ:
значение).
система имеет решения
x20=
система имеет решения
(наибольшее значение) и
F = 0
xx
40 9 14 9==/; /
13
F =−12
и
(наименьшее
xx
32==;
12
и
F = 0.
Пример 30.
Дано: функции с ограничениями
5124
=+ +
Fx x x
210
++≤
xxx
123
238
−+ =
xx x
12 3
1
123
;
;
.
Найти: оптимизированное значение функции.
Решение. При
При
Ответ:
x30=
F = 54 8,.
имеем
xx
00==;
12
xx
12
не выполняются условие
26 5 12 5==/; /
и
F ==274 5 54 8/,.
x20≥ ,
Пример 31.
Дано: функция с ограничениями
=+++
Fxx x x
1234
++≥
xxx
3 2 800
123
+++ ≥
xxx x
6 9 13 400
123 4
;
;
.
2
Найти: минимальное значение функции.
Решение. Системы уравнений получают исключением двух пе-
ременных.
При
xx
12
0==
и
xx
13
имеем
0==
x40<
, при
xx
14
имеем
0==
x30< .
При
xx
23
решение системы
0==
xx
266 67 10 26==,; ,
14
и
F = 276 93,.
При
xx
24
решение системы
0==
xx
261 54 15 38==,; ,
13
и
F = 276 92,.
При
xx
34
решение системы
0==
xx
250 25==;
12
и
F = 275
которое является искомым наименьшим значением целевой функции.
,
Ответ:
1
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. –
С. 149–151
2
Канторович Л. В., Горстко А. Б. Математическое оптимальное программиро-
вание в экономике. – М.: Знание, 1968. – С. 8–26.
F = 275
.
62
Пример 32.
Дано: функция с ограничениями
262
=++−
Fxx xx
1234
23 30
++=
xxx
123
210
+−=
xxx
124
;
;
.
1
Найти оптимизированные значения функции.
Решение. Системы уравнений получают исключением двух пе-
ременных.
для
для
При
x4.
При
При
При
При
x2.
xx
12
xx
13
xx
14
xx
23
xx
34
не выполняется условие неотрицательности
0==
система имеет решение
0==
система имеет решение
0==
система имеет решение
0==
не выполняется условие неотрицательности
0==
xxF
10 10 50===;;.
24
xx F
51560===;;.
23
xxF
15 5 25===;; .
14
Ответ: F = 60 (наибольшее значение) и F = 25 (наименьшее
значение).
Пример 33.
Дано: функция с ограничениями
Fx x
=+
xxx
++=
123
xxx
−+=
124
xxx
−++=
39
125
2
32
;
12
13
6
;
;
.
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Поскольку имеется пять переменных и три уравне-
ния, необходимо исключать по две переменных, кроме x
и x1, вхо-
1
дящих в целевую функцию.
При
xx
34
xx
95 35==,; ,
12
x534=
xx
.
При
xx
35
12 1==;
12
и
Решение системы при
из первого и второго ограничения имеем
0==
и
F = 35 5,.
из первого и второго ограничения имеем
0==
F = 27.
Из третьего ограничения находим
Из второго ограничения имеем
xx
45
не соответствует условию
0==
x317=
.
неотрицательности, т.к. из второго и третьего ограничения имеем
15 2=− /
.
F = 35 5,
.
x
1
Ответ:
1
Палий И. А. Линейное программирование. – М.: Эксмо, 2008. – С. 136–138.
2
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.:
Высшая школа, 1988. – С. 186–190.
63
Пример 34.
;
Дано: функция с ограничениями
Fxxxx
=− + − −
236
1234
xx xx
+− +=
22 24
12 34
xxx
++≤
2422
123
xx x
−+
12 3
1
;
;
.
2
≥≥10.
Найти: минимальное значение функции.
Решение. Полагая последовательно
xxx
123
емся, что решения отсутствуют, поскольку
000===;;
xxx
000<<<;;
214
, убежда-
ветственно.
При
система имеет решения
x40=
xxx
34 3 11 3 1===/; /;
123
F =−56 3/.
Данное значение может не быть наименьшим, поскольку воз-
можны решения, когда несколько переменных равны нулю.
При
xx
12
x35=; с целевыми функциями
При
xx
При
При
14
xx
24
xx xx xx
13 23 34
неотрицательности для
Ответ:
имеются два решения:
0==
имеетcя решение
0==
имеетcя решение
0==
000== == ==;;
xxx
,,
241
F =−68
.
xx
11 2 35==/;
34
F =−68
и
F =−64
xx
1112==;/
23
xx
14 2==;
13
не выполнены условия
соответственно.
и
соответственно.
с
F =−52/.
с
F =−22.
Пример 35.
Дано: функция с ограничениями
Fx x x x
=+++
96 4 7
123 4
xxx
++≤
2 180
134
xxx
++≤
3 2 210
234
xx x
++ ≤
22
12 4
2
;
;
;
4400.
Найти: максимальное значение функции.
Решение. При
.
x30≥
При
x30=
F =1690.
При
x40=
система имеет решение
решения таковы:
x10=
и при
не выполняется условие
x20=
xxx
95 40 85===;;
124
xxx
82 9 64 3 24 3===,; ,; ,
123
F =1229 1,.
При
xx
32
1
Высшая школа, 1988. С. 49–52, 59–62.
2
xx xx xx
12 13 14
00≥≥;
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.:
Там же, 101–105.
000== == ==;;
.
не выполнено условие
64
соот-
x35=
и
и
и
При
=
xx
23
система имеет решение
0==
xx
75 105==;
14
и
F =1410.
При
При
xx
24
xx
34
решения таковы:
0==
система имеет решение
0==
xx
13
40 70==;
и
F = 640.
xx
95 210==;
12
и
F = 2115.
Ответ:
F = 2115
.
2) Число ограничений равно числу переменных.
При таком соотношении числа переменных и числа ограничений целевая функция находится из решения системы уравнений,
образованных ограничениями-равенствами.
Пример 36.
Дано: функция с ограничениями
Fx xxx
=+ +≤
0 8 0 7 2 900
,,; ;
1212
xx
+≤
2 3 1200
12
1
.
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Система ограничений имеет решение
и значение целевой функции
Ответ:
F = 405.
F = 405.
xx
375 150==;
12
Пример 37.
Дано: функция с ограничениями
Fx xxx
=+ +≤
322 6
1212
xx
12
2
;;
+≤
28
.
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Система ограничений имеет решение
43= /; и значение целевой функции
Ответ:
F = 32 3/.
F = 32 3/.
x143= /;
Пример 38.
Дано: функция с ограничениями
Fx x xx x x
=++ ++=
12 312 3
xx x x
−≥ + ≥
12 1 2
3
28
;;
426
;.
Найти: максимальное значение функции.
1
Jacques I. Mathematics for Economics and Business. N.Y. Prentice Hall. 3ed.
1999. P. 477–479.
2
Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая
теория. – М.: Айрис-пресс, 2002. – С. 107–114.
3
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 109–111.
x
1
65
Решение. Из второго и третьего ограничения имеем
x
23= /
2
F = 32 3/
, тогда из первого ограничения получаем
.
x114 3= /;
x383= /
и
Найдем решения при исключении одной из переменных.
При
При
не выполнено условие неотрицательности
x10=
имеем из третьего ограничения
x20=
, что соответс-
x16=
x2.
твует второму ограничению. Тогда из первого ограничения получаем
При
При
При
При
x32=
x30=
xx
12
xx
13
xx
23
, т. е.
первое ограничение не соответствует третьему.
.
F =10
не выполняются второе и третье ограничение.
0==
не выполнено условие неотрицательности
0==
выполнены все ограничения, тогда
0==
F = 8
.
x2.
Таким образом, целевая функция имеет наибольшее значение
F = 32 2/
Ответ:
и наименьшее
F = 32 3/.
F = 8.
Пример 39.
Дано: функция с ограничениями
Fx x x
=++
456
xx
23 32
12
xx x
++ ≥
4240
12 3
xx x
++ ≤
3350
12 3
1
123
+=
;
;
;
.
Найти: оптимизированное значение функции.
Решение. Система имеет решение
F =125.
Ответ:
F =125.
xxx
175 95 1175===,; ,; ,
123
Пример 40.
Дано: функция с ограничениями
Fx xx
=+−
23
xxx
−+=
123
xx
212
xxx
−−≥
23 4
123
2
123
+≤
13
;
5
;
;
.
Найти: наибольшее значение функции.
Решение. Система ограничений-равенств имеет решение
xxx
37 7 12 7 10 7===/; /; /
123
и
F ==100 7 14 286/,.
При х1 = 0 имеем х2 = 7; х3 = 12, что не соответствует третьему
ограничению.
1
Лунгу К. Н. Линейное программированию – М.: Физматлит, 2005. – С. 74–75.
2
Там же, С. 14.
66
и
При х
При х
= 0 имеем х1 = 7; х3 < 0.
2
= 0 имеем х1 = 6; х2 = 1, что соответствует третьему огра-
3
ничению, тогда F = 15.
Ответ:
F =15.
Пример 41.
Дано: функция с ограничениями
Fx x x
=+ +
910 16
123
xx x
++≤
6 5 4 120
123
xxx
++≤
324 96
123
xxx
++
533
123
1
;
;
;
≤≤180.
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Система ограничений имеет решение, которое не со-
ответствует условию неотрицательности для
x
2
68 8=− ,.
Поэтому
необходимо поочередное исключение переменных и решение соответствующих систем уравнений.
При
xx
820==;
23
решение системы из первых двух ограничений
x10=
дает целевую функцию
F = 400.
Решения систем из
первого и третьего ограничения, а также из второго и третьего ограничения не соответствуют условию неотрицательности для
соответственно.
и
x
3
При
xx
19 6 5 6==,; ,
13
система из первых двух ограничений дает
x20=
и целевую функцию
F = 44 8,.
Решения системы
x
2
из первого и третьего ограничений, а также из второго и третьего
ограничений не соответствуют условию неотрицательности для
и
x
1
твуют условию неотрицательности
соответственно.
x
3
При
x30=
Ответ:
F = 400
решение всех трех систем уравнений не соответс-
.
x
2
.
Пример 42.
Дано: функция с ограничениями
Fx x x
=+ +
50 100 20
123
xx
45 2
xx x
++ ≥
4810 8
12 3
xxx
++=
123
2
+≥
12
;
;
;
1
.
Найти: минимальное значение функции.
1
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 41–49; 65–68; 74–79.
2
Озорхин В. А. Оптимизация экономических задач. Примеры и алгоритмы в
среде Mathcad. – М.: Финансы и статистика, 2005. – С. 14–17.
67
Решение. Система ограничений решается подстановкой x
их тре-
3
тьего ограничения во второе и совместным решением полученного
уравнения с первым ограничением:
и
F = 470 11/.
xxx
311 211 611===/; /; /
123
Ответ:
F = 470 11/.
3) Число ограничений больше числа переменных.
В таких случаях рассматриваются совокупности систем, обра-
зованных ограничениями.
Пример 43.
Дано: функция с ограничениями
Fx xxx
=+ +≤
2 5 500
1212
xx
≤≤
400 300
12
1
;;
;.
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Второе и третье ограничения в виде равенств не со-
ответствуют первому ограничению, поэтому необходимо рассмотреть системы из первого и второго ограничения и из первого и
третьего ограничения.
В первом случае
Во втором случае
x1400=
x2300=
и
и
x2100=
x1200=
, поэтому F = 1300.
, тогда F = 1900.
Ответ: F=1900.
Пример 44.
Дано: функция с ограничениями
Fxxxx
=+ +≤
18 9 24 8 60000
1212
xx
≤≤
2000 6000
12
2
;;
;.
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Значения
из второго и третьего ограничений не
xx
,
12
соответствуют первому ограничению, поэтому необходимо рассмотреть системы из первого и второго ограничения и из первого
и третьего ограничения.
В первом случае
Во втором случае
Ответ:
1
Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – М.: МГТУ, 2000. –
С. 99–102.
2
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – С. 68–70.
F = 63000.
x12000=
x26000=
и
и
x21500=
x1500=
, тогда
, тогда
F = 49500.
F = 63000
.
68
Пример 45.
Дано: функция с ограничениями
Fxxxx
=+ +=
43 3
1212
xx xx
+≥ +≤
436 2 4
12 12
1
;;
;.
Найти: оптимизированные значения функции.
Решение. Первое и второе ограничение дают
F = 36,.
Из первого и третьего ограничений имеем
F = 34,.
Из второго и третьего ограничения имеем
ответствующее первому ограничению.
Ответ:
F = 36,
и
F = 34,
.
xx
06 12==,; ,
12
xx
04 18==,; ,
12
xx
02==;
12
, не со-
и
и
Пример 46.
Дано: функция с ограничениями
Fx xxx
=+ +≤
34 20
1212
xx x x
−≤ ≥ ≥
420102
21 1 2
2
;;
;;.
Найти: оптимизированные значениея функции.
Решение. Третье и четвертое ограничение дают F = 38.
Из первого и второго ограничений следует
xx
12 8==;
12
= 68.
Решение системы из первого и третьего ограничения не соответствует условию
того
x10≥
.
Из второго и третьего ограничения следует
, а решение системы из первого и четвер-
x20≥
xx
10 15 2==;/
12
F = 60.
Из второго и четвертого ограничения имеем
x10=
, что не со-
ответствует третьему ограничению.
Ответ: F = 68 и F = 38.
Пример 47.
Дано: функция с ограничениями
Fx xxx
=+ +≥
323 3
1212
xx xx
+≥ +≤
436 3
12 12
3
;;
;.
Найти: минимальное значение функции.
Решение. Решение системы из первого и второго ограничений
дает
xx
06 12==,; ,
12
1
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – С. 119–120.
2
Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – М.: МГТУ, 2000. –
С. 116–119.
3
Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. –
С. 165–166.
и целевую функцию
F = 42,.
и F =
и
69
Решение системы из первого и третьего ограничения дает
xx
03==;
12
и целевую функцию
F = 6.
Система из второго и третьего ограничения не соответствует
условию
x10≥
.
Ответ:
F = 42,.
Пример 48.
Дано: функция с ограничениями
Fx x
=+
30 40
xx
375
12
xx
12
xx
+≤
12
1
12
+≤
+≤
484
30
;
;
.
;
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Решение системы из первого и второго ограничения
xx
25 0==;
12
дает целевую функцию
F = 750.
Решение системы из первого и третьего ограничения
xx
19 6 16 1==,; ,
12
не соответствует второму ограничению.
Решение системы из второго и третьего ограничения дает
xx
12 18==;
12
Ответ:
F =1080.
и значение целевой функции
F =1080
.
Пример 49.
Дано: функция с ограничениями
Fx x
=+
xx
64 24
12
xx
12
xx
−+ ≤
2
54
;
12
+≤
+≤
26
12
;
1
.
;
Найти: максимальное значение функции.
Решение. Решение системы из первого и второго ограничения
дает
xx
332==;/
12
и
F = 21.
Решение системы из первого и третьего ограничения
xx
13 2 15 2==/; /
12
не соответствует второму и четвертому огра-
ничениям.
Решение система из второго и третьего ограничения дает
xx
43 73==/; /
12
Ответ:
1
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 24–27.
2 Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. – С. 33–
35, 37–38, 107–113.
F = 21
и целевую функцию
.
F =16
.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]