Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Подставим дифференциал
n
dR F F
=−
∑
i
=
из второго уравнения в первое:
dx
n
−
1
⎛
⎜
⎝
1
C
in
C
⎞
i
dx
⎟
i
⎠
n
В правой части уравнения представлены дифференциалы независимых переменных, поэтому сумма – это полный дифферен-
циал связанной функции. Величины в скобках
(, , , )FFCC
in i n
– это
первые частные производные исходной (свободной) целевой функции и ограничения, а выражения в скобках – это первые частные
производные связанной функции по каждой из независимых переменных:
FF
in
C
i
C
n
R
∂
R
=
i
=− ⋅
x
∂
i
Правая часть уравнения представляет собой простой опреде-
литель
FF
1
R
=⋅ ⋅
i
in
(7.5)
CC
C
in
n
Следует отметить, что хотя экстремум имеет связанная функ-
ция, результат оптимизации выражается через маржиналь-
ные величины исходной свободной целевой функции F и ограничения C.
Условие экстремума связанной функции имеет классический
вид:
(7.6)
Ri= 0,
поэтому из предыдущего уравнения получаем уравнение экстре-
мума:
FF
поскольку
Cn≠ 0
.
in
CC
in
(7.7)
= 0,
Дифференцированием уравнения (7.5) находят вторые частные производные, которые используются для формирования хессианов для установления вида экстремума.
Число ограничений:
mn=−1
Для простоты рассмотрим произвольную функцию трех переменных при двух ограничениях. В таком случае:
dF F dx F dx F dx
=++
11 2 2 3 3
Cdx Cdx Cdx
++=
11 1 12 2 13 3
Cdx Cdx
++
21 1 22 2
CCdx
23 3
0;;
0= .
31
Из второго ограничения можно получить
C
dx
21
=− − .
3
C
23
dx
C
22
1
dx
2
C
23
Подстановка этой величины в первые два уравнения дает:
⎛
dF F F
⎜
13
⎝
dx
2
C
⎞
21
dx F F
⎟
C
⎠
23
CC CC
11 23 13 21
=−
CC CC
12 23 13 22
⎛
+−
⎜
123
⎝
−
−
dx
C
⎞
22
dx=−
;
⎟
C
2
⎠
23
.
1
Подстановка последнего дифференциала в предыдущее уравнение дает полный дифференциал связанной функции:
CC CC
⎡⎡
dR F F
=− −
⎢
⎣
C
13
C
21
CC CC
23
−
11 23 13 21
−
12 23 13 22
⎛
FF
−
⎜
23
⎝
C
⎤
⎞
22
dx
.
⎟
1
⎥
C
⎠
⎦
23
Выражение в квадратных скобках – это первая частная производная связанной функции по переменной x
, которую (после
1
приведения к общему знаменателю слагаемых в правой части)
можно представить так:
FCC CC FCC C C FCC CC
1 12 23 13 22 2 11 23 13 21 3 11 22 12 21
R
=
1
−− −+ −()()()
CCC−
C
1
2223 1322
(7.8)
⋅
Числитель представляет собой следующий определитель
FF F
12 3
D
CCC
=
11 12 13
CCC
21 22 23
(7.9)
,
а знаменатель – это нижний правый минор этого же определителя:
CC
12 13
=⋅
M
CC
22 23
(7.10)
Итак, первая частная производная связанной функции имеет
вид:
R
=⋅
1
D
(7.11)
M
В соответствии с классическим критерием экстремума первые
частные производные функции независимых переменных равны
нулю, тогда из уравнений (7.8) и (7.11) получаем простой результат:
32
(7.12)
D = 0.
Это уравнение экстремума совместно с ограничениями дает
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
значения переменных, при которых связанная функция имеет
экстремум (максимум или минимум), а исходная целевая функция – экстремальное значение (наибольшее или наименьшее).
В соответствии с классическим критерием вид экстремума определяется знаками хессианов. Для связанной функции одной независимой переменной имеется только хессиан первого порядка,
который можно найти дифференцированием первой частной производной связанной функции, выраженной уравнением (7.11):
HR
==
111
∂
1
1
=⋅
xMDx
∂
1121
∂
−⋅
∂
DMM
∂
x
∂
⋅
R
C учетом уравнения экстремума получаем:
HR
==
111
∂
1
1
xMDx
∂
11
∂
=⋅
∂
(7.13)
⋅
R
Таким образом, дифференцируя уравнение экстремума, можно
установить значение хессиана, а по его знаку найти вид экстремума.
По смыслу полученных результатов вывода ясно, что они справедливы для целевых функций любого числа переменных.
Число ограничений:
11<<−mn
Рассмотрим произвольную функцию четырех переменных при
двух ограничениях. В таком случае их дифференциальные формы
имеют вид:
dF F dx F dx F dx F dx
=+++
11 22 33 44
C dx C dx C dx C dx
+++=
11 1 12 2 13 3 14 4
C
221 1 22 2 23 3 24 4
0;;
0dx C dx C dx C dx+++=.
Из последнего уравнения можно получить:
C
dx
21
=− − − .
4
C
24
dx
C
22
1
C
24
dx
C
23
dx
2
3
C
24
Подставим эту величину в первые два уравнения:
⎛
dF F F
=−
⎜
14
dx
=−
3
C
⎞
21
C
24
CC CC
11 24 14 21
CC CC
13 24 14 23
⎛
dx F F
+−
⎟
⎜
124
−
−
C
⎞
22
⎟
C
24
CC CC
dx
12 24 14 22
−
1
CC C
13 24 14
⎛
dx F F
+−
⎜⎜
234
−
− CC
C
⎞
23
C
24
dx
23
;
dx
⎟
3
.
2
Подстановка дифференциала
в предыдущее уравнение
dx
3
дает полный дифференциал связанной функции, который зависит от дифференциалов двух независимых переменных:
33
⎡
dR F F
=− −−
⎢
⎣
⎡
+− −−
FF
24
⎢
⎣
C
14
C
C
22
C
24
⎛
21
⎜
⎝
24
⎛
FF
⎜
34
⎝
FF
34
C
23
C
24
C
CC CC
⎞
23
⋅
⎟
C
C
⎠
24
⎞
⋅
⎟
⎠
12 24 14 22
CCC
1
3324 1423
−
CC CC
11 24 14 21
−
CC CC
13 24 14 2
−
−
⎤
⎥
⎦
dx
⎤
+
dx
1
⎥
⎦
33
.
2
Выражения в квадратных скобках – это первые частные производные связанной функции, которым можно придать следующий
вид после приведения к общему знаменателю слагаемых в правой
части:
FCCCC FCCCC FCCCC
1 13 24 14 23 3 11 24 14 21 4 11 23 13 21
R
=
1
FCCCC FCCCC FCCCC
2 13 24 14 23 3 12 24 14 22 4 12 23 13 22
R
=
2
−− −+ −()()()
CCC−
C
1
3324 1423
−− −+ −()()()
C
CCC−
1
3324 1423
;
⋅
Числители представляют собой следующие определители:
FFF
134
D
==;
CCC
1
11 13 14
CCC
21 23 24
FFF
D
234
CCC
2
12 13 14
CCC
22 23
,
224
а знаменатель – это нижний правый минор этих же определителей:
CC
13 14
=⋅
M
CC
23 24
Итак, получаем первые частные производные связанной функции:
R
==⋅;
1
D
M
1
D
2
R
2
(7.14)
M
В соответствии с классическим критерием экстремума первые
частные производные связанной функции независимых переменных равны нулю, тогда из уравнений (7.14) получаем:
DD
00==;.
12
(7.15)
Эти уравнения экстремума и ограничения при совместном решении дают значения переменных, при которых связанная функция имеет максимум или минимум, а целевая функция – наибольшее или наименьшее значение.
В соответствии с классическим критерием вид экстремума
определяется знаками хессианов. Для связанной функции двух
34
независимых переменных имеются хессианы первого и второго
порядка.
Хессиан первого порядка находится по уже описанной процедуре:
HR
==
111
∂
1
xMDx
∂
1
∂
1
=⋅
∂
1
(7.16)
⋅
1
R
Элементы хессиана второго порядка находят аналогично:
R
ik
∂
i
=
xMDx
∂
k
∂
1
=⋅
∂
i
(7.17)
⋅
k
R
Таким образом, дифференцируя уравнения экстремума, можно установить значения хессианов, а по их знакам найти вид экстремума.
Полученные результаты могут быть обобщены на случай любого числа переменных. Обратим внимание на то, что в установленных условиях экстремума первый столбец определителя относится к переменной, дифференциал которой не был исключен, а
остальные величины – к переменным, дифференциалы которых
были исключены из дифференциала исходной функции. В случае
произвольного числа переменных условия экстремума выражаются через определители, соответствующие переменным, дифференциалы которых не исключены:
FFF
ij
D
CCC
=⋅
i
ij
11
CCC
ij
22
k
(7.18)
k
1
k
2
Итак, получены основные результаты аналитической оптимизации любых функций в рамках ограничений, число которых
меньше числа переменных. Случай, когда число ограничений равно или больше числа переменных, будет рассмотрен особо.
1.8. Алгоритм аналитической оптимизации
Прежде чем переходить к иллюстрации полученных результатов конкретными примерами, представим общий алгоритм решения оптимизационных задач аналитическим методом, причем:
1) условия экстремума выражаются уравнениями экстремума;
2) вид экстремума определяется знаками хессианов, образованных вторыми частными производными связанной функции,
получаемых дифференцированием уравнений экстремума, с учетом минора, общего для всех определителей экстремума.
35
Итак, алгоритм аналитической оптимизации таков:
1) вычисляют маржинальные целевые функции и маржинальные ограничения для всех переменных;
2) формируют
определителей экстремума, первый стол-
nm−
бец которых включает маржинальные величины для независимой
переменной, а остальные – для исключаемых переменных;
3) привлекают условия экстремума и устанавливают уравнения экстремума раскрытием определителей экстремума;
4) решают систему уравнений экстремума и ограничений;
5) Вычисляют оптимизированное значение целевой функции
при найденных значениях переменных.
6) находят элементы хессианов дифференцированием уравнений экстремума с учетом знака общего минора;
7) устанавливают вид экстремума (максимум или минимум)
связанной функции, которому соответствует оптимальное (наибольшее или наименьшее) значение целевой функции.
Перейдем к иллюстрации аналитического метода на примерах,
взятых из литературных источников для того, чтобы сравнить
аналитический метод с традиционными методами оптимизации.
Пример 8.
Дано: функция с ограничением
Fxx=− −
()() .xx
7718−+−=
1
1
2
;
122
2
2
2
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим элементы определителя и уравнение экстре-
мума:
откуда
. Тогда ограничение преобразуется в уравнение
xx
=
12
которое имеет решения
мой функции также имеет два значения
−−
22
xx
12
−−
2727
xx()( )
12
xx
12
2
xx
14 40 0−+=,
1
1
xx
12
(4 и 10). Величина оптимизируе-
==
=
0−=,
F =− −(; )32 200
0
;
.
Находим хессиан с учетом минора
∂
11
H
=⋅
1
1
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 304–308.
1
MDxx x
=
() ()
27
∂
12 1
−∂∂
MC x== −
xx
−
()
12
27()
22
=
x
27
:
1
⋅
−
2
36
При
⎝
⎠
xx
12
4== H10<
, поэтому связанная функция имеет мак-
симум, а целевая функция – наибольшее значение
При
xx
12
10== H10>
, поэтому связанная функция имеет ми-
нимум, а целевая функция – наименьшее значение
Ответ:
FR==−32; FR==−200
.
FR==−32.
FR==−200.
Пример 9.
Дано: функция с ограничением
Fxx x
=−+
2
xxx
++ =
1
1
1122
23 3;.
2
12
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим определитель и уравнение экстремума:
1
12
−
x
1
21
xxxx−−−=.
36 10
2121
6
+
xx()
12
0
=
;
Подставив величину x2 из этого уравнения в ограничение, имеем
2
xx
2
1
1
x
⎛
1
⎜
3112
2
+
⎞
1
−
x
1
−=.
⎟
30++⋅
Уравнение решается численно с помощью специализированных компьютерных программ, например Maple, Derive или программируемых калькуляторов:
x10 2644= ,,
тогда
x20 8946= ,.
Значения переменных позволяют найти оптимальное значение
функции:
Находим хессиан первого порядка c учетом минора
FR==1 0892,.
∂
11
H
1
1
MDxxx
=⋅
6
∂
121
MC x==
x
−
∂
xxxx
36 1
−−−
()
∂
2121
61
=−
6
2
x
2
6:
22
< .
0=⋅
Таким образом, связанная функция имеет максимум, а опти-
мизированное значение функции является наибольшим.
Ответ:
FR==1 0892,
(максимум).
Пример 10.
Дано: функция с ограничением
Fxx x xx x
=+−− −
462 2 2
121212 2
xx
+=
22
12
1
Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. –
СПб.: Лань, 2011. – С. 318–320.
2
Та х а Х . А . Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2005. –
С. 817–818.
2
2
;
.
37
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим определитель и уравнение экстремума:
44 2 62 4
−− −−
xx xx
12 12
1 2
откуда
x113= /.
x256= /.
функции
; −+=310
Подстановка этого значения в ограничение дает
Зная эти величины, получаем оптимальное значение
FR== =25 6 4 1667/,.
x ,
1
Находим хессиан c учетом величины минора
∂
11
H
1
1
MDxx
∂
11
=⋅
2
∂
x
31
−+
()
∂
1
0
=
M = 2
3
=− < .
2
:
0=⋅
Таким образом, оптимизированное значение функции являет-
ся наибольшим, равным максимуму связанной функции.
Ответ:
FR==4 1667,
(максимум).
Пример 11.
Дано: функция с ограничением
F xxx
=−+++
exp( ) ( ) ;
xx
+=
122
1
112
.
3
2
1
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим определитель и уравнение экстремума:
−−+ +
exp( )
xx
12 2
1
−−
exp(
1
xxxxx
14 4 0).+− − =
1121
12
x
2
=
;
0
Подставим значение x2 из ограничения в уравнение экстремума:
3
416 1
xx x−−−+exp( ) =0.
1
11
Уравнение решается численно с помощью компьютерных программ, например Maple, Derive, или программируемых калькуляторов:
что дает значение целевой функции:
x23= ,
Находим хессиан с учетом величины минора
H
1
1
Тах а Х . А . Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 7-е изд. 2005. –
С. 813.
Подставляя эту величину в ограничение, получаем
x10= .
FR==17.
MC==21
1
∂
Mx
∂
1
−−+− −
()
xxxx
14 4 1434 15 0=⋅
1121
=−⋅− =− <exp( ) .
:
38
Следовательно, связанная функция имеет максимум, равный
наибольшему значению целевой функции.
Ответ:
FR==17
(максимум).
Пример 12.
Дано: функция с ограничением
Fxxx
=++
4214
xx x
++ =
1223
1
12223
2
;
.
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим определители и уравнения экстремума:
2
2
2
2
xx
13
4 2
xx xx
13 2
откуда
x22=
ется
xx
21==;,
13
. Оптимизированная величина целевой функции оказыва-
FR==9.
подстановка которых в ограничение дает
==
−= −
20
Находим хессианы с учетом минора определителя
1
HH
11
12
2
xx
23
;;
0
;
2
x
2
2
223
0
0x = ,
MC==32
0
1
1
0
1
2
0=⋅= =⋅
=;.
x
−
3
Следовательно, связанная функция имеет минимум, а оптимизированная целевая функция – наименьшее значение.
Ответ:
FR==9
(минимум).
Пример 13.
Дано: функция с ограничениями
2
:
123
2
1
;
1
.
;
Fxxx
=
xx
+=
122
xx
+=
13
Найти: величину и вид экстремума функции.
Решение. Находим определитель и уравнение экстремума
xx xx xx
23 13 12
xx
22 0
0
12
xx x xx
= ;
2231 123
0() .−− =
1 0 1
1 Таха Х. А. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 7-е изд. 2005. –
С. 787–788.
2
Simon C. P., Blume L. Mathematics for Economists. N. Y. Norton&Company, 1994.
P. 421–423.
39
121
2
и
x
2
из ограничений дает:
x
3
Подстановка в это уравнение
310
xx+−=.
Это уравнение имеет положительный корень x1=0,43426. Подставив его значение в первое ограничение, имеем x
второе –
x30 56574= ,.
рованное значение функции:
Зная эти величины, вычисляем оптимизи-
FR==0 22130,.
=0,90079, а во
2
Находим хессиан с учетом величины минора определителя
Mx= 2
:
2
1
H
1
xDxx
2
2111
2
xxx
−
∂
∂
∂
xx x xx
=
()
∂
−−
2231 123
=−
2
2
1
<() .
x
2
0=⋅
2
Следовательно, связанная функция имеет максимум, а оптимизированное значение целевой функции имеет наибольшее значение.
Ответ:
FR==0 22130,
(максимум).
Приведены решения нескольких задач, которые считаются в
цитированных работах сложными. С другой стороны, решения
тех же задач аналитическим методом оказались простыми. Более
того, все решения оказались точными, что подтверждается реше-
ниями тех же оптимизационных задач с помощью компьютерной
программы Maple. Важно отметить, что оптимизационные нелинейные задачи программа Maple решает численно, другими словами, программа оказывается объективным судьей правильности
решений задач тем или иным методом. Причем, как оказалось,
многие решения, даваемые традиционными методами, оказываются неточными, а в некоторых случаях – ошибочными, тогда как
решения аналитического метода во всех рассмотренных случа-
ях подтверждались решениями Maple.
Количество решений задач аналитическим методом можно
сколь угодно увеличивать. Однако полученных результатов вполне достаточно, чтобы сделать несколько основных выводов.
1. Аналитический метод оптимизации очень прост по срав-
нению с любым иным известным методом оптимизации.
Например, изложение решения примера 8 методом штрафных
функций занимает почти 3 страницы текста и после 12 итераций
дает менее точные результаты: x
=4,05; x2=4,008;
1
F =−32 104,.
Изложение решения методом Эрроу-Гурвица также занимает почти
3 страницы текста и дает после 13 итераций еще менее точные результаты: x
=4,021; x2=4,021;
1
F =−32 337,
, при этом отмечалось,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]