Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Экономическая оптимизация. Теория и практика
.pdf
Следует отметить, что в цитированных и некоторых иных работах метод алгебраической подстановки использовался только
для получения некоторого результата, но никогда глубоко не исследовался. Однако даже простой анализ метода алгебраической
подстановки позволяет установить несколько важных теорем, которые глубже раскрывают существо аналитического метода оптимизации.
Рассмотренные выше примеры, число которых можно увеличить, позволяют сформулировать и обосновать следующие теоремы.
Теорема 1. Если свободная целевая функция не имеет экстремума, то при наличии ограничения ее оптимальное значение соответствует экстремуму связанной функции.
Примеры 4 и 5 подтверждают справедливость этой теоремы,
поскольку обе рассмотренные функции не имели экстремумов в
отсутствии ограничений. Однако при наличии ограничения связанная функция может иметь экстремум, величину и вид которого можно установить на основе классических критериев. Другими словами, исключение любой переменной в исходной целевой
функции превращает ее в связанную функцию меньшего числа
переменных и иной формы. Наличие ограничения ведет к уменьшению мерности исходной целевой функции и формированию
связанной функции, имеющей экстремум.
Теорема 1 имеет геометрические иллюстрации для функций
двух и трех переменных. С помощью компьютерных программ
Maple, Derive, Mathematica, Matlab, MathCad или алгебраических
и графических калькуляторов Texas Instruments TI-86, TI-92 plus,
TI Voyage 200, Casio 8850–8950 и т.д. можно графически отобразить целевую функцию. Например, в примере 5 целевая функция
имеет вид, изображенный на рис. 1.1.
Рис. 1.1 подтверждает, что исходная целевая функция действительно не имеет экстремума.
Положение изменяется, если любая переменная из ограничения подставляется в целевую функцию. В таком случае преобразованная функция становится функцией одной переменной,
и ее график можно изобразить на плоскости, как это показано
на рис. 1.2.
Аналогичные результаты справедливы для функций трех переменных.
Свободную целевую функцию нельзя изобразить в трехмерном
пространстве, однако связанную функцию изобразить можно, как
это показано на рис. 1.3.
21
U
x2
Рис. 1.1. Свободная целевая функция без экстремума
U
x1
Рис. 1.2. Связанная целевая функция с экстремумом
x1
Рис. 1.3 подтверждает, что целевая функция превратилась в
связанную функцию другой мерности и формы. В отсутствие
ограничения функция не имела экстремума, а при наличии ограничения она превратилась в связанную функцию, имеющую
максимум.
Полученные отображения подтверждают важнейшую особенность аналитической оптимизации: исключение в целевой фун-
22
4
10
F
x1
x2
Рис. 1.3. Связанная целевая функция с экстремумом
кции переменных из ограничений превращает ее в связанную
функцию иной формы и мерности.
Теорема 2. Если свободная целевая функция имеет экстре-
мум, то при наличии ограничения ее оптимальное значение
соответствует экстремуму связанной функции.
Справедливость этой теоремы подтверждается уже рассмотренными примерами. При решении примера 1 установлено, что
свободная функция (без ограничения) имеет максимальное зна-
xx
чение
F =13
при
23==;
12
. При наличии ограничения (пример 6) эта же функция имеет оптимизированное значение, равное максимальному значению связанной функции
xx
42==;
12
.
FR==8
при
Другими словами, исключение переменных в исходной функции превращает ее в функцию меньшего числа переменных и
изменяет ее форму. Таким образом, ограничение ведет к уменьшению мерности исходной целевой функции и формированию
связанной функции, имеющей экстремум, отличающийся от экстремума свободной функции.
Теорема имеет геометрические иллюстрации для функций двух
и трех переменных.
Рис. 1.4. подтверждает, что свободная целевая функция действительно имеет экстремум.
При наличии ограничения образуется связанная функция одной переменной, которая имеет иной экстремум, что иллюстрирует рис. 1.5.
23
10
5
0
–5
4
2
x1
Рис. 1.4. Свободная целевая функция с экстремумом
Рис. 1.5. Связанная целевая функция с экстремумом
0
4
0
2
x2
Таким образом, при наличии ограничения целевая функция меняет мерность и форму, становясь связанной функцией R. Поскольку
связанная функция может иметь экстремум, то именно для нее справедливы критерии экстремума и его вида, рассмотренные ранее:
1) экстремум связанной функции определяется ее первыми
частными производными:
Ri= 0;
24
2) вид экстремума связанной функции определяется ее вторы-
⎝
⎠
⎝
⎠
ми частными производными, формирующими определитель Хессе, например для связанных функций двух переменных:
HR H
==⋅;
111 2
11 12
RR
21 22
(6.2)
RR
Вид экстремума определяется знаками хессианов:
– связанная функция имеет максимум, если:
HR H
111 2
00=≤ ≥;;
(6.3)
– связанная функция имеет минимум, если:
HR H
111 2
00=> ≥;;
(6.4)
– связанная функция имеет седловую точку, если:
H20< .
Таким образом, формально критерии экстремума и его вида
для связанной функции (с ограничениями) соответствуют классическим критериям для свободных функций (без ограничений),
но соответствующие производные оказываются разными.
Метод алгебраической подстановки позволяет установить следующий важный результат, подтвержденный численными расчетам в предыдущих примерах.
Теорема 3. Оптимизированное значение целевой функции
равно значениям экстремумов связанных функций:
FR R R
====
12
... .
(6.5)
n
Доказательство теоремы оказывается особенно простым для
целевой функции и ограничения двух переменных, например:
Fxx
=
;
12
Cax ax
=+
11 2 2
.
В соответствии с методом алгебраической подстановки значение одной из переменных из ограничения подставляется в целевую функцию с образованием связанной функции. Например, при
подстановке x
получаем следующую связанную функцию:
2
⎛
Rx
11
C
=−
⎜
aaa
212
⎞
(6.6)
x
⋅
⎟
1
Дифференцирование этого уравнения дает:
2
⎛
=−
dR
⎜
1
C
aaa
212
⎞
xdx
⎟
11
.
25
Величина в скобках – это частная производная связанной фун-
⎝
⎠
кции, которая в соответствии с условием экстремума равна нулю,
тогда:
C
0
= ,
x
1
2
a
1
причем
0
соответствует экстремуму связанной функции R1, ве-
x
1
личину которого можно вычислить из уравнения (6.6):
⎛
C
0
Rx
=−
⎜
11
aaa
212
⎞
0
(6.7)
x
⋅
⎟
1
Ограничение для экстремума связанной функции имеет вид:
Cax ax=+
11022
0
(6.8)
.
Подставляя величину ограничения в предыдущее уравнение,
имеем:
Rxx
1102
= .
0
(6.9)
Аналогичным образом в уравнение целевой функции можно
подставить величину x
полученную связанную функцию R
из ограничения, продифференцировать
1
, привлечь условие экстрему-
2
ма и получить
Rxx
2102
= .
0
(6.10)
Выпишем значение исходной целевой функции при значениях
переменных, соответствующих экстремумам связанных функций:
Fxx=
0
(6.11)
.
102
Из трех последних уравнения можно установить:
FR R==
(6.12)
,
12
что доказывает Теорему 3.
Аналогичным образом можно рассмотреть случай любого числа переменных и ограничений и получить результат, выраженный
теоремой 3.
Важность Теоремы 3 заключается в том, что во многих случаях
установить явный вид связанных функций сложно, невозможно
или не нужно. Дело в том, что аналитический метод оптимизации
позволяет найти значения величин
00
xx x
, ,...,
n102
, которые соответствуют экстремумам связанных функций. Зная эти значения, можно вычислить оптимизированное значение целевой функции, равное значению связанных функций.
Таким образом, можно найти значение экстремумов связанных
функций, не зная явного вида связанных функций, поскольку эти
26
значения равны оптимизированному значению исходной целевой
функции.
Кроме того, как будет показано в разделе 1.7, результаты оптимизации выражаются через частные производные исходной
целевой функции и ограничений, которые позволяют установить
первые и вторые частные производные связанных функций, необходимые для использования классических критериев экстремума.
Первые частные производные совместно с ограничениями позволяют найти значения переменных, при которых целевая функция
имеет оптимизированное значение, а вторые частные производные позволяют установить вид экстремума связанной функции.
При этом максимум связанной функции соответствует наибольшему значению целевой функции, а минимум связанной функции – наименьшему.
1.7. Аналитический метод нелинейной оптимизации
Метод алгебраической подстановки может быть обобщен на любые целевые функции и любые ограничения следующим образом.
В методе алгебраической подстановки значение любой переменной подставляется из ограничения в целевую функцию. В
результате такой операции формируется связанная функция независимых переменных. Дифференцирование связанной функции дает ее полный дифференциал, что позволяет найти первые
частные производные связанной функции по независимым переменным. Далее правомерно привлекается классический критерий
экстремума связанной функции независимых переменных и устанавливаются уравнения экстремума.
Уравнения экстремума и ограничения-равенства образуют
систему уравнений, решение которой дает значения переменных,
при которых связанная функция имеет экстремум. На основании
Теоремы 3 вычисленные значения переменных позволяют найти
оптимизированное значение целевой функции.
Как уже отмечалось, метод алгебраической подстановки применим, если целевая функция и ограничения относительно просты по форме. Для сложных функций и ограничений алгебраические подстановки оказываются невозможными.
Алгоритм алгебраического метода можно изменить и получить
метод, который оказывается применимым для любых целевых
функций и любых ограничений.
Действительно, в методе алгебраической подстановки вначале
значение одной из переменных подставляется из ограничения в
27
целевую функцию с формированием связанной функции, которая
затем дифференцируется для установления ее полного дифференциала.
Данный алгоритм оптимизации можно изменить следующим
образом. Вначале дифференцируются целевая функция и ограничение, а затем дифференциал любой переменной из дифференциальной формы ограничения подставляется в дифференциальную
форму целевой функции с формированием полного дифференциала связанной функции. Затем можно найти первые частные
производные связанной функции по независимым переменным,
привлечь классический критерий экстремума и получить уравнения экстремума, которые совместно с ограничениями дают значения переменных, соответствующие экстремуму связанной функции. Такой метод дифференциальной подстановки применим к
любым сложным функциям и ограничениям и является основой
аналитического метода оптимизации.
Различие и схожесть методов алгебраической и дифференциальной подстановки можно проиллюстрировать на следующем
примере.
Пример 7.
1
Дано: функция с ограничением
F xxxx x x
=− − + + +
283
122212 1 2
xx
+=
310
12
;
.
Найти: величину и вид экстремума функции методами алгебраической и дифференциальной подстановки.
Решение 1. Подставим x
из ограничения в целевую функцию
2
для формирования связанной функции:
Rxx=− + −14 69 70
2
1
.
1
Дифференцируем связанную функцию:
dR x dx=− +().28 69
11
Величина в скобках – это первая частная производная связанной функции R
по независимой переменной x1.
1
Условие экстремума позволяет получить уравнение экстремума
Rx
28 69 0=− + = ,
11
откуда
x169 28= /,
а из ограничения имеем
x273 28= /
. Полу-
ченные значения позволяют вычислить значение экстремума свя-
1
Winston W. L. Operations Research. Applications and Algorithms. Duxbury Press,
2003. P. 666–667.
28
занной функции и оптимизированное значение целевой функции
RF==15 01786,.
Вид экстремума связанной функции устанавливается дифференцированием уравнения экстремума, тогда
HR
111
28 0==−<,
следовательно, связанная функция имеет максимум, а целевая
функция – наибольшее значение.
Решение 2. Дифференцируем целевую функцию и ограничение:
dF x x dx x x dx
=− + + + − +
()();
48 23
30
Подставляем
dx dx
12 1 1 2 2
+=
12
dx
2
.
из второго уравнения в первое с образовани-
ем полного дифференциала связанной функции:
dR x x dx=− + −().771
12 1
Величина в скобках – это первая частная производная связанной функции R
по независимой переменной x1.
1
Условие экстремума позволяет получить уравнение экстремума:
Rxx
7710=− + − = .
112
Совместно с ограничением получаем
xx
69 28 73 28==/; /;
12
FR==15 01786,.
Вид экстремума связанной функции устанавливается дифференцированием уравнения экстремума
HR
111
28 0==−<,
следовательно связанная функция имеет максимальное значение, а целевая – наибольшее.
Ответ:
FR==15 01786,
(максимум).
Данный пример подтверждает, что метод алгебраической подстановки и метод дифференциальной подстановки дают одинаковый результат. Однако в последнем методе явная форма связан-
ной функции не устанавливалась. Кроме того, несмотря на внешне различный вид уравнений экстремума, в действительности
они одинаковы, в чем легко убедиться, если в уравнение экстремума, полученного дифференциальной подстановкой, подставить
значение x
из ограничения.
2
Изменение алгоритма подстановки, проиллюстрированное
выше, показывает, что метод дифференциальной подстанов-
ки не требует исключения переменных из целевой функции.
Именно эта особенность делает метод дифференциальной подстановки универсальным, т. е. применимым для любых функций
и любых ограничений. Дело в том, что функции могут быть нелинейными, но их дифференциальные формы всегда линейны по
отношению к дифференциалам переменных. Следовательно, ме-
29
тод дифференциальной подстановки делает аналитический метод
универсальным методом оптимизации любых функций в рамках
любых ограничений.
Рассмотрение предыдущего примера иллюстрирует основную
идею аналитического метода. Теперь можно установить основные
уравнения аналитического метода, позволяющие легко и просто
оптимизировать любые целевые функции при любых ограничениях и устанавливать, является ли оптимизированное значение
функции наибольшим или наименьшим.
Дифференциальная форма произвольной функции имеет вид:
где F
– это первые частные производные целевой функции или
i
n
dF F dx
=
∑
ii
=
1
i
(7.1)
,
маржинальные функции.
Дифференциальная форма произвольного ограничения имеет вид:
где C
– первые частные производные ограничения или маржи-
i
n
dC C dx
=
∑
ii
=
1
i
(7.2)
,
нальные ограничения.
При оптимизации целевых функций ограничения считаются
заданными (постоянными):
Cconst= ,
(7.3)
поэтому дифференциальная форма ограничения принимает такой
вид:
∑
i
n
=
Cdx
ii
(7.4)
=
01.
Возможны три соотношения числа переменных и числа ограничений.
Единичное ограничение
Выделим в дифференциальных формах целевой функции и ограничения дифференциал любой переменной, например n-ой:
−
1
n
dF F dx F dx
=+
∑
ii nn
=
1
i
1
n
−
Cdx C dx
∑
i
=
+=
ii
1
nn
;
0.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]